Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion

Grundidee und Definition

Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion, auch Quantilfunktion genannt, ist eine reelle Funktion der Stochastik. Sie ordnet einer Zahl u zwischen 0 und 1 einen Wert der zugrunde liegenden Zufallsvariablen zu. Anschaulich gibt sie den kleinsten Wert an, an dem die Verteilungsfunktion ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsniveau erreicht oder überschreitet. Sie wird insbesondere zur Bestimmung von Quantilen, zur Konstruktion von Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilung und zur Erzeugung von Zufallszahlen verwendet.

Sei X eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F_X: ℝ → [0,1]. Für eine Verteilungsfunktion gilt:

• F_X ist monoton wachsend und rechtsseitig stetig.
• lim_{x→−∞} F_X(x) = 0 und lim_{x→∞} F_X(x) = 1.

Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion existiert auch dann, wenn F_X keine gewöhnliche Umkehrfunktion besitzt. Das ist wichtig, weil Verteilungsfunktionen beispielsweise auf Intervallen konstant sein können.

Quantile und zwei inverse Funktionen

Ein Wert r ∈ ℝ heißt α-Quantil von X oder von F_X, wenn für α ∈ (0,1) gilt:

P(X < r) ≤ α ≤ F_X(r).

Bei nicht streng monotonen Verteilungsfunktionen kann es mehrere α-Quantile geben. Das untere α-Quantil ist

q_X⁻(α) = inf{x ∈ ℝ | F_X(x) ≥ α} = sup{x ∈ ℝ | F_X(x) < α}.

Das obere α-Quantil ist

q_X⁺(α) = inf{x ∈ ℝ | F_X(x) > α} = sup{x ∈ ℝ | F_X(x) ≤ α}.

Eine Funktion q_X: (0,1) → ℝ, deren Wert q_X(α) für jedes α ∈ (0,1) ein α-Quantil von X ist, heißt Quantilfunktion von X oder F_X.

Die linke verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion beziehungsweise untere Quantilfunktion ist definiert durch

F_{X−}^{−1}(u) := min{x ∈ ℝ | F_X(x) ≥ u} = q_X⁻(u).

Die rechte verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion beziehungsweise obere Quantilfunktion ist definiert durch

F_{X+}^{−1}(u) := inf{x ∈ ℝ | F(x) > u} = q_X⁺(u).

Je nach Literatur werden linke verallgemeinerte Inversen auch Quasiinverse oder Pseudoinverse genannt. Wenn nur von der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion oder der Quantilfunktion gesprochen wird, ist normalerweise die linke beziehungsweise untere Quantilfunktion gemeint.

Eigenschaften und anschauliche Bestimmung

Für alle 0 < α < 1 gilt:

q_X⁻(α) ≤ q_X⁺(α).

Die Menge aller α-Quantile der Verteilung von X ist genau das Intervall [q_X⁻(α), q_X⁺(α)]. Ist F_X streng monoton, dann gilt

q_X⁻(α) = q_X⁺(α) für alle 0 < α < 1;

die untere und die obere Quantilfunktion stimmen dann überein. Ist F_X invertierbar, so ist F_X⁻¹ ihre gewöhnliche Umkehrfunktion. Die linke verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion ist linksseitig stetig, die rechte ist rechtsseitig stetig.

Die Schreibweise F⁻¹ ist daher teilweise nur als Hinweis auf eine inverse Beziehung zu verstehen: Eine Verteilungsfunktion muss nicht invertierbar sein. Die verallgemeinerte inverse Funktion existiert jedoch immer.

Bei einer stetigen Verteilungsfunktion kann man den Wert an der Stelle u geometrisch bestimmen. Man zeichnet die zur x-Achse parallele Gerade mit Höhe u. Schneidet sie die Verteilungsfunktion in einem Punkt (x,u), dann ist x der Funktionswert der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion an der Stelle u. Schneidet sie die Verteilungsfunktion in einem Intervall, wird der Punkt mit der kleinsten x-Koordinate gewählt.

Beispiel: Exponentialverteilung

Für die Exponentialverteilung lautet die Verteilungsfunktion

F_X(x) = { 1 − e^(−λx) für x ≥ 0, 0 für x < 0 },

wobei λ ein echt positiver reeller Parameter ist. Auf (0,∞) ist F_X streng monoton wachsend und bildet dieses Intervall bijektiv auf (0,1) ab. Deshalb besitzt sie dort eine eindeutige Umkehrfunktion.

Ausgehend von

u = 1 − e^(−λx)

und durch Auflösen nach x erhält man

F_{X−}^{−1}(u) = −ln(1−u)/λ.

Im Allgemeinen lässt sich eine verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion jedoch selten direkt berechnen. Verteilungsfunktionen diskreter Verteilungen besitzen häufig konstante Bereiche und sind deshalb nicht invertierbar. Außerdem kann selbst bei Invertierbarkeit eine geschlossene Darstellung fehlen. Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung muss stets numerisch berechnet werden.

Verwendungen

Die Quantiltransformation ermöglicht die Konstruktion einer reellwertigen Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilung. Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion ist monoton wachsend und linksseitig stetig und damit messbar von ((0,1), 𝔅((0,1))) nach (ℝ, 𝔅(ℝ)). Versehen mit der stetigen Gleichverteilung 𝒰_(0,1), beziehungsweise dem Lebesgue-Maß, besitzt F⁻¹ genau die Verteilung mit der Verteilungsfunktion F. Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf ℝ mit Verteilungsfunktion F_P kann somit als Verteilung der Zufallsvariablen

F_P⁻¹: ((0,1), 𝔅((0,1)), 𝒰_(0,1)) → (ℝ, 𝔅(ℝ))

aufgefasst werden. Dadurch kann die Untersuchung einer Zufallsvariablen von einem konkreten zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum gelöst werden. Auf demselben Grundgedanken beruht die Inversionsmethode zur Erzeugung von Zufallszahlen aus Standardzufallszahlen.

Die Konstruktion wird auch verwendet, um die Existenz reellwertiger stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen zu zeigen. Zunächst werden unabhängige Zufallsvariablen auf (0,1) konstruiert. Ihre Verkettung mit vorgegebenen verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktionen liefert reellwertige Zufallsvariablen mit den gewünschten Verteilungen, die weiterhin stochastisch unabhängig sind.

Ist eine Verteilung P oder eine Zufallsvariable X mit P_X = P gegeben, dann ist F⁻¹(u) stets ein u-Quantil. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.

Auch Risikomaße im Finanzsektor beruhen auf Quantilfunktionen. Für X und −X gilt für 0 < α < 1:

q_{−X}⁻(α) = −q_X⁺(1−α),

q_{−X}⁺(α) = −q_X⁻(1−α).

Ist X eine Verlustvariable, bei der Verluste positiv und Gewinne negativ dargestellt werden, dann ist der Value at Risk zum Sicherheitsniveau 1−α definiert durch

VaR_{1−α}[X] = q_X⁻(1−α).

Wird stattdessen die Gewinnvariable Y = −X verwendet, bei der Verluste negativ und Gewinne positiv sind, gilt

q_X⁻(1−α) = −q_{−X}⁺(α) = −q_Y⁺(α).

Der Value at Risk ist bei Verwendung der Gewinnvariablen daher das negative obere α-Quantil von Y.