Tonstruktur (mathematische Beschreibung)

Grundidee der Tonstruktur

Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Tönen und Intervallen. Der Tonvorrat einer Musikkultur kann über Tonhöhen und über Intervalle angegeben werden. Heute beschreibt man Tonhöhen meist durch Frequenzen und Intervalle durch Frequenzverhältnisse; die mathematische Beschreibung ist aber auch ohne physikalische Begriffe möglich, also hörpsychologisch. Alle behandelten Tonsysteme beziehen sich auf die Oktave.

Der Tonraum ist geordnet: Jeder Ton hat eine Frequenz, und je höher ein Ton erklingt, desto größer ist seine Frequenz. Mathematisch ist dies eine strenge Totalordnung. Sie ist transitiv: Wenn a höher als b ist und b höher als c, dann ist a höher als c. Sie ist trichotomisch: Für zwei Töne a und b gilt entweder a = b, a ist höher als b oder b ist höher als a.

Ein Intervall gehört eindeutig zu zwei Tönen x und y. Haben sie die Frequenzen f1 und f2, dann hat das Intervall xy das Frequenzverhältnis q = f2 : f1. Beispiele sind die Oktave c′c″ mit 528:264 = 2, die reine Quinte c′g′ mit 396:264 = 3:2, die große Terz c′e′ mit 330:264 = 5:4 und die kleine Terz e′g′ mit 396:330 = 6:5. Umgekehrt bestimmen ein Anfangston x und ein Intervall i eindeutig den Endton y, wobei f2 = f1 · q gilt.

Rechnen mit Intervallen

In der musikalischen Sprache werden Intervalle addiert, wenn man sie nacheinander ausführt. Deshalb besitzt der Intervallraum eine additive Struktur. Der Addition von Intervallen entspricht die Multiplikation ihrer Frequenzverhältnisse; der Subtraktion von Intervallen entspricht die Division der Frequenzverhältnisse. Beispiel: kleine Terz + große Terz = Quinte entspricht (6/5) · (5/4) = 3/2.

Wichtige Abweichungen entstehen, weil bestimmte Intervallketten nur ungefähr zusammenfallen. 12 Quinten sind ungefähr gleich 7 Oktaven; der Unterschied heißt pythagoreisches Komma: pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven. Sein Frequenzverhältnis ist (3/2)^12 : 2^7 = 531441 : 524288 ≈ 1,013643. Drei reine große Terzen hintereinander ergeben ein Intervall, das etwas kleiner als die Oktave ist; der Unterschied heißt kleine Diësis: kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen, mit Frequenzverhältnis 2 : (5/4)^3 = 128 : 125 = 1,024.

Intervalle lassen sich der Größe nach vergleichen: Je größer das Intervall, desto größer ist sein Frequenzverhältnis. Das Frequenzverhältnis wächst exponentiell. Mathematisch ist ein Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe.

Centmaß und Formeln

Zwischen der additiven Intervallrechnung und den multiplikativen Frequenzverhältnissen vermittelt eine Funktion f von der additiven Gruppe der Intervalle I in die multiplikative Gruppe der Frequenzverhältnisse Q. Diese Funktion ist ein Homomorphismus: Werden Intervalle addiert, werden ihre Frequenzverhältnisse multipliziert. Aus große Terz + kleine Terz = Quinte folgt also f(große Terz) · f(kleine Terz) = f(Quinte), nämlich 5/4 · 6/5 = 3/2.

Die Umkehrung wird mit dem Logarithmus zur Basis 2 beschrieben. Damit misst man ein Intervall als Vielfaches der Oktave oder in Cent. Es gilt 1200 Cent = 1 Oktave und 1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent. Ist q das Frequenzverhältnis, dann gilt für die Intervallgröße i: i = log2(q) Oktave = 1200 · log2(q) Cent. Umgekehrt berechnet man aus einer Intervallgröße i das Frequenzverhältnis q durch q = 2^(i/Oktave) = 2^(i/(1200 Cent)).

Beispiele: Eine reine Quinte mit Frequenzverhältnis 3/2 hat die Größe 1200 · log2(3/2) Cent ≈ 701,955 Cent. Eine reine kleine Terz mit 6:5 hat ≈ 315,641 Cent, eine reine große Terz mit 5:4 hat ≈ 386,314 Cent. Das pythagoreische Komma hat ≈ 23,460 Cent, die kleine Diësis ≈ 41,059 Cent.

Wichtige Stimmungen

Ein Intervallraum besteht aus allen Intervallen einer betrachteten Tonstruktur mit der Addition der Intervalle. Verschiedene Stimmungen unterscheiden sich darin, welche Grundintervalle benutzt werden und welche Intervallgrößen entstehen.

Die pythagoreische Stimmung beruht auf Oktave Ok mit Frequenzverhältnis 2:1 und reiner Quinte Q mit 3:2. Ihr Intervallraum ist Q = {x · Ok + y · Q | x,y ∈ Z}. Daraus entstehen unter anderem der Ganzton 2Q − Ok = 9:8 ≈ 204 Cent, die pythagoreische große Terz 4Q − 2Ok = 81:64 ≈ 408 Cent, die Quarte Ok − Q = 4:3 ≈ 498 Cent, das Limma 3Ok − 5Q = 256:243 ≈ 90 Cent und die Apotome 7Q − 4Ok = 2187:2048 ≈ 114 Cent.

Die ¼-Komma-mitteltönige Stimmung benutzt die mitteltönige Quinte Qm. Sie ist um ein Viertel des syntonischen Kommas enger als die reine Quinte und hat das Frequenzverhältnis Qm = (3/2) · vierte Wurzel aus (80/81) = vierte Wurzel aus 5, also ≈ 696,578 Cent. Die große Terz wird rein: 4Qm − 2Ok = T = 5:4 ≈ 386 Cent. Weitere Intervalle sind zum Beispiel die Quarte Ok − Qm ≈ 503 Cent, die kleine Terz 2Ok − 3Qm ≈ 310 Cent und der Ganzton 2Qm − Ok ≈ 193 Cent.

Die reine Stimmung beruht auf dem Quint-Terz-System QT = {x · Ok + y · Q + z · T | x,y,z ∈ Z}, wobei Ok = 2:1, Q = 3:2 und T = 5:4. Allgemein gilt q = 2^n · (3/2)^m · (5/4)^l. Zu den Hauptintervallen gehören die kleine Terz Q − T = 6:5 ≈ 316 Cent, die große Sext Ok + T − Q = 5:3 ≈ 884 Cent, der große Ganzton 2Q − Ok = 9:8 ≈ 204 Cent, der kleine Ganzton Ok + T − 2Q = 10:9 ≈ 182 Cent, der diatonische Halbton Ok − Q − T = 16:15 ≈ 112 Cent, das syntonische Komma 81:80 ≈ 22 Cent und die kleine Diësis 128:125 ≈ 41 Cent. Die gleichstufige Stimmung teilt die Oktave in 12 gleiche Halbtöne: H = 100 Cent, Ganzton = 2H = 200 Cent, kleine Terz = 3H = 300 Cent, große Terz = 4H = 400 Cent und Oktave = 1200 Cent.

Tonbezeichnungen und Tonleitern

In der reinen Stimmung reicht die normale Tonbezeichnung nach dem Notenbild nicht immer aus. Man muss zusätzlich erkennen, ob Quinten und Terzen rein erklingen. Dafür dienen die Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes. Ein Tiefkomma vor einem Ton, zum Beispiel ,e, bezeichnet einen Ton, der um ein syntonisches Komma tiefer liegt. Ein Hochkomma, zum Beispiel ’c, bezeichnet einen Ton, der um ein syntonisches Komma höher liegt.

Beispiele: Eine reine große Terz wird als c ,e geschrieben, eine reine Quinte als c g. Die reine C-Dur-Tonleiter lautet c d ,e f g ,a ,h c. Die reine ,a-Moll-Tonleiter lautet ,a ,h c ,d ,e f g ,a. Jede Dur-Tonart hat in dieser Schreibweise ein Muster wie 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8 oder entsprechend verschoben; jede Molltonart hat ein Muster wie 1 2 ’3 4 5 ’6 ’7 8.

Bei einer Modulation in eine Nachbartonart ändern sich zwei Töne: einer mit erkennbarem Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. Im Quintenzirkel bleiben die Quinten wie … as es b f c g d a … rein mit Frequenzverhältnis 3:2.

53-stufige Skalen und hörpsychologische Beschreibung

Die 53-stufige Skala teilt die Oktave in 53 gleiche Teile. Ihr Intervallraum ist I53 = {n/53 · Ok | n ∈ Z}. Schon im Zusammenhang mit Zarlino (1517–1590) wurde gelehrt, dass die große Terz rein intoniert werden kann und dass man dafür Tonschritten Teile zuordnen kann: großer Ganzton = 9 Teile, kleiner Ganzton = 8 Teile, diatonischer Halbton = 5 Teile. Die C-Dur-Tonleiter wird dann c(0), d(9), ,e(17), f(22), g(31), ,a(39), ,h(48), c(53). Daraus folgen große Terz = 17 Teile und Quinte = 31 Teile. Hermann von Helmholtz erwähnt die von Nicolaus Mercator vorgeschlagene Teilung der Oktave in 53 gleich große Intervalle als Möglichkeit für fast genaue natürliche Stimmung mit freier Modulation.

In der 53-Mercatorskala ist k = 1200:53 = 22,642 Cent. Viele Intervalle der reinen Stimmung werden sehr genau getroffen: Der große Ganzton entspricht 9 Stufen, der kleine Ganzton 8 Stufen, die große Terz 17 Stufen, die Quinte 31 Stufen und die Oktave 53 Stufen. Alle Töne des Quintenzirkels werden mit einer Toleranz von einem Schisma erreicht; ein Schisma beträgt etwa 1,95 bis 2 Cent.

Die Tonstruktur kann auch hörpsychologisch ohne Akustik beschrieben werden. Dann werden Töne und Intervalle durch Hörerfahrung und Vergleich festgelegt, nicht durch Frequenzen. Ein Lehrer kann einem Schüler zeigen, was eine Oktave, Quinte oder große Terz ist. Algebraisch gelten dieselben Regeln: Jedem Tonpaar wird ein eindeutiges Intervall zugeordnet, ein Grundton und ein Intervall bestimmen einen Endton, und die Hintereinanderausführung von Intervallen definiert eine Addition. So kann man beispielsweise aus 12 Quinten ≈ 7 Oktaven die Quinte näherungsweise als 7/12 Oktave = 700 Cent bestimmen oder aus 3 großen Terzen ≈ 1 Oktave die große Terz als 1/3 Oktave = 400 Cent.