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Zeitgleichung
In WOZ angegeben sind die Grenzen zwischen Nacht und Tag und zwischen Tag und Nacht zwar zueinander über die Datumsachse symmetrisch, nicht aber in MOZ.
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Kernidee und Bedeutung
Die Zeitgleichung, abgekürzt ZG oder ZGL, ist die Differenz zwischen wahrer Sonnenzeit und mittlerer Sonnenzeit:
ZG = WOZ - MOZ.
WOZ bedeutet wahre Ortszeit. Sie folgt dem tatsächlichen scheinbaren Lauf der Sonne am Himmel, wie ihn zum Beispiel eine Sonnenuhr zeigt. MOZ bedeutet mittlere Ortszeit. Sie ist ein gleichmäßig laufendes Zeitmaß und bildet seit dem späten Mittelalter die Grundlage der Alltagszeit. Sonnenuhren zeigen daher nicht immer die gleiche Zeit wie gleichmäßig laufende Uhren: Sie können gegenüber der mittleren Sonnenzeit bis etwa 16 Minuten vorgehen oder bis etwa 14 Minuten nachgehen.
Der Ausdruck „Gleichung“ ist historisch zu verstehen: Früher bedeutete er hier eine Korrektur, die man anbringen musste. Heute hat die mittlere Sonnenzeit, besonders als Zonenzeit, Vorrang; aus ihr kann man die wahre Sonnenzeit ableiten.
Verlauf im Jahr
Die Zeitgleichung verändert sich im Jahreslauf stetig. Ihre Werte liegen derzeit ungefähr zwischen +16 Minuten und etwa -14 Minuten. Pro Tag kann sie sich um bis zu etwa 30 Sekunden ändern. Über Jahrzehnte bleibt ihr Verlauf im Wesentlichen gleich; kleine Änderungen im Sekundenbereich entstehen unter anderem dadurch, dass Kalenderjahr und Sonnenjahr nicht genau kommensurabel sind.
Die Zeitgleichung hat im Jahresverlauf zwei Maxima und zwei Minima. Das liegt daran, dass sich zwei Effekte überlagern: ein Effekt mit jährlicher Periode und ein Effekt mit halbjährlicher Periode. Da diese Effekte phasenverschoben sind und unterschiedliche Perioden haben, sind die Extremwerte nicht gleich groß.
Für 2011 nennt der Artikel folgende Kennwerte: Nullpunkte am 13. April, 13. Juni, 1. September und 25. Dezember. Die Hauptextremwerte lagen am 11. Februar bei -14 min 14 s und am 3. November bei +16 min 26 s. Nebenextremwerte lagen am 14. Mai bei +3 min 40 s und am 26. Juli bei -6 min 32 s. Negative Werte bedeuten, dass die wahre Sonnenzeit der mittleren Sonnenzeit nachläuft; positive Werte bedeuten, dass sie ihr vorausläuft.
Die zwei Ursachen
Zum Verständnis der Zeitgleichung unterscheidet man zuerst den Sonnentag und den siderischen Tag. Ein Sonnentag ist die Zeit zwischen zwei Meridiandurchgängen der Sonne; er beträgt im Mittel 24 Stunden. Ein siderischer Tag ist die Zeit zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsterns und entspricht ungefähr einer Erdumdrehung; er beträgt im Mittel 23 Stunden 56 Minuten und 4 Sekunden. Der Unterschied von durchschnittlich 3 Minuten und 56 Sekunden entsteht, weil die Erde während ihrer Drehung zugleich auf ihrer Bahn um die Sonne weiterläuft.
Die erste Ursache der Zeitgleichung ist die elliptische Form der Erdbahn. Die Erde bewegt sich im Perihel, dem sonnennächsten Punkt im Januar, schneller als im Mittel. Im Aphel, dem sonnenfernsten Punkt im Juli, bewegt sie sich langsamer. Dadurch ändert sich die Länge des Sonnentages von Tag zu Tag um maximal etwa ±2 Winkelminuten beziehungsweise ±8 Zeitsekunden. Aufsummiert ergibt das innerhalb eines Jahres eine Schwankung der wahren Sonnenzeit von maximal etwa ±7,5 Minuten.
Die zweite Ursache ist die Neigung der Erdachse. Die Erdachse ist um etwa 23,5° gegenüber der Senkrechten auf die Ebene der Erdbahn, die Ekliptik, geneigt. Ihre Richtung im Weltraum bleibt über kurze Zeiträume nahezu stabil. Deshalb ändert sich im Lauf des Jahres, wie die tägliche Bewegung der Sonne auf den Himmelsäquator bezogen wird. Dieser Effekt würde auch bei kreisförmiger Erdbahn auftreten. Er verändert die Sonnentage von Tag zu Tag um maximal etwa ±20 Sekunden und ergibt aufsummiert eine halbjährliche Schwankung der wahren Sonnenzeit von maximal etwa ±10 Minuten.
Die genaue Zeitgleichung ist nicht einfach die exakte Summe zweier unabhängiger Sinuskurven. Die beiden Ursachen hängen mathematisch nicht-linear voneinander ab. Die Überlagerung der beiden Teilwirkungen liefert aber eine gute Näherung.
Berechnung
Für die rechnerische Darstellung verwendet der Artikel eine geozentrische Betrachtung: Man beschreibt also den scheinbaren Lauf der Sonne um die Erde. Die Zeitgleichung wird über die Rektaszensionen ausgedrückt. Rektaszension ist eine Himmelskoordinate, vergleichbar mit einer Längenangabe am Himmel.
Dazu werden zwei fiktive mittlere Sonnen eingeführt. Die erste mittlere Sonne S1 bewegt sich gleichmäßig auf der Ekliptik. Die zweite mittlere Sonne S2 bewegt sich gleichmäßig auf dem Himmelsäquator und repräsentiert die mittlere Ortszeit. Die wahre Sonne S bewegt sich dagegen ungleichmäßig auf der Ekliptik. Die Zeitgleichung als Winkel lautet:
ZG* = αm - α.
Dabei ist αm die Rektaszension der Vergleichssonne S2 und α die Rektaszension der wahren Sonne. Weil die Erde 360° in 24 Stunden dreht, entspricht 1° einer Zeit von 4 Minuten. Daher gilt für die Zeitgleichung in Minuten:
ZG = 4 · ZG*.
Für die Berechnung werden unter anderem Bahnelemente des scheinbaren Sonnenlaufs verwendet: die numerische Exzentrizität e, die Schiefe der Ekliptik ε, die Länge des Perigäums ϖ, der Zeitwinkel L und die Zeit t in Tagen seit dem 1. Januar 2000 12:00 UTC. Die Länge λ der wahren Sonne wird über die Mittelpunktsgleichung C bestimmt, wobei C = V - M = λ - L und damit λ = L + C gilt. Die Rektaszension der wahren Sonne ergibt sich aus
α = arctanλ(tan λ · cos ε),
während für die Vergleichssonne gilt:
αm = L.
Damit lautet die Rechengleichung ZG* = L - α und die Schlussgleichung:
ZG* = L - arctanλ(tan λ · cos ε).
Genauigkeit und Beispiel
Die im Artikel angegebene Formel ist mit den tabellierten Bahnelementen mehrere Jahrhunderte vor und nach dem Jahr 2000 verwendbar. Ihre Werte weichen um weniger als 5 Sekunden von einem genauen Referenzmodell wie VSOP ab. Solche Referenzmodelle berücksichtigen zusätzlich Störkräfte anderer Planeten und besonders des Mondes.
Als Zahlenbeispiel wird der 1. Mai 2015 um 15:00 UTC berechnet. Dabei ist t = 5599,125 d, e = 0,016703, ε = 23,437°, ϖ = 283,204° und L = αm = 5799,228°. Daraus folgen M = 5876,025°, C = 1,704°, λ = 5800,932° und α = 5798,508°. Damit ergibt sich ZG* = 0,720° und ZG = 2,88 min, also 2:52,8. Ein präziser Vergleichswert beträgt 2,89 min beziehungsweise 2:53,4.
Für ausgezeichnete Bahnpunkte kann die Berechnung kürzer sein, weil dann nicht zuerst der zu einer vorgegebenen Zeit gehörende Bahnort aufwendig bestimmt werden muss.
Folgen und Darstellung
Eine bekannte Folge der Zeitgleichung betrifft Sonnenaufgang und Sonnenuntergang zur Zeit der Sonnenwenden. Im Dezember geht die Sonne schon mehrere Tage vor der Wintersonnenwende wieder später unter, während sie erst mehrere Tage nach der Wintersonnenwende wieder früher aufgeht. Der kürzeste lichte Tag bleibt trotzdem etwa beim 22. Dezember; durch den Schaltjahrzyklus kann es eine Variation von etwa einem Tag geben. Bei der Sommersonnenwende gibt es denselben Effekt, aber schwächer, weil die Steigung der Zeitgleichung als Funktion des Datums dort nur etwa ein Drittel so groß ist.
Stellt man die Zeitgleichung zusammen mit der Deklination der Sonne dar, entsteht eine Schleifenfigur, das Analemma. Die Deklination ist die nördliche oder südliche Winkelstellung der Sonne relativ zum Himmelsäquator. Ein Analemma kann auf Sonnenuhren verwendet werden, um statt der wahren Sonnenzeit die mittlere Sonnenzeit abzulesen. Es ist auch am Himmel sichtbar, wenn man die Sonne über längere Zeit täglich am gleichen Ort und immer zur gleichen mittleren Uhrzeit fotografiert und die Bilder zusammensetzt.