Infixnotation

Grundidee

Die Infixnotation ist die allgemein gebräuchliche Form der mathematischen Notation, bei der Operatoren zwischen die Operanden gesetzt werden. Sie wird auch Algebraische Notation genannt. Ein Operator ist ein Rechenzeichen wie +, -, ·, / oder eine Potenzierung; Operanden sind die Zahlen oder Ausdrücke, auf die der Operator angewendet wird.

Ein Beispiel ist: 1 + 2 · 8 / 12. Diese Schreibweise ist vertraut, kann aber ohne feste Regeln mehrdeutig sein, weil das Ergebnis davon abhängt, in welcher Reihenfolge die Rechenoperationen abgearbeitet werden.

Mehrdeutigkeit ohne Regeln

Beim Ausdruck 1 + 2 · 8 / 12 wären verschiedene Abarbeitungen denkbar. Würde man streng von links nach rechts rechnen, ergäbe sich: 1 + 2 = 3, dann 3 · 8 = 24, dann 24 / 12 = 2.

Nach der allgemein gebräuchlichen Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ rechnet man dagegen zuerst 2 · 8 = 16, dann 16 / 12 = 1,333..., und zuletzt 1 + 1,333... = 2,333.... Das zeigt, dass dieselbe Schreibweise ohne vereinbarte Operatorrangfolge zu unterschiedlichen Ergebnissen führen kann.

Operatorrangfolge und Assoziativität

Damit komplexere Rechenausdrücke eindeutig verstanden werden können, gibt es in der Infixnotation feste Regeln zur Abarbeitung. Diese Regeln legen Prioritäten für Gruppen von Operatoren fest. Punktrechnung, also Multiplikation und Division, wird vor Strichrechnung, also Addition und Subtraktion, ausgeführt.

Wenn mehrere Punktrechnungen oder mehrere Strichrechnungen hintereinander vorkommen, werden sie von links nach rechts ausgewertet. Man sagt: Diese Operatoren sind linksassoziativ. Ein Beispiel für eine solche Mehrdeutigkeit ist 1/2·3. Als 1/(2·3) von rechts nach links gelesen ergäbe sich 1 / 6 = 0,1666.... Allgemein gebräuchlich ist aber die Auswertung von links nach rechts als (1/2)·3: 1 / 2 = 0,5 und 0,5 · 3 = 1,5.

Potenzierung und Klammern

Noch vor Punktrechnungen werden Potenzierungen ausgewertet. Deshalb gilt zum Beispiel: a · b^c = a · (b^c). Die Potenzierung hat also eine höhere Priorität als Multiplikation und Division.

Anders als Punkt- und Strichrechnung ist die Potenzierung rechtsassoziativ. Sie wird von rechts nach links ausgewertet. Der Ausdruck a^(b^(c^d)) wird im Artikel in der Form a^{b^{c^{d}}} angegeben und muss als a^{(b^{(c^{d})})} gelesen werden.

Um die vorgegebene Operatorrangfolge zu verändern, verwendet man Gliederungszeichen, vor allem Klammern. Mit Klammern kann man festlegen, welche Teile eines Ausdrucks zuerst berechnet oder zusammen gelesen werden sollen.