Transfinite Arithmetik – einfach erklärt

Grundidee und Bedeutung

Die transfinite Arithmetik ist die Arithmetik der Ordinalzahlen. Ordinalzahlen beschreiben die Ordnungstypen wohlgeordneter Mengen, also Mengen, in denen jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Die arithmetischen Operationen werden so definiert, dass sie für endliche Ordinalzahlen mit der üblichen Arithmetik der natürlichen Zahlen übereinstimmen.

Die Operationen lassen sich entweder durch transfinite Rekursion als stetige Fortsetzung der endlichen Rechenoperationen oder durch geeignete Mengenkompositionen einführen. Beide Methoden führen in ZF zu denselben Operationen. Entscheidend ist, dass die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird. Deshalb verhalten sich Ordinaladdition und Ordinalmultiplikation teilweise anders als die entsprechenden Operationen für natürliche Zahlen: Sie sind zwar assoziativ, aber im Allgemeinen nicht kommutativ.

Addition von Ordinalzahlen

Für die Summe zweier Ordinalzahlen σ und τ wird eine Kopie τ⁽⁰⁾ von τ gebildet, die disjunkt zu σ ist. Man ordnet zunächst die Elemente innerhalb von σ und τ⁽⁰⁾ wie zuvor und setzt jedes Element von σ kleiner als jedes Element von τ⁽⁰⁾. Der Ordnungstyp dieser wohlgeordneten Menge ist σ + τ. Ist eine der beiden Ordinalzahlen die leere Menge, ist die Summe die jeweils andere Ordinalzahl.

Funktional lautet die Definition:

ξ + 0 = ξ.
Ist η eine isolierte Zahl mit Vorgänger η⁻, dann gilt ξ + η = s(ξ + η⁻).
Ist η eine Limeszahl, dann gilt ξ + η = sup{ξ + β | β < η}.

Eine Limeszahl ist eine Ordinalzahl ohne unmittelbaren Vorgänger. Die erste transfinite Ordinalzahl ist ω, die geordnete Menge aller natürlichen Zahlen.

Typische Beispiele zeigen die Bedeutung der Reihenfolge. Für zwei Kopien der natürlichen Zahlen gilt ω + ω ≠ ω: In ω + ω gibt es zwei Elemente ohne unmittelbaren Vorgänger, nämlich 0 und 0⁽⁰⁾, während 0 in ω das einzige solche Element ist. Dagegen ist 3 + ω = ω, weil endlich viele Elemente am Anfang die Ordnung einer unendlichen Folge nicht verändern. Umgekehrt ist ω + 3 ≠ ω, weil ω + 3 ein größtes Element besitzt, ω aber kein größtes Element. Die Addition ist daher nicht kommutativ.

Die Addition ist monoton:

ξ < η ⇒ β + ξ < β + η.
ξ ≤ η ⇒ ξ + β ≤ η + β.

Für ξ ≤ η gibt es genau eine Ordinalzahl x mit η = ξ + x; sie wird als −ξ + η bezeichnet. Die Gleichung x + α = β besitzt, falls α ≥ ω, entweder keine oder unendlich viele Lösungen; für α < ω besitzt sie, falls sie lösbar ist, genau eine. Ist sie lösbar, bezeichnet β − α die kleinste Lösung. Jede transfinite Ordinalzahl lässt sich eindeutig als λ + n darstellen, wobei λ eine Limeszahl und n eine endliche Ordinalzahl ist. Ein Rest δ von ξ ist eine Ordinalzahl, für die ξ = η + δ für eine Ordinalzahl η gilt. Jede Ordinalzahl hat endlich viele Reste.

Multiplikation und ihre Regeln

Zur Multiplikation σ·τ ersetzt man jedes Element von τ durch eine eigene Kopie von σ und ordnet die Kopien in der Reihenfolge von τ hintereinander an. Der Ordnungstyp der entstehenden wohlgeordneten Menge ist σ·τ. Diese Multiplikation ist assoziativ und erweitert die Multiplikation natürlicher Zahlen.

Es gilt ω·2 = ω + ω. Dagegen ist 2·ω = ω, weil hierbei unendlich viele Zweierblöcke hintereinander entstehen, die sich zu einer Folge vom Ordnungstyp ω umbenennen lassen. Die Multiplikation ist deshalb ebenfalls nicht kommutativ.

Das linke Distributivgesetz gilt:

ρ(σ + τ) = ρσ + ρτ.

Das andere Distributivgesetz gilt nicht allgemein. Beispielsweise ist (1 + 1)ω = 2·ω = ω, während 1·ω + 1·ω = ω + ω ist.

Funktional wird die Multiplikation definiert durch:

ξ·0 = 0.
Für jede Ordinalzahl η gilt ξ(η + 1) = ξη + ξ.
Ist η eine Limeszahl, gilt ξη = sup{ξβ | β < η}.

Die neutralen Elemente sind 0 für die Addition und 1 für die Multiplikation. Keine Ordinalzahl außer 0 besitzt ein Negatives, also ein additives inverses Element. Die Ordinalzahlen bilden daher mit der Addition keine Gruppe und erst recht keinen Ring.

Wichtige Monotoniegesetze sind:

ξ < η ⇒ für jedes β > 0 gilt βξ < βη.
ξ ≤ η ⇒ ξβ ≤ ηβ.
(ξ + η)β ≤ ξβ + ηβ.

Für ξ > 1 und η > 1 gilt ξ + η ≤ ξη. Wenn ηγ = ξ, heißt η Linksteiler von ξ und γ Rechtsteiler von ξ. Limeszahlen sind genau die linksseitigen Vielfachen von ω. Jede Ordinalzahl hat endlich viele Rechtsteiler; endlich viele Linksteiler hat sie genau dann, wenn sie keine Limeszahl ist. Für zwei Ordinalzahlen ξ und η > 0 existieren eindeutig bestimmte β und ρ < η mit ξ = ηβ + ρ. Dies ist eine Division mit Rest für Ordinalzahlen.

Allgemeine Summen und Produkte

Die gewöhnliche Addition und Multiplikation lassen sich auf Netze von Ordinalzahlen verallgemeinern. Für ein Ordinalzahlnetz (Sγ)γ∈ξ wird die allgemeine Summe gebildet, indem man für jedes Sγ eine disjunkte Kopie Sγ⁽γ⁾ verwendet. Die Kopien werden entsprechend ihrer Indizes vollständig hintereinander angeordnet. Der Ordnungstyp dieser Vereinigung ist

∑γ<ξ Sγ.

Die Multiplikation ist ein Spezialfall der allgemeinen Summe:

ξβ = ∑γ<β ξ.

Zu jedem Ordinalzahlnetz existiert genau eine Funktion F: {γ | γ ≤ ξ} → On mit:

F(0) = 0.
F(s(β)) = F(β) + Sβ für β < ξ.
Für eine Limeszahl β ≤ ξ gilt F(β) = supη<β F(η).

Die allgemeine Summe ist F(ξ).

Das allgemeine Produkt verwendet Tupel der Länge ξ. Zulässig sind nur Tupel, die endlich viele positive Komponenten besitzen. Diese Tupel werden antilexikografisch geordnet: Beim Vergleich zählt die am weitesten rechts liegende Komponente, in der sich die Tupel unterscheiden. Der Ordnungstyp dieser Menge ist ∏γ<ξ Sγ.

Auch hierfür gibt es genau eine rekursive Funktion F mit F(0) = 1, F(s(β)) = F(β)Sβ und folgenden Grenzwertregeln für Limeszahlen β ≤ ξ:

Sind alle Sη mit η < β positiv, dann ist F(β) = supη<β F(η).
Gibt es ein η < β mit Sη = 0, dann ist F(β) = 0.

Das allgemeine Produkt ist F(ξ). Ein Beispiel für die antilexikografische Ordnung ist die Folge endlicher Tupel natürlicher Zahlen, bei denen nur endlich viele Komponenten positiv sind. Laut Artikel ist diese Menge zu Πξ<ω ξ ordnungsisomorph, sodass ω = Πξ<ω ξ und ω! = ω^ω gilt.

Potenzieren und seine Eigenschaften

Potenzen sind Spezialfälle allgemeiner Produkte:

β^ξ = ∏γ<ξ β.

Eine zu ω^ω ordnungsisomorphe Menge erhält man, indem man Folgen natürlicher Zahlen mit endlich vielen positiven Elementen betrachtet und sie antilexikografisch ordnet. Die entstehenden Folgen beginnen beispielsweise mit (0,0,0,…), (1,0,0,…), …, (0,1,0,…), (1,1,0,…), (0,0,1,…) und werden nach der beschriebenen Ordnung fortgesetzt.

Für ξ > 0 sowie Ordinalzahlen β und η gelten:

ξ^(β + η) = ξ^β ξ^η.
(ξ^β)^η = ξ^(βη).
β < η ⇒ ξ^β < ξ^η.
β ≤ ξ^β.

Für ξ > 1 und η > 1 gilt ξη ≤ ξ^η. Aus η ≤ ζ folgt η^β ≤ ζ^β. Außerdem existieren für ξ > 0 und β > 1 eindeutig bestimmte Ordinalzahlen λ, ein positives δ < β und ρ < β^λ mit

ξ = β^λ δ + ρ.

λ heißt Logarithmus von ξ zur Basis β; dies ist der Logarithmus-Satz.

Die aus der endlichen Arithmetik bekannte Regel (αβ)^γ = α^γβ^γ gilt für Ordinalzahlen nicht allgemein. Der Artikel nennt die Ungleichung (2·2)^ω < 2^ω2^ω sowie die Ungleichung (2(ω + 1))^2 > 2^2(ω + 1)^2 als Gegenbeispiele.

Cantorsche Normalform

Für β > 1 und ξ < β^λ existieren endlich viele eindeutig bestimmte Exponenten λ₀ < … < λₙ < λ und Koeffizienten κ₀, …, κₙ aus β, sodass

ξ = β^λₙκₙ + … + β^λ₀κ₀.

Diese Darstellung heißt Cantorsche Polynomdarstellung oder β-adische Normalform. Für β = ω heißt sie Cantorsche Normaldarstellung beziehungsweise Cantorsche Normalform. Sie stellt eine Ordinalzahl als endliche Summe von Potenzen der Basis mit absteigenden Exponenten dar.

Die Darstellung kann rekursiv auf die Exponenten λ₀, …, λₙ angewendet werden. Wenn dieser Vorgang nach endlich vielen Schritten bei endlichen Ordinalzahlen endet, erhält man einen elementaren Ausdruck für ξ, der nur ω, natürliche Zahlen und Rechenoperationszeichen verwendet. Das ist jedoch nicht für jede Ordinalzahl möglich. Durch endlich viele Zeichen lassen sich nur abzählbar viele Ordinalzahlen darstellen; im Verhältnis zur gesamten Klasse On ist das nur ein „verschwindend kleiner“ Teil.

Es gibt Ordinalzahlen ξ, deren größter Exponent λₙ in der Cantorschen Normaldarstellung gleich ξ selbst ist. Dann vereinfacht die Normalform die Zahl nicht. Die kleinste solche Ordinalzahl heißt ε₀. Die Cantorsche Normaldarstellung dient außerdem zur Definition der Hessenbergschen natürlichen Operationen. Als verwandtes Gebiet nennt der Artikel die Kardinalzahlarithmetik.