Stabilitätskriterium von Nyquist

Zweck und Grundidee

Das Stabilitätskriterium von Nyquist, auch Strecker-Nyquist-Kriterium, ist ein Verfahren der Regelungstechnik und Systemtheorie zur Beurteilung der Stabilität von Systemen mit Rückkopplung, etwa eines Regelkreises. Alltagsbeispiele sind Tempomat und Temperaturregelung. BIBO-stabil (bounded input, bounded output) bedeutet: Beschränkte Eingangsgrößen führen zu beschränkten Ausgangsgrößen. Instabile Systeme können dagegen bereits durch kleine Störungen stark anwachsen.

Die Stabilität des geschlossenen Regelkreises wird dabei aus der Übertragungsfunktion der geöffneten Schleife bestimmt. Eine Übertragungsfunktion beschreibt formal den Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang durch Y=G·W. Zur Rechnung verwendet man Laplacetransformierte W(s), G(s) und Y(s), wobei s=σ+ω·i eine komplexe Frequenz ist. Die Nyquist-Ortskurve stellt G₀(iω) in der komplexen Ebene dar, erlaubt aber Aussagen über den geschlossenen Regelkreis.

Regelkreis und Voraussetzungen

In einem typischen Regelsystem heißt die Übertragungsfunktion der Regelstrecke G_S(s), diejenige des Reglers G_R(s). Ihr Produkt ist die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises:

G_R(s)·G_S(s)=G₀(s).

Für negative Rückkopplung lautet die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises:

G_geregelt=G₀(s)/(1+G₀(s)).

Übertragungsfunktionen sind typischerweise Brüche von Polynomen. Nullstellen des Nennerpolynoms heißen Polstellen; dort strebt G gegen unendlich. Die zwei im Artikel beschriebenen Anwendungsfälle setzen voraus, dass G₀(iω) für sehr hohe Frequenzen gegen 0 strebt. Dazu muss der Grad des Nennerpolynoms größer sein als der Grad des Zählerpolynoms.

Bei positiver Rückkopplung gelten zwei Anpassungen: G_geregelt=G₀(s)/(1−G₀(s)), und der kritische Punkt liegt bei +1 auf der positiven reellen Achse.

Vereinfachtes Kriterium und Stabilitätsreserven

Das vereinfachte oder spezielle Nyquistkriterium gilt, wenn alle komplexen Polstellen von G_R(s) und G_S(s) einen Realteil kleiner als 0 besitzen; höchstens zwei Pole im Ursprung sind erlaubt. Der geschlossene Regelkreis ist dann asymptotisch stabil, wenn die Ortskurve von G₀(iω) für ω von 0 bis ∞ den Punkt −1 nicht umläuft. Der Punkt −1 heißt Nyquistpunkt oder kritischer Punkt.

Bei einfachen Ortskurven wird dies als Linke-Hand-Regel formuliert: Die Kurve muss den Punkt −1 links liegen lassen. Der Punkt −1 entspricht auf der reellen Achse einer Phasendrehung um 180°. Zusammen mit der für Gegenkopplung grundlegenden Phasenverschiebung von 180° kann eine weitere Drehung um 180° insgesamt 360° ergeben. Liegt das rückgekoppelte Signal dann links von −1 und ist größer als 1, schwingt das System sicher.

Wichtige Kenngrößen für die Reglereinstellung sind die Amplitudenreserve und die Phasenreserve. Die Amplitudenreserve gibt an, um welchen Faktor die Regelstrecke noch verstärkt werden darf, ohne die Stabilität zu verlieren. Die besonders bei Totzeit wichtigen Phasenreserve gibt den zusätzlichen Phasenwinkel bis zur Mitkopplung bei insgesamt 360° Phasendrehung an. Sie ist der Winkel zwischen der Ursprungsgeraden durch den Schnittpunkt der Ortskurve mit dem Einheitskreis und der negativen reellen Achse. Das Bodediagramm enthält dieselbe Aussage wie die Ortskurve, zeigt Amplituden- und Phasengang jedoch getrennt.

Grenzfall und Übergang

Als Beispiel mit Polen im Ursprung nennt der Artikel ein Integralglied und zwei Proportional-Integral-Glieder:

G₀(iω)=ω_As/(iω)·(1+ω_PI/(iω))².

Ein geschlossenes System mit dieser offenen Übertragungsfunktion ist für ω_As>ω_PI stabil; sinnvolle Amplituden- und Phasenränder lassen sich einstellen. Obwohl bei einer Frequenz eine Phase von insgesamt 360° und eine sehr große Verstärkung auftreten können, zeigt das geschlossene System in diesem Beispiel keinen Mangel. Daher ist die vereinfachte Deutung, eingespeiste harmonische Signale dürften an einer Schnittstelle keine größeren gleichphasigen Signale erzeugen, für die Stabilitätsbeurteilung irreführend und unrichtig. Für einen mathematischen Beweis sind die Umschlingungen des kritischen Punkts −1 und Schließungsbedingungen der Ortskurven im Unendlichen relevant. Für die Praxis reicht laut Artikel meist das Bodediagramm aus.

Allgemeines Nyquistkriterium

Die erste Form des allgemeinen Nyquistkriteriums ist auch anwendbar, wenn die Voraussetzungen des speziellen Kriteriums nicht erfüllt sind. Es dürfen jedoch keine Polstellen von Strecke oder Regler auf der imaginären Achse Re=0 liegen. Anders als beim speziellen Kriterium wird G₀(iω) auch für negative ω aufgezeichnet.

Dabei ist P die Zahl instabiler Polstellen des offenen Regelkreises G₀, also der Polstellen mit positivem Realteil. N ist die Zahl instabiler Polstellen des gesamten Regelsystems G. U ist die Zahl der Umläufe der Frequenzgangskurve von G₀(iω) um den Nyquistpunkt; bei positiver ω-Richtung zählen Umläufe gegen den Uhrzeigersinn positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Es gilt N=P−U. Das Regelsystem ist genau dann asymptotisch stabil, wenn P=U gilt.

Die zweite Form erlaubt zusätzlich Polstellen auf der imaginären Achse. r_k bezeichnet die Zahl instabiler Pole von G₀, i_k die Zahl seiner Pole auf der imaginären Achse. Δφ ist der gesamte, bei positiven Frequenzen um den Nyquistpunkt überstrichene Winkel; Gegenuhrzeigersinn ist positiv. Stabilität liegt genau dann vor, wenn Δφ=i_k·π/2+r_k·π erfüllt ist.

Mehrgrößensysteme und Begriffe

Für Mehrgrößensysteme wird die Ortskurve der offenen Strecke durch die Kurve der Determinante von 1+G₀ ersetzt. Anstelle des kritischen Punkts −1 wird der Punkt 0 verwendet.

Der Ausdruck Nyquistpunkt wird in der Literatur gelegentlich auch für die Nyquist-Frequenz benutzt, was Verwirrung verursachen kann. Als alternatives Stabilitätskriterium der Regelungstechnik nennt der Artikel das Routh-Hurwitz-Kriterium.