Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Einheitsvektor berechnen und Vektoren normieren
Du lernst, woran du einen Einheitsvektor erkennst, wie du Vektoren normierst und wie du damit eine Strecke in eine Richtung abträgst.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Du bekommst ihn, indem du einen Vektor durch seine Länge teilst: \hat v=\frac{\vec v}{\lVert\vec v\rVert}. Aus \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} mit der Länge 5 wird so \begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\end{pmatrix}. Der Nullvektor lässt sich nicht normieren.
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Du erhältst ihn, indem du einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor durch seine Länge teilst. Dabei bleibt seine Richtung erhalten.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Entscheidend ist die Länge eines Vektors, auch Norm genannt. Für \vec v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} berechnest du sie mit \lVert\vec v\rVert=\sqrt{x^2+y^2}. Im Raum kommt die dritte Komponente dazu: \lVert\vec v\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Ist das Ergebnis genau 1, hast du einen Einheitsvektor. Die einzelnen Komponenten sagen dazu allein nichts: \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} hat zwei Einsen, aber die Länge \sqrt2.
Definition
Einheitsvektor
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor \vec v mit der Länge \lVert\vec v\rVert=1. „Normierter Vektor“ bedeutet dasselbe.
Beispiel: Ist \vec u=\begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}8\end{pmatrix} ein Einheitsvektor?
- 1Länge: \lVert\vec u\rVert=\sqrt{0{,}6^2+0{,}8^2}=\sqrt{0{,}36+0{,}64}=1
- 2Die Länge ist genau 1, also ist \vec u ein Einheitsvektor.
Teste dich
Normieren heißt, einen Vektor auf die Länge 1 zu bringen: \hat v=\frac{\vec v}{\lVert\vec v\rVert}. Du gehst in drei Schritten vor: Berechne die Länge \lVert\vec v\rVert. Teile jede Komponente durch diese Länge. Prüfe, ob das Ergebnis wirklich die Länge 1 hat. Weil alle Komponenten mit demselben positiven Faktor multipliziert werden, wird der Vektor nur gestaucht oder gestreckt. Seine Richtung bleibt gleich. Hat ein Vektor schon die Länge 1, ändert das Normieren nichts: \frac{\vec v}{1}=\vec v. Im Raum funktioniert es genauso, nur mit drei Komponenten.
Beispiel: \vec a=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} normieren
- 1Länge: \lVert\vec a\rVert=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5
- 2Teilen: \hat a=\frac{1}{5}\vec a=\begin{pmatrix}\frac45\\\frac35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\end{pmatrix}
- 3Probe: \sqrt{0{,}8^2+0{,}6^2}=\sqrt{0{,}64+0{,}36}=1
Beispiel: \vec b=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} im Raum normieren
- 1Länge: \lVert\vec b\rVert=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3
- 2Teilen: \hat b=\begin{pmatrix}\frac23\\-\frac13\\\frac23\end{pmatrix}
- 3Probe: \left(\frac23\right)^2+\left(-\frac13\right)^2+\left(\frac23\right)^2=\frac49+\frac19+\frac49=1
Merke: Du darfst den Nullvektor nicht normieren. Seine Länge ist 0, und durch 0 kannst du nicht teilen.
Teste dich
Ein Richtungsvektor gibt zunächst nur eine Richtung an. Seine eigene Länge ist dabei zufällig. Willst du genau s Längeneinheiten in diese Richtung gehen, normierst du ihn zuerst und multiplizierst den Einheitsvektor dann mit s. Für einen Startpunkt A gilt: P=A+s\cdot\hat v.
Beispiel: Von A(1 \mid 2) aus 10 Einheiten in Richtung \vec v=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}
- 1Länge: \lVert\vec v\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5
- 2Einheitsvektor: \hat v=\begin{pmatrix}\frac35\\\frac45\end{pmatrix}
- 310 Einheiten: 10\hat v=\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}
- 4Ziel: \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\10\end{pmatrix}, also P(7 \mid 10)
- 5Probe: \sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10
Merke: Erst normieren, dann mit der Strecke s multiplizieren. Sonst steckt die alte Länge des Richtungsvektors noch im Ergebnis.
Teste dich
Die kanonischen Einheitsvektoren zeigen entlang der positiven Koordinatenachsen. Im Raum sind das \vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} und \vec e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}. Jeder hat genau eine Komponente mit dem Wert 1 und sonst nur Nullen. Die Position der 1 verrät die Achse. Zusammen bilden sie eine Orthonormalbasis: Sie haben die Länge 1 und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Als Spalten nebeneinander ergeben sie die Einheitsmatrix.
Beispiel: \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} mit den Achsenvektoren schreiben
- 1In der Ebene: \vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} und \vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
- 2\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=4\vec e_1+3\vec e_2
- 3Die Koordinaten 4 und 3 sind die Vorfaktoren der beiden Achsenrichtungen.
Merke: Nicht jeder Einheitsvektor ist kanonisch: \begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\end{pmatrix} hat die Länge 1, zeigt aber nicht entlang einer Achse.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Einheitsvektor
Kennzeichen
ein Einheitsvektor hat die Länge 1
Normieren
Länge berechnen und jede Komponente durch sie teilen
Grenze
der Nullvektor lässt sich nicht normieren
Kontrolle
die Länge des Ergebnisses muss 1 sein
Anwendung
eine Strecke s mit P=A+s\cdot\hat v abtragen
Sonderfall
kanonische Einheitsvektoren zeigen entlang der Achsen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Von A(2 \mid 1 \mid 0) aus 6 Einheiten in Richtung \vec v=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} gehen
- 1Länge: \lVert\vec v\rVert=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3
- 2Einheitsvektor: \hat v=\frac13\vec v=\begin{pmatrix}\frac13\\\frac23\\\frac23\end{pmatrix}
- 36 Einheiten: 6\hat v=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}
- 4Ziel: \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\\4\end{pmatrix}, also P(4 \mid 5 \mid 4)
- 5Probe: \sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}=6
Fehler finden
\vec v=\begin{pmatrix}6\\-8\end{pmatrix} normieren In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Wurzel fehlt: \lVert\vec v\rVert=\sqrt{100}=10. Richtig ist \hat v=\frac{1}{10}\vec v=\begin{pmatrix}0{,}6\\-0{,}8\end{pmatrix}, und die Probe ergibt 0{,}36+0{,}64=1.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Normieren berechnest du zuerst die des Vektors. Danach teilst du durch diese Länge. Der Nullvektor ist ausgeschlossen, weil seine Länge ist.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback