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Zentripetalkraft
Die Zentripetalkraft (auch Radialkraft) ist die äußere Kraft, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser im Inertialsystem auf einer gekrümmten Bahn …
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Kernidee und Formel
Die Zentripetalkraft, auch Radialkraft genannt, ist die äußere Kraft, die auf einen Körper wirken muss, damit er sich in einem Inertialsystem auf einer gekrümmten Bahn bewegt. Sie ist immer zum Mittelpunkt des momentanen Krümmungskreises gerichtet und steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor. Ohne diese Kraft würde sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz geradlinig in Richtung seiner momentanen Geschwindigkeit weiterbewegen, also entlang der Tangente an die Bahn.
Die zugehörige Zentripetalbeschleunigung oder Radialbeschleunigung ergibt sich aus der Geschwindigkeit und dem Krümmungsradius der Bahn. Die Zentripetalkraft ist das Produkt aus Masse und Zentripetalbeschleunigung:
F_Z = m a_Z = m omega v = m v^2/r = m omega^2 r = m v^2 · kappa.
Dabei ist F_Z die Zentripetalkraft, m die Masse, a_Z die Zentripetalbeschleunigung, omega die Winkelgeschwindigkeit, v die Bahngeschwindigkeit, r der Radius und kappa die Krümmung der Bahn. Für eine Kreisbahn gilt besonders wichtig: a_Z = v^2/r = omega^2 r.
Abgrenzung zur Zentralkraft
Eine Zentripetalkraft ist nicht in jedem Fall dasselbe wie eine Zentralkraft. Eine Zentralkraft ist stets auf denselben festen Punkt gerichtet oder von ihm weg. Die Zentripetalkraft dagegen zeigt zum Mittelpunkt des momentanen Krümmungskreises der Bahn.
Nur bei einer reinen Kreisbewegung ist die Zentripetalkraft zugleich eine Zentralkraft. Bei einer elliptischen Planetenbahn zeigt die Zentralkraft zum festen Kraftzentrum, das in einem Brennpunkt der Ellipse liegt. Die Zentripetalkraft zeigt dagegen zum jeweiligen Zentrum der Bahnkrümmung. Eine Zentralkraft kann am Ort des Körpers in zwei rechtwinklige Komponenten zerlegt werden: eine Zentripetalkraft und eine Tangentialkraft. Die Zentripetalkraft ändert nur die Richtung der Geschwindigkeit, die Tangentialkraft nur ihren Betrag. Dadurch bewegen sich Planeten nahe der Sonne schneller als in größerer Entfernung.
Herleitung der Kreisbewegung
Bei gleichbleibender Bahngeschwindigkeit v auf einer Kreisbahn steht die Geschwindigkeit in jedem Moment senkrecht zum Radius r. Vergleicht man zwei nahe Zeitpunkte, ändern sich nicht die Beträge der Geschwindigkeitsvektoren, sondern nur ihre Richtung. Aus ähnlichen Dreiecken folgt für die Änderung der Geschwindigkeit Delta v, den zurückgelegten Bogen Delta s und den Radius r:
Delta v / v = Delta s / r.
Daraus wird nach Multiplikation mit v und Division durch die Zeitspanne Delta t:
Delta v / Delta t = (v/r) · (Delta s / Delta t).
Für sehr kleine Zeitspannen geht Delta s / Delta t in die Bahngeschwindigkeit v über. Damit erhält man:
dv/dt = v^2/r.
Diese Beschleunigung zeigt zum Kreismittelpunkt und heißt Zentripetalbeschleunigung. Für einen Körper mit Masse m folgt nach dem 2. Newtonschen Gesetz:
F_Z = m a_Z = m v^2/r = m v^2 · kappa.
Die Gleichung gilt für jeden Körper mit Masse m, der sich mit Geschwindigkeit v auf einer Bahn mit lokalem Krümmungsradius r bewegt.
Vektorielle und koordinatenbezogene Darstellung
Vektoriell betrachtet bewegt sich ein Punkt auf einer glatten Kurve im Raum in jedem Moment so, als läge er lokal auf einer Kreisbewegung um den Krümmungsmittelpunkt. Der Geschwindigkeitsvektor v und der Vektor r vom Krümmungsmittelpunkt zum Punkt stehen senkrecht aufeinander. Zusammen mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor omega gilt:
v = omega × r.
Wenn keine tangentiale Beschleunigung vorliegt, zeigt die Beschleunigung zum Krümmungsmittelpunkt. Dann gilt:
a_Z = omega v.
Wenn r, omega und v paarweise senkrecht stehen, folgt zusätzlich omega = v/r beziehungsweise v = omega r. Damit ergibt sich wieder:
a_Z = omega v = v^2/r = omega^2 r.
In einem kartesischen Koordinatensystem für eine gleichförmige Kreisbewegung mit Radius r kann der Ort als r = (r cos(omega t), r sin(omega t)) beschrieben werden. Die zweite Ableitung nach der Zeit ergibt a_Zp = -omega^2 r. Dem Betrag nach ist also a_Zp = omega^2 r = v^2/r = v^2 · kappa. Obwohl diese Herleitung ein bestimmtes Koordinatensystem benutzt, gilt das Ergebnis koordinatenunabhängig und lokal auch für beliebig gekrümmte Bewegungen mit variablem v, wenn r als lokaler Krümmungsradius und v als momentane Bahngeschwindigkeit eingesetzt wird.
Typische Beispiele
Bei einem Auto in einer Kurve wirkt eine zur Kurveninnenseite gerichtete Zentripetalkraft. Sie entsteht aus den Seitenkräften zwischen Reifen und Fahrbahn. Fehlt diese Kraft, zum Beispiel bei Glatteis, bewegt sich das Auto geradlinig weiter und wird aus der Kurve getragen. Ein Fahrzeuginsasse bleibt auf derselben Kreisbahn wie das Auto, weil der Sitz auf ihn eine Zentripetalkraft ausübt.
Die Erde bewegt sich näherungsweise auf einer Kreisbahn um die Sonne. In dieser Näherung ist die Gravitationskraft der Sonne sowohl Zentralkraft als auch Zentripetalkraft. Genauer ist die Erdbahn eine Ellipse, wenn man kleine Störungen durch Mond und andere Planeten vernachlässigt. Dann zeigt die Gravitation als Zentralkraft zur Sonne in einem Brennpunkt, während die Zentripetalkraft zum momentanen Zentrum der Bahnkrümmung zeigt. Die Differenz ist eine Tangentialkomponente, die bewirkt, dass die Erde in Sonnennähe, im Perihel, schneller ist als in Sonnenferne.
Weitere Beispiele sind Elektronen, die sich senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld bewegen: Sie werden durch die Lorentzkraft auf eine Kreisbahn abgelenkt, sodass die Lorentzkraft hier die Zentripetalkraft ist. Bei Luftwirbeln ist die Zentripetalkraft der Druckgradient; im Wirbelkern herrscht Unterdruck.
Anwendungen im Alltag
Bei vielen Bewegungen im Alltag wird die Zentripetalkraft durch Haftreibung übertragen. Haftreibung ist die Reibung zwischen Flächen, die nicht gegeneinander gleiten. Bei Gleitreibung dagegen ist die Reibungskraft entgegen der Gleitgeschwindigkeit gerichtet und erlaubt keine kontrollierte Fortbewegung. Die Zentripetalbeschleunigung muss deshalb die Bedingung a_Zp <= mu · g erfüllen. Dabei ist mu der Haftreibungskoeffizient und g die Erdbeschleunigung.
Untersuchungen zeigen, dass bei normaler Fahrt mit einem Pkw eine Zentripetalbeschleunigung von 4 m/s^2 selten überschritten wird. Beim Motorrad entspricht dies einer Schräglage von etwa 20 Grad. Auf trockener Fahrbahn liegt das noch deutlich unter den physikalischen Grenzen. Es zeigt aber, dass Menschen ihre Geschwindigkeit so anpassen können, dass das Produkt aus Fahrgeschwindigkeit zum Quadrat und Krümmung innerhalb dieser Grenzen bleibt.
Für praktische Berechnungen kann der Krümmungsradius oft indirekt bestimmt werden. Sind die äußeren Kräfte bekannt, liefert die Bewegungsgleichung a = F/m Beschleunigung, Geschwindigkeit und Position des Massenmittelpunkts. Betrachtet man die Bahn in einer Referenzfläche, ist die Komponente der Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit die gesuchte Zentripetalbeschleunigung. In Versuchen wird Beschleunigung häufig in einem fahrzeugfesten Koordinatensystem gemessen; dabei muss der Anteil der Erdbeschleunigung korrigiert werden, der wegen des Wankwinkels in Querrichtung gemessen wird.
