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Mittlere & momentane Änderungsrate (Wachstum) | Klassische Klausuraufgabe einfach erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 97 Zeilen
- Hallo, ich begrüße euch zu einem neuen Video aus der Differentialrechnung. Und zwar möchte ich mit euch gemeinsam diese Aufgabe hier, die ein bisschen
- umfangreicher ist, gemeinsam rechnen. Es ist so eine klassische Klausuraufgabe aus der elfen Klasse. Wenn euch das interessiert, gehen wir die jetzt
- gemeinsam Schritt für Schritt durch. Es handelt sich um das Wachstum einer Sonnenblume. Die Höhe in Zentimetern wird in Abhängigkeit von der Zeit t in
- Tagen seit Beobachtungsbeginn beschrieben durch diese Funktionsgleichung. Wir starten mit der ersten Aufgabe. Bestimmen Sie mit Hilfe
- des Grafens, in welchem Intervall die Funktion sinnvolle Werte für die Höhe der Sonnenblume liefert. Also, es geht ja um das Wachstum der Sonnenblume. Hier
- haben wir jetzt einmal auf der y-Achse die Höhe in Zentimetern der Sonnenblume und auf der X-Achse die Zeit in Tagen. Und das ist der grafische Verlauf. Und
- nicht alles macht Sinn. Erstmal negative Zeiten, also Minuszeit. Hier ist Untersuchungsbeginn. Negative x-Werte bzw. t-Werte sind also die können wir
- schon mal streichen. Genauso wie diesem Bereich. Der ist ja auch negativ. Es macht schon mal am Sachzusammenhang gar keinen Sinn. Wenn wir uns das jetzt
- anschauen, also das ist Untersuchungsbeginn, hat die Sonnenblume eine Höhe von 20 cm. Das sehen wir hier an der Zahl ohne X.
- Das ist also praktisch unsere erste Intervallgrenze. Vorher negative Bereich macht eben keinen Sinn. Dann wächst die Pflanze,
- wächst, wächst, wächst bis hier oben. Da ist dann praktisch die maximale Höhe erreicht und ab hier würde sie wieder schrumpfen. Aber das macht im
- Sachzusammenhang ja keinen Sinn, dass die Pflanze wieder schrumpft. Und da haben wir jetzt unsere obere Intervallgrenze, zumindestens im
- sinnvollen Sachzusammenhang. Wir haben jetzt das Glück, wir dürfen das Ganze jetzt grafisch bestimmen, dieses Intervall. Ich markiere mir das
- Intervall jetzt auf der T-Achse, also auf der X-Achse sozusagen. Also um dieses Intervall geht's. Und da könnte man jetzt auch von einem sinnvollen
- Definitionsbereich sprechen. Der Definitionsbereich, der sagt eben, welche x-Werte, also diese, in dem Fall t-Werte darf ich in diese Funktion
- einsetzen. Wenn ihr das einfach als Intervall aufschreiben dürft, dann nehmt ihr jetzt eben einfach d für Definitionsbereich und dann gibt ihr
- eben an von 0 bis, ich sage jetzt mal 8,4 Intervall von 0 bis 8,4. Wenn ihr das Ganze ein bisschen mathematischer aufschreiben müsst, das
- kann ja auch sein, da gibt's aber auch noch andere Schreibweisen, dann könnte das auch so aussehen. Also t, unser t Element der reellen Zahlen. So und jetzt
- geben wir das Intervall an. Das t befindet sich praktisch zwischen 0 und 8,4. Übersetzt ist, dass t größer = 0 bzw.
- kleiner = 8,4. Wir hatten jetzt ja das Glück, dass wir das Ganze grafisch bestimmen durften, aber wenn ihr das Ganze berechnen müsstet, also wenn ihr
- jetzt die Stelle berechnen müsstet mit 8,4, wie würdet ihr das machen? Hier befindet sich ja der Hochpunkt von der Funktionsgleichung und dafür müsst ihr
- jetzt wissen, was ist das Besondere an soem Hochpunkt? Das Besondere an dem Hochpunkt ist seine Steigung. So, was für eine Steigung hat er? Wir haben hier
- eine wagerechte Tangente. Das bedeutet, er hat die Steigung null. Und womit berechnen wir die Steigung? Mit der ersten Ableitung. Das heißt, wenn ihr
- das Ganze jetzt berechnen müsstet, würdet ihr eben die erste Ableitung von t bilden und diese dann null setzen, also die Nullstellen der ersten
- Ableitung ausrechnen. So, aber wir durften das ja jetzt Gott sei Dank grafisch bestimmen und deswegen sind wir mit dieser Aufgabe jetzt fertig und
- können uns um die nächste Aufgabe kümmern. So, die Aufgabe lautet: Wie ist die Sonne zu Beginn und zwei Tage nach Beobachtungsbeginn. Wir haben jetzt hier
- zwei Zeitpunkte gegeben. Das heißt jetzt, wir fangen mal mit Beginn an. zu beginnen, was für ein Zeitpunkt haben wir? Da haben wir Zeitpunkt t = 0. So.
- Und das Schöne ist, wenn die Funktionsgleichung hier so gegeben ist, dann könnt ihr den ganz einfach ablesen, diesen Zeitpunkt. Wir haben das eben
- schon im Intervall gesehen. Das ist der Schnittpunkt mit der y-Achse und den könnt ihr einfach ablesen. Das ist die Zahl ohne x. Aber meistens muss man das
- ja noch bestimmen bzw. rechnerisch zeigen. Das heißt, gewöhnt euch das direkt an. Also, wir haben t = 0. Wir setzen für t einfach 0 ein. T von 0
- = und dann für jedes t eben die 0 einsetzen. Und da einfach alles mal 0 ist, ist das ganze hier 0 und es bleibt übrig. H von
- 0 = 20 cm. Also zu Beginn war unsere Pflanze 20 cm groß. Das ganze sehen wir auch hier dran, aber man muss das natürlich auch noch irgendwie
- rechnerisch zeigen und das macht ihr dann eben, indem ihr für t = 0 einsetzt. Und natürlich nicht den Antwortsatz vergessen. Dann schauen wir uns jetzt
- die zweite Aufgabe an. Das ist t = 2. Wir ersetzen jetzt einfach in unserer Funktionsgleichung hier oben jedes t durch die 2 auch hier vorne.
- Das lässt sich Gott sei Dank schnell ausrechnen. Wir haben hier einen ungeraden Exponenten, das heißt, dass Minus bleibt. Beim geraden Exponenten
- würde es plus werden, aber ungrader Exponent das Minus bleibt. Und jetzt müssen wir nur noch 2 hoch 3 rechnen. 2 x 2* 2 x 2= 4* 2= 8. Also -8 + Wir haben
- ja 2²= 4. 4* 12= 48 9* 2= 18 + die 20 -8 + 48= 40 + 18 sind 58 + 20 sind 78. Also am zweiten Tag hat die Pflanze eine Höhe
- von 78 cm und dann war's das auch schon. C Berechnen Sie die durchschnittliche bzw. diese mittlere Wachstumsgeschwindigkeit
- im Intervall 1 bis 3. Ich markiere mir mal das Intervall, dieses kleine Intervall. Hierum handelt es sich um das Intervall 1 bis 3. Wir wollen die
- mittlere Wachstumsgeschwindigkeit bzw. durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen. Also die durchschnittliche mittlere
- Änderungsrate. Was ist das? Das ist diese Kantensteigung in einem Intervall. Vielleicht erinnert ihr euch. Das heißt, es geht jetzt um eine Sekante, die durch
- diese beiden Punkte verläuft. Also eine Sekante ist ja eine gerade und die Sekantensteigung ist dann die durchschnittliche Geschwindigkeit, die
- durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in diesem Intervall. Und womit berechnen wir das Ganze? Das berechnen wir mit dem
- Differenzenkurzchen. Den schauen wir uns jetzt gemeinsam an. So, ich habe uns die Funktionsgleichung hier noch mal aufgeschrieben. Das Intervall, um das es
- geht. Der Differenzenquotient, das ist unsere Sekantensteigung. Steigung ist praktisch Delta y durch Delta X. Das war übersetzt y2 - y1
- x2 - x1. Das konnte man jetzt aber auch noch anders aufschreiben in f(x) - f von x0 x - x0 und was habe ich jetzt aufgeschrieben vom Prinzip her? ist,
- dass sie die ganz normale Formel, wie wir die Steigung zwischen zwei Punkten bestimmen können und zwar zwischen diesen beiden Punkten hier von einer
- Geraden. Das hier ist Delta Y und das ist Delta X. Und wenn wir die durcheinander teilen, dann haben wir diese Kantensteigung bestimmt. Also ganz
- normale Berechnung der Steigung einer Geraden. Und was brauchen wir dafür? Wir brauchen zwei Punkte. Wir haben jetzt hier jeweils x-Werte immer die Stellen,
- also Stelle 1 und Stelle 2. Das hier ist x1 und das ist x2. Dazu brauchen wir jetzt, wie ihr seht, jeweils die Y Koordinaten, also wir brauchen die
- Punkte. Bis jetzt haben wir nur Punkt 1 die X-Koordinate, uns fehlt die Y Koordinate und Punkt 2 ebenso. Und das ist jetzt unser nächster Schritt. Wir
- bestimmen die passenden Y Werte. So, ich habe euch das jetzt noch mal aufgeschrieben. Wir wollen also die y Koordinaten bestimmt zu unserem
- gegebenen x Werten. Das ist unsere Ausgangsfunktion, die gegeben ist. Wie mache ich das jetzt? Wie bestimme ich y Koordinaten? Ich setze einfach die
- x-Werte jeweils, also in dem Fall sind es ja nicht die x-Werte, sondern t, t1 und t2. Das heißt, um jetzt meinen ersten Punkt zu finden, setze ich jetzt
- die 1 jeweils hier fürs t ein. -1 hoch 3= -1 1 zum ² 1* 12= 12 9* 1= 9 + 20 alles zusamm 11 20 40 und damit haben
- wir auch schon unseren ersten Punkt gefunden. Also Punkt 1 hat die Koordinaten 1 und 40. Gut, dann haben wir jetzt
- unseren ersten Punkt gefunden. Jetzt brauchen wir natürlich noch unseren zweiten Punkt. Das heißt, ich setze jetzt einfach die drei wieder für unsere
- Ts ein und bestimmen das Ganze dann so, wir haben wieder einen ungeraden Exponenten, also bleibt das minus und 3
- hoch 3 x 3= 9* 3= 27, also -27 + 3²= 9 und 9* 12= 108 9* 3= 27 + die 20 so die 27 heben sich auf, Also 108 + 20 sind 128. Dann haben wir unseren zweiten
- Punkt auch gefunden. Das heißt, nach 3 Tagen hat unsere Sonnenblume eine Höhe von 128 cm erreicht. So, warum haben wir das noch mal gemacht mit diesen beiden
- Punkten? Genau, wegen dem Differenzenkurtient und da müssen wir jetzt wieder hin. Ich habe uns das hier jetzt noch mal alles aufgeschrieben. Das
- hier war unsere Ausgangsfunktion, unsere frisch gefundenen Punkte, den Differenzenquotient, den wir eben schon mal, also damit berechnen wir die
- Steigung der Sekante. Und das machen wir jetzt. Also, wir haben jetzt hier praktisch den Punkt 2 und das hier ist der Punkt 1. Die brauchen wir jetzt
- einfach nur einsetzen. Also, ich nehme jetzt den Punkt und setze ihn eben hier ein. Das hier ist die y-koordinate, das ist die x-Koordinate
- dem ersten Punkt. Also y war 40 und x ist 1, das sind 88 dur und das sind 44
- und das sind dann pro Tag. Die Sonnenblume wächst zwischen dem ersten und dem dritten Tag im Durchschnitt 44 cm pro Tag. So, das war
- schon die Aufgabe. Wir können uns die nächste direkt mal anschauen. Also, die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie h str 4. Was bedeutet dieser Wert im
- Sachzusammenhang? Okay, also h str 4 er h str was ist das? Das ist die erste Ableitung.
- Das bedeutet für uns jetzt natürlich erstmal, wir müssen die erste Ableitung bilden. H str, also ich bilde die erste Ableitung,
- indem ich den Exponenten nach vorne multipliziere. Das ist dann -3 und jetzt vom Exponenten ein abziehe, das ist dann hoch 2. Also t hoch 2 gleich hier vorne.
- Ich multipliziere die 2 nach vorne. 12* 2= 24 und ziehe jetzt vom Exponenten ein ab. Das ist dann hoch 1 und hoch 1, das können wir so stehen lassen. Also
- einfach 24t hier habe ich t hoch 1. Wenn ich den 1 x 9 bleibt wie es ist, also + 9. Jetzt habe ich hier t hoch 1. Wenn ich davon einen abziehe, habe ich hier t
- hoch 0, also 9* 1 und 9 x 1= 9. Also fällt das t komplett weg. Und am Ende habe ich jetzt eine Konstante, also eine Zahl ohne t bzw. ohne x und die fällt
- beim ableiten e weg. So, das hier ist jetzt also unsere Ableitung und wir sollen jetzt in unsere erste Ableitung die vier einsetzen und den Wert
- bestimmen. Das machen wir. Also, ich setze jetzt in die Ableitung die 4 ein. Für jedes T ersetze ich jetzt die vier. So. Und wenn ich das jetzt alles
- ausrechne, kommt da 57 bei raus. Das ist jetzt bestimmt sie h str 4. Was bedeutet das Ganze denn jetzt im Sachzusammenhang?
- Die erste Ableitung ist die Steigung. Im Sachzusammenhang ist das immer die momentane Änderungsrate. In unserem Fall, wir haben die Höhe in Zentimetern
- und Zeitpunkt t in Tagen und die Kombination daraus ist dann Zentimeter pro Tag. Das ist also unsere Maßeinheit Zentimeter pro Tag. Und im
- Sachzusammenhang bedeutet das jetzt, also wenn wir da jetzt ein Antwortsatz formulieren wollen, die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Sonnenblume
- beträgt an Tag 4 57 cm pro Tag. Also, dieser Slash heißt übrigens, könnt ihr mit Pro übersetzen, nur so als kleine Hintergrundinfo.
- Gut, dann können wir uns jetzt die letzte Aufgabe anschauen. Nennen Sie zwei Zeitpunkte, an denen die Sonnenblume schneller wächst als am Tag
- 2. Hier habe ich noch mal unsere Ausgangsfunktion, unsere erste Ableitung, die wir gerade gefunden haben, womit wir die
- Wachstumsgeschwindigkeit, also die Steigung ist in dem Fall die Wachstumsgeschwindigkeit der Sonnenblume bestimmen können. So, wir wollen jetzt
- wissen, also an welch zu welchen Zeitpunkten ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Sonnenblume schneller als an Takt 2.
- Das heißt, wir müssen jetzt als ersten Schritt erstmal herausfinden, wie schnell war denn unsere Sonnenblume überhaupt bzw. wie schnell ist die
- Sonnenblume denn überhaupt an Tag 2 gewachsen? Das machen wir, indem wir jetzt einfach in unsere erste Ableitung die zwei einsetzen. Und wenn ich das
- jetzt ausrechne, kommt da eben 45 cm pro Tag raus. Also hat eine Wachstumsgeschwindigkeit von 25 cm pro Tag. Also was suchen wir jetzt? Wir
- suchen jetzt Wachstumsgeschwindigkeiten, die größer sind als 45 cm pro Tag. So, und wie finden wir das Ganze jetzt raus? Ganz einfach mit einer
- Tabelle. Wir schauen uns das mal an. So, jetzt gebe ich hier ganz einfach meine erste Ableitung ein. Also -3 x zum
- oder t zum Quadrat + 24 t + 9. Und lass mir dazu jetzt eben eine Tabelle anzeigen, denn seht ihr hier jetzt schon am Tag 2 haben wir eine
- Wachstumsgeschwindigkeit von 45. Am ersten Tag sind wir drunter, am dritten Tag sind wir drüber, am vierten Tag sind wir drüber, am fünften
- Tag sind wir auch drüber und dann geht sie eben wieder runter, die Wachstumsgeschwindigkeit. Also, da sind wir wieder bei 45. Wir haben also drei
- Lösungen. Wir haben einmal Tag 3, Tag 4 und Tag 5. Da ist die Wachstumsgeschwindigkeit höher als 25 cm pro Tag. Und wir brauchen ja aber nur
- zwei Werte. Das heiß dürft ihr euch jetzt welche aussuchen. Ich nehme dann eben Tag 3 und 4. Dann braucht ihr natürlich noch einen passenden
- Antwortsatz. Am dritten und am vierten Tag wächst die Sonnenblume schneller als am zweiten Tag. So und das war's schon. Ich hoffe, ihr habt alles verstanden.
- Bei Fragen, schreibt mir gerne in die Kommentare bzw. falls euch das Video geholfen hat oder gefallen hat, dann lasst auch einen Daumen nach oben da
- bzw. ein freundlichen Kommentar. Da freue ich mich auch immer wirklich sehr drüber. Ansonsten freue ich mich natürlich, wenn wir uns wiedersehen.