Trugschluss (Mathematik)

Begriff und Funktion mathematischer Trugschlüsse

Mathematische Trugschlüsse und Fehlschlüsse sind scheinbar schlüssige Rechnungen oder Beweise, die zu einem falschen Ergebnis führen. In der Philosophie werden Trug- und Fehlschlüsse zusammen als Fallazien bezeichnet. Scheinbeweise sind mathematische Beweise, in denen solche Fallazien auftreten.

Bei einem Fehlschluss handelt die betreffende Person in gutem Glauben; beim Trugschluss gehört die Absicht zu täuschen wesentlich dazu. Diese Unterscheidung ist allerdings nicht scharf. Der Fehler wird meist so verborgen, dass er zunächst nicht auffällt und erst durch ein absurdes Resultat sichtbar wird. Solche Beispiele können auch als mathematische Witze gestaltet sein, bei denen typische mathematische Schlussweisen in einem absurden Zusammenhang verwendet werden.

Häufig wird eine mathematische Regel missachtet. Dadurch entsteht der Eindruck, die Regel selbst führe zum widersprüchlichen Ergebnis. Typische Fehler sind die Division durch null, das Gleichsetzen mehrdeutiger Ausdrücke, unzulässige Umformungen in Algebra und Analysis sowie fehlerhafte geometrische Skizzen. Das Aufdecken von Scheinbeweisen gehört in der mathematischen Didaktik zu den Problemlöseaktivitäten. Entscheidend ist, jeden einzelnen Umformungsschritt, die Voraussetzungen und die verwendeten Definitionen zu prüfen.

Arithmetische und algebraische Scheinbeweise

Eine eigene Klasse bilden Trugschlüsse mit einem richtigen Ergebnis trotz falscher Rechnung, englisch howler („grober Schnitzer“). Manchmal gleichen sich zwei Fehler zufällig aus. Solche Herleitungen liefern nur in Spezialfällen das richtige Resultat, sind nicht allgemeingültig und daher mathematisch wertlos.

Ein Beispiel ist das Addieren von Einzelpreisen mit unterschiedlichen Mengen und Mengeneinheiten. In der angegebenen Rechnung wird der Endpreis 4 s 8¾ d zwar richtig erhalten, obwohl die Mengen teilweise nicht korrekt berücksichtigt werden. Auch das scheinbare Kürzen einzelner Ziffern kann zufällig funktionieren: 26/65 wird zu 2/5. Dagegen ist etwa das „Kürzen“ in (a²−b²)/(a−b) zu a+b normalerweise keine zulässige Ziffern- oder Zeichenkürzung, auch wenn das Ergebnis unter geeigneten Voraussetzungen durch korrektes Faktorisieren entstehen kann.

Ebenso ist das Herausziehen eines Summanden aus einer Wurzel normalerweise unzulässig. Die Beispiele √(5 5/24) = 5√(5/24) und √(12 12/143) = 12√(12/143) funktionieren hier nur wegen der Kurzschreibweise gemischter Brüche und der allgemeingültigen Regel √(n + n/(n²−1)) = n√(n/(n²−1)).

Bei der Verknüpfung scheinbar gleicher Größen müssen Einheiten beachtet werden. Aus 2 kg = 2000 g und 3 kg = 3000 g folgt nicht 6 kg = 6 000 000 g. Korrekt ist: (2 kg)·(3 kg) = 6 kg²; in Gramm ergibt sich (2000 g)·(3000 g) = 6 000 000 g² = 6·(1000 g)² = 6 kg². Die Einheiten müssen am Ende auf beiden Seiten einer Gleichung und in allen Summanden einer Summe übereinstimmen.

Ein sprachlicher Trugschluss lautet: „Keine Katze hat acht Schwänze. Eine Katze hat einen Schwanz mehr als keine Katze. Also hat eine Katze neun Schwänze.“ Die Aussage „Keine Katze“ bezeichnet jedoch keine Katze und darf nicht mit den Katzen zusammengefasst werden. Ersetzt man „Keine Katze“ etwa durch „Flagellat“, ist die zweite Aussage falsch; der Wahrheitsgehalt der Schlussfolgerung ist dann mathematisch unbestimmt.

Unzulässige algebraische Umformungen

Ein grundlegender Fehler ist die Division durch null. Aus 0·a = 0·b darf durch Division mit dem gemeinsamen Faktor 0 nicht a = b gefolgert werden. Im Scheinbeweis 2 = 1 wird zunächst a = b vorausgesetzt. Nach Umformungen entsteht 2(a²−ab) = a²−ab. Im fünften Schritt wird durch a²−ab = a(a−b) = 0 dividiert. Genau diese Division durch null ist unzulässig.

Der Scheinbeweis 1+1=2 beginnt mit n(2n−2)=n(2n−2). Nach dem Zusammenfassen entsteht (n−n)(2n−2)=0 und anschließend scheinbar 2n−2=0. Im dritten Schritt wird jedoch durch n−n=0 dividiert. Die anschließende Darstellung von 1+1=2 als Spezialfall einer angeblich allgemeingültigen Gleichung n+n=2 parodiert die Tendenz, einen Satz möglichst allgemein zu formulieren.

Weitere Trugschlüsse entstehen beim Gleichsetzen mehrdeutiger Ausdrücke. Eine Quadratzahl ungleich null hat zwei verschiedene Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. Aus (−a)²=(+a)² darf deshalb nicht −a=a folgen. Im Beweisschema „Alle Zahlen sind gleich“ wird im siebten Schritt aus (a−t/2)²=(b−t/2)² nur die Gleichheit der beiden Basen abgeleitet. Korrekt wäre auch die Möglichkeit a−t/2 = −(b−t/2), die gleichbedeutend mit a+b=t ist.

Im Komplexen hat jede Zahl außer null zwei verschiedene Quadratwurzeln. In i=√(−1) steht die rechte Seite daher für die Werte +i und −i, während links eine feste komplexe Zahl steht. Im Scheinbeweis −1=1 werden diese beiden Wurzeln im dritten Schritt gleichgesetzt. Auch die Gleichungskette i·i=√(−1)·√(−1)=√((−1)(−1))=√1=1 ist fehlerhaft: Bei der üblichen positiven reellen Hauptwurzel muss hier das negative Vorzeichen berücksichtigt werden. Die Potenzgesetze (w/z)^r=w^r/z^r, (w·z)^r=w^r·z^r und (z^a)^b=z^(a·b) sind im Komplexen nur eingeschränkt gültig.

Bei Eulers Relation e^(2πi)=1 führt das Erheben zur i-ten Potenz scheinbar zu e^(−2π)=0,001867…=1. Der Fehler besteht darin, mehrdeutige komplexe Potenzen auf beiden Seiten durch jeweils ungleiche Hauptwerte zu ersetzen.

Trugschlüsse in der Analysis

In der Differentialrechnung können Differentiale wie dx in bestimmten Fällen null sein, etwa wenn x eine Konstante ist. Daraus darf nicht ohne Prüfung einer Nebenbedingung auf ein allgemeines Extremum geschlossen werden.

Beim Scheinbeweis über den nächsten Punkt eines Kreises wird ein Kreis mit Radius b und Mittelpunkt M betrachtet. Der Punkt P liegt nicht auf dem Kreis und nicht in dessen Mittelpunkt. Nach einer Koordinatenwahl liegt M bei x=a; für R=(x,y) auf dem Kreis gilt (x−a)²+y²=b². Mit r²=x²+y² folgt r²−2ax+a²−b²=0. Die Bedingung r′(x)=0 für einen extremalen Abstand führt zu r′=a/r und scheinbar zu a=0, also P=M. Daraus wird fälschlich geschlossen, außerhalb des Mittelpunkts gebe es keinen nächsten Kreispunkt.

Tatsächlich liegen die extremalen Punkte auf der x-Achse. Dort führt die Differentiation zu 2(x−a)dx=0 und wegen |x−a|=b≠0 zu dx=0. Die für die Differentiation nach x notwendige Umgebung in x-Richtung existiert an diesen Schnittpunkten auf dem Kreis nicht; r′(x) kann dort nicht auf diese Weise berechnet werden. Die unabhängige Variable darf am Extremum keiner Nebenbedingung unterliegen. Eine korrekte Behandlung parametrisiert mit Zylinderkoordinaten (r,φ), wobei (x,y)=(r cos φ,r sin φ) und r=r(φ). Daraus ergeben sich die extremalen Punkte für φ=0° oder φ=180°.

Auch bei der Substitution in Integralen müssen Definitions- und Wertebereiche beachtet werden. Im Scheinbeweis π=0 wird t=sin(x) und dt=cos(x)dx im Intervall [0,π] verwendet. Da arcsin nur den Wertebereich [−π/2,π/2] besitzt, wird der gesamte Bereich nicht korrekt erfasst: sin(0)=0 und sin(π)=0. Das Integral muss bei π/2 geteilt werden. Mit y=π−x wird der zweite Teil in den zulässigen Bereich transformiert. Es ergibt sich ∫₀^π f(x)cos(x)dx = ∫₀^1 [f(arcsin(t))−f(π−arcsin(t))]dt. Dieser Ausdruck kann null sein, muss es aber nicht; π=0 folgt nicht.

Divergente Reihen und logische Fehlschlüsse

Mit divergenten Reihen können scheinbar fast beliebige Ergebnisse hergeleitet werden. Für die Summe C=1+2+3+… der natürlichen Zahlen wird fälschlich C=−1/12 behauptet. Ausgangspunkt sind A=1−1+1−1+… und B=1−2+3−4+…. A wird zunächst wegen der gleich häufig auftretenden Werte 0 und 1 mit dem Erwartungswert 1/2 angesetzt. Durch Umgruppieren wird A=2B und anschließend aus C−B=4C die Gleichung 3C=−B gewonnen, woraus C=−1/12 folgen soll.

Die Auflösung untersucht die Partialsummen. Für gerades n gilt Aₙ=0 und Bₙ=−n/2. In Bₙ+Bₙ entsteht ein Rest n; deshalb ist Bₙ=Aₙ/2 bereits in erster Ordnung von n falsch. Außerdem gilt Cₙ−Bₙ=4Cₙ/₂. Da Cₙ quadratisch mit n wächst, ist auch Cₙ=−Bₙ/3 in zweiter Ordnung falsch. Tatsächlich ergibt sich Cₙ=n/2·(n+1). Für ungerades n gelten Aₙ=1, Bₙ=(n+1)/2 und Cₙ−Bₙ=4C_(n−1)/2, mit ebenfalls widersprechendem Ergebnis. Der Reihe A kann als unbestimmt divergenter Reihe für n→∞ kein Wert zugewiesen werden; der Vergleich zweier unbestimmter Werte ist sinnlos. Entsprechend sind auch die scheinbaren Ergebnisse 1=0 durch unterschiedliche Gruppierungen von A unzulässig.

In der Aussagenlogik muss zwischen Subjunktion „a→b“ („Wenn a, dann b“) und Bijunktion „a↔b“ unterschieden werden. Aus x²+x+1=0 folgt im Komplexen x³=1, aber nicht umgekehrt, denn x=1 ist ein Gegenbeispiel. Über den reellen Zahlen ist x²+x+1≠0; aus dieser falschen Ausgangsgleichung folgt dort nichts Aussagekräftiges.

Bei vollständiger Induktion werden Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung und Induktionsschritt benötigt. Der Scheinbeweis „Alle Deutschen haben dasselbe Alter“ scheitert beim Übergang von n=1 zu n+1=2: Es gibt keine Person R, die zugleich zu den ersten n und den letzten n Personen gehört. Erst bei mindestens drei Personen gäbe es eine gemeinsame Vergleichsperson.

Geometrische Trugschlüsse und fehlerhafte Modelle

Ungenaue Skizzen und nicht beachtete Orientierungen können geometrische Scheinbeweise ermöglichen. Im Beweis „Alle Dreiecke sind gleichschenklig“ werden Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte und mehrere Kongruenzsätze verwendet, um AB=AC zu folgern. In einem nicht gleichschenkligen Dreieck liegt der Punkt O jedoch außerhalb des Dreiecks auf seinem Umkreis, in der Mitte des Bogens über BC. Nach dem Axiom von Pasch können die Lotfußpunkte Q und R nicht beide auf den Dreiecksseiten zwischen den Ecken liegen. Eine Strecke ist außerdem entgegen der verwendeten Richtung orientiert. Korrekt lautet die entscheidende Beziehung AR=AB+BR=AQ=AC−CQ=AC−BR; daraus folgt keine Gleichschenkligkeit.

Beim „leeren Kreis“ wird angenommen, ein Punkt P≠O liege mit PO<r innerhalb eines Kreises. Über einen Punkt Q mit OP·OQ=r² und die Mittelsenkrechte von PQ wird ein Schnittpunkt U mit dem Kreis konstruiert. Die Rechnung führt zu PU=0. Der Fehler liegt darin, dass der Punkt R tatsächlich außerhalb des Kreises liegt: Aus r²=OR²−PR² folgt OR²=r²+PR²>r². Daher existiert der angenommene Schnittpunkt U nicht.

Bei den Zerlegungsparadoxien scheinen ein Quadrat mit Fläche 8·8=64 und ein Rechteck mit Fläche 5·13=65 sowie ein Rechteck mit Fläche 9·24=216 und eines mit Fläche 7·31=217 aus denselben Teilen zusammengesetzt zu sein. Die Diagonalen der unteren Rechtecke sind jedoch nur scheinbar gerade. Beim unverformten Zusammensetzen bleibt eine Fläche von genau einer Flächeneinheit frei. Für das erste Bild müssten nach dem Strahlensatz 5/13=3/8=2/5 gelten, tatsächlich sind die Werte 200/520, 195/520 und 208/520 verschieden. Für das zweite Bild müssten 7/31=5/22=2/9 gelten; tatsächlich ergeben sich 1386/6138, 1395/6138 und 1364/6138. Die erste Zerlegung verwendet aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen und die Identität von Cassini fₙ₊₁fₙ₋₁=(fₙ)²+(−1)ⁿ.

Die fallende Leiter zeigt schließlich, wie unrealistische Annahmen zu Unendlichkeiten führen. Für eine Leiter der Länge L gilt bei konstantem Wegziehen des Fußpunkts mit Geschwindigkeit v: x²+y²=L² und ẏ=−xv/√(L²−x²). Für x→L ergibt sich ẏ→−∞. Ursache ist die Annahme, dass die Leiter weiterhin an der Wand anliegt. Tatsächlich wird auch ihr oberes Ende von der Wand weggezogen, sodass der Kontakt endet und der Satz des Pythagoras in dieser Form nicht mehr gilt. Hält man den Kontakt künstlich aufrecht, wäre der Endzustand für eine massebehaftete Leiter nur mit unendlich hoher Beschleunigung in endlicher Zeit erreichbar und damit unphysikalisch; nach der speziellen Relativitätstheorie ist er wegen der Begrenzung auf Unterlichtgeschwindigkeit gar nicht möglich.