Zyklotronfrequenz

Definition und Bedeutung

Die Zyklotronfrequenz, auch Gyrationsfrequenz genannt, ist die Umlauffrequenz eines geladenen Teilchens, meist eines Elektrons, in einem homogenen Magnetfeld. Sie ist proportional zur magnetischen Flussdichte B und hängt außerdem vom Betrag der Teilchenladung |q| und von der Masse m ab:

f = |q|·B/(2π·m).

Im nichtrelativistischen Fall ist die Zyklotronfrequenz unabhängig vom Bahnradius und von der Geschwindigkeit des Teilchens. Deshalb kann ein elektrisches Wechselfeld mit fester, zur Zyklotronfrequenz passender Frequenz geladene Teilchen in einem Zyklotron wiederholt beschleunigen.

Wo sich freie geladene Teilchen in einem Magnetfeld bewegen, kann bei dieser charakteristischen Frequenz elektromagnetische Strahlung absorbiert werden. Dieser Effekt heißt Zyklotronresonanz. Bei Teilchen mit einem magnetischen Moment ist auch die Larmorfrequenz proportional zum Magnetfeld. Der Quotient aus Zyklotron- und Larmorfrequenz ist daher konstant und entspricht dem halben Landé-Faktor.

Herleitung aus der Kreisbewegung

Im Magnetfeld wirkt auf ein bewegtes geladenes Teilchen die Lorentzkraft. Sie steht so zur Bewegung, dass sie das Teilchen auf eine Kreisbahn lenkt, und übernimmt damit die Rolle der Zentripetalkraft. Dabei verändert sich die Richtung der Geschwindigkeit, nicht aber ihr Betrag. Es gilt:

F_Lorentz = F_Zentripetal,

|q|vB = mv²/r.

Nach dem Kürzen von v folgt:

|q|B = mv/r.

Für eine gleichförmige Kreisbewegung gilt zugleich v = ωr = 2πfr. Setzt man dies ein, erhält man:

|q|B = m·2πf

und damit

f = |q|B/(2πm).

Die Geschwindigkeit v und der Radius r fallen bei dieser Herleitung aus der Endformel heraus. Das erklärt, warum die nichtrelativistische Zyklotronfrequenz von beiden Größen unabhängig ist.

Relativistische Korrektur

Die einfache Formel gilt nur, wenn die Geschwindigkeit v gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c vernachlässigbar klein ist. Für beliebige Geschwindigkeiten muss der Lorentz-Faktor γ berücksichtigt werden. Mit der Ruhemasse m₀ lautet die relativistische Formel:

f = (1/γ)·|q|B/(2πm₀) = √(1 − v²/c²)·|q|B/(2πm₀).

Mit zunehmender Geschwindigkeit wird der Faktor √(1 − v²/c²) kleiner. Die Umlauffrequenz ist im relativistischen Bereich deshalb nicht mehr unabhängig von der Geschwindigkeit.

Kreisfrequenz, Energie und Einheitensysteme

Die zur Zyklotronfrequenz gehörende Kreisfrequenz ist

ω_c = 2πf.

Als Zyklotron-Energie bezeichnet man

ℏω_c,

wobei ℏ die reduzierte Planck-Konstante ist.

Im Gaußschen CGS-System werden B in Gauß, q in Franklin und m in Gramm angegeben. Dort definiert man die Zyklotron-Kreisfrequenz üblicherweise als

ω_c = |q|·B/(m·c),

wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Landau’sche magnetische Länge beträgt in diesem System

ℓ_B = √(ℏc/(|q|B)).

Im Internationalen Einheitensystem (SI) lauten die entsprechenden Beziehungen

ω_c = |q|·B/m

und

ℓ_B = √(ℏ/(|q|B)).

Durch die Verwendung von ℏω_c und ℓ_B lassen sich Gleichungen, in denen das Magnetfeld B durch diese Größen ausgedrückt wird, im Gaußschen CGS-System formal genauso schreiben wie im SI-System.