Zeitumkehr (Physik)

Grundidee und Bedeutung

Zeitumkehr bezeichnet die Betrachtung eines physikalischen Vorgangs unter der Annahme, dass die Zeit in umgekehrter Richtung läuft. Mathematisch wird die Zeit t durch −t ersetzt. Sind die physikalischen Gesetze unter dieser Transformation unverändert, spricht man von Zeitumkehrinvarianz oder T-Symmetrie.

Nahezu alle grundlegenden Gesetze, besonders die der klassischen Physik, besitzen diese Symmetrie. Davon zu unterscheiden ist die Zeitinvarianz aus der Systemtheorie: Sie bezeichnet nicht die Umkehr der Zeit, sondern die Unabhängigkeit eines Systems von einer Verschiebung des Zeitpunkts. Eine bevorzugte Zeitrichtung tritt vor allem bei makroskopischen, alltäglichen Vorgängen und bei bestimmten quantenphysikalischen Prozessen auf.

Makroskopischer Zeitpfeil und Entropie

Unsere Alltagserfahrung zeigt, dass viele Vorgänge nicht umkehrbar erscheinen: Wasser fließt bergab, Tassen zerspringen beim Fallen, und heißer Tee kühlt auf Zimmertemperatur ab. Bei Bewegungen mit Reibung oder bei viskoser Strömung wird Energie dissipiert, also kinetische Energie in Wärme umgewandelt. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik legt für diese Umwandlung eine Richtung fest. Dadurch entsteht ein makroskopischer Zeitpfeil.

James Clerk Maxwell veranschaulichte das Problem mit dem Gedankenexperiment des Maxwellschen Dämons. Ein mikroskopischer Torwächter zwischen zwei Raumhälften lässt langsame Moleküle nur in eine Richtung und schnelle Moleküle in die andere Richtung passieren. Dadurch würde sich eine Hälfte auf Kosten der anderen erwärmen. Zunächst scheint dadurch die Entropie zu sinken und sich der Zeitpfeil umzukehren. Bezieht man jedoch den Dämon in die Betrachtung ein, nimmt die Gesamtentropie von Raum und Dämon zu.

Nach der heute wissenschaftlich konsensfähigen Interpretation von Ludwig Boltzmann und Claude Shannon steht der Logarithmus des Phasenraumvolumens mit der Informationsentropie in Beziehung. Das Phasenraumvolumen beschreibt dabei die Menge möglicher Zustände eines Systems. Der makroskopische Anfangszustand im Gedankenexperiment besitzt ein kleines Phasenraumvolumen, weil die Positionen der Atome begrenzt sind. Unter dem Einfluss von Dissipation vergrößert sich dieses Volumen, und die Entropie steigt.

Eine andere Sichtweise erklärt den stetigen Entropieanstieg damit, dass das Universum in einem Zustand niedriger Entropie begann. Andere Anfangszustände könnten möglicherweise zu sinkender Entropie führen. Dann wäre die makroskopische Irreversibilität ein kosmologisches Problem: Warum begann das Universum bei niedriger Entropie? Diese Frage ist in der aktuellen Physik offen.

Zeitumkehr in Bewegungs- und Feldgleichungen

Die grundlegenden Bewegungsgesetze kennen keine bevorzugte Zeitrichtung. Bei der Ersetzung t → −t ändern Größen, in denen t oder eine ungerade Potenz von t vorkommt, ihr Vorzeichen. Die Geschwindigkeit ist definiert durch v⃗ = d s⃗/dt und wird daher zu −v⃗. Ein rückwärts abgespielter Film zeigt ein Objekt, das sich mit gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung bewegt.

Die Beschleunigung ist a⃗ = d²s⃗/dt². Weil die Zeit hier in zweiter Potenz eingeht, bleibt ihr Vorzeichen unverändert: t → −t ⇒ a⃗ → a⃗. Bewegt sich ein Objekt beispielsweise von links nach rechts und wird schneller, so bewegt es sich bei Zeitumkehr von rechts nach links und wird langsamer; die Beschleunigung zeigt in beiden Fällen nach rechts.

Für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld gilt die Lorentz-Kraft F⃗ = m · a⃗ = q · v⃗ × B⃗. Da sich die Geschwindigkeit bei Zeitumkehr umkehrt, die Beschleunigung aber nicht, muss auch das Magnetfeld sein Vorzeichen wechseln: t → −t ⇒ B⃗ → −B⃗. Das ist mit der Entstehung eines Magnetfelds durch einen elektrischen Strom J⃗ vereinbar, denn auch der Strom kehrt bei Zeitumkehr seine Richtung um. Die Bewegung geladener Teilchen im elektromagnetischen Feld ist deshalb zeitumkehrsymmetrisch.

Quantenphysik und Verletzung der T-Symmetrie

Die Kinematik der Quantenphysik kann durch die Metrik des speziell-relativistischen Minkowskiraums beschrieben werden. Diese Metrik ist zeitumkehrinvariant. Die Bahnen von Teilchen können jedoch unter dem Einfluss von Wechselwirkungspotentialen, etwa beim β-Zerfall, die Zeitumkehrinvarianz verletzen. Wie in der klassischen Kinematik sagt die Kinematik allein nichts darüber aus, ob die Dynamik zeitumkehrinvariant ist. Die Dynamik kann diese Symmetrie verletzen, auch wenn man dieses Verhalten den kinematischen Größen nicht ansieht.

Eine grundlegende Verletzung der Zeitumkehrinvarianz wurde 1956 bei der schwachen Wechselwirkung, unter anderem beim β-Zerfall, indirekt entdeckt. Beobachtet wurde eine leichte Verletzung der CP-Invarianz. Diese ist die Symmetrie der physikalischen Gesetze bei gleichzeitiger Änderung der Vorzeichen von Ladung und Parität. Wenn das CPT-Theorem gilt, folgt daraus auch eine Verletzung der Zeitumkehrinvarianz. Das CPT-Theorem besagt, dass die physikalischen Gesetze unter der kombinierten Umkehr von Ladung (C), Raum beziehungsweise Parität (P) und Zeit (T) invariant sind.

Nachdem die Verletzung der CP-Symmetrie in den B-Meson-Fabriken BaBar und Belle 2002 bestätigt worden war, gelang 2012 durch die Nachanalyse alter BaBar-Daten der direkte Nachweis der T-Verletzung.

Mathematische Wirkung auf einen Zweierspinor

Wird der Zustand eines Systems durch einen Zweierspinor mit den Wellenfunktionen ψ₁(r⃗,t) = ψ↑(r⃗,t) und ψ₂(r⃗,t) = +ψ↓(r⃗,t) beschrieben, so besitzt der zeitlich invertierte Zweierspinor die Komponenten (𝒯ψ)₁(r⃗,t) = ψ↓(r⃗,t) und (𝒯ψ)₂(r⃗,t) = −ψ↑(r⃗,t).

Die Zeitumkehrtransformation umfasst damit drei Schritte: Die Wellenfunktionen werden komplex konjugiert, also ψ → ψ*; die Up- und Down-Spinkomponenten werden vertauscht, also ↑ ⇔ ↓; außerdem werden die Phasenfaktoren +1 beziehungsweise −1 angebracht. Diese Vorzeichen entsprechen der üblichen Winkelhalbierung beim Übergang von Vektoren zu Spinoren: exp(i·0°/2) = +1 und exp(i·360°/2) = −1.