Theoretische Mechanik

Gegenstand und Bedeutung

Die theoretische Mechanik, auch analytische Mechanik genannt, behandelt die mathematischen Grundlagen der klassischen Mechanik, der relativistischen Mechanik sowie der Kontinuumsmechanik und Elastizitätstheorie. Sie untersucht die Eigenschaften der grundlegenden Gleichungen und ihrer Lösungen. Außerdem entwickelt sie Verfahren, mit denen bestimmte Problemklassen exakt oder näherungsweise gelöst werden können.

Heute ist sie ein etabliertes Lehrgebiet der theoretischen Physik und der technischen Mechanik. Ihr Gegenstand sind mathematisch idealisierte physikalische Systeme. Dabei werden vor allem Raum, Zeit, Materie, Kraft und Energie sowie die daraus gebildeten Bewegungsgleichungen untersucht.

Das mechanistische Modell

Im klassischen mechanistischen Ideal wird angenommen, dass die Dynamik eines Systems aus n Massenelementen m₁, …, mₙ mit den Ortskoordinaten x⃗₁, …, x⃗ₙ vollständig durch Differentialgleichungen beschrieben werden kann. In der im Artikel angegebenen Form lautet ein solches Beschleunigungs- oder Kraftgesetz:

d²s⃗ₖ(t)/dt² = F⃗(m₁, …, mₙ; x⃗₁, …, x⃗ₙ), k ∈ {1, …, n}.

F⃗ bezeichnet dabei den Vektor einer geometrischen Relation, in die nur die Koordinaten der Massenpunkte eingehen. Nach diesem Ideal ließe sich der gesamte Verlauf des Naturgeschehens berechnen, wenn zu einem bestimmten Zeitpunkt die Massen, Orte und Geschwindigkeiten aller Atome bekannt wären.

Ein entsprechendes Schema kann auch auf Kontinua, also kontinuierlich verteilte Materie, angewendet werden. Die Konfiguration des Kontinuums wird durch Raumkoordinaten und eine zeitabhängige Ortsfunktion x⃗(a⃗, …, c⃗, t) beschrieben. Seine Zustandsänderung wird als funktionale Beziehung dargestellt; das dynamische Gleichgewicht kann aus dem d’Alembertschen Prinzip formuliert werden.

Für realistische Modelle muss dieses Ideal mathematisch eingeschränkt und genauer bestimmt werden. Dazu gehören etwa der Übergang zu partiellen Differentialgleichungen oder Differentialgleichungen erster Ordnung, die Einführung konkreter Kraftterme wie des Newtonschen Gravitationsgesetzes, die Berücksichtigung elektrischer Ladungen und Felder sowie die Beschränkung auf einzelne Körper.

Lehrkanon und mathematische Werkzeuge

Der gemeinsame Grundlagenkanon der theoretischen Mechanik beruht auf der mathematisch-analytischen Organisation der klassischen Mechanik und der Elastizitätstheorie, die von Anfang des 19. bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts geprägt wurde. Zur grundlegenden Schnittmenge gehören:

• die Kinematik von Punktmassen,
• Kraftgesetze für Punktmassensysteme,
• Kinematik und Dynamik starrer Körper,
• Erhaltungssätze,
• das d’Alembertsche Prinzip,
• die Lagrange-Mechanik.

Weiterführende Gebiete sind die Hamilton-Mechanik, kanonische Gleichungen, Invarianz- und Symmetrieeigenschaften materieller Systeme, Minimalprinzipien und die kanonische Störungstheorie.

Wichtige mathematische Werkzeuge sind die Differential- und Integralrechnung mit mehreren Variablen, die Variationsrechnung, Differentialgeometrie, Funktionentheorie sowie Vektor- und Tensoranalysis.

In der Physik wird der mechanische Formalismus auch auf äußere oder erweiternde Feldkonzeptionen angewendet. Daran schließen insbesondere die relativistische Mechanik und dynamische Theorien der Chaosforschung an. Die technische beziehungsweise allgemeine Mechanik verwendet dagegen eine innere Feldkonzeption zur Beschreibung materiellen Verhaltens und bezieht kontinuumsmechanische Modelle ein. Die Physik arbeitet bei der materialspezifischen Beschreibung vorwiegend mit korpuskularen Materiemodellen und wendet diese auf Klassen verschiedener Theorien an; die technische Mechanik beginnt mit einer phänomenologischen Feldtheorie der Materie.

Alternative Formalismen und Beispiele

Die Newtonschen beziehungsweise relativistischen Gleichungen enthalten formal bereits die gesamte klassische Mechanik. Für viele konkrete Aufgaben sind sie jedoch nicht die günstigste Form. Deshalb wurden alternative Formalismen entwickelt, die Berechnungen und theoretische Untersuchungen erleichtern.

Das Prinzip der extremalen Wirkung besagt, dass die tatsächliche Bewegung durch eine Extremalbedingung der Wirkung bestimmt wird. Es wird häufig, aber ungenau, als „Prinzip der kleinsten Wirkung“ bezeichnet, weil das Extremum meistens ein Minimum ist. Das Prinzip bildet die Grundlage des Noether-Theorems: Symmetrien eines physikalischen Systems stehen dabei mit seinen Erhaltungsgrößen in Zusammenhang. Durch die Stationäre-Phasen-Näherung ergibt es sich für kurze Wellenlängen als Grenzfall der Quantenmechanik. Damit ermöglicht es eine formale Herleitung der klassischen Mechanik aus der Quantenmechanik im Sinne des Korrespondenzprinzips. Für unmittelbare konkrete Berechnungen ist es meist nicht besonders günstig.

Aus dem Prinzip der extremalen Wirkung folgt der Lagrange-Formalismus. Er ist für die meisten konkreten Probleme die Methode der Wahl und liefert eine einheitliche Möglichkeit, die Bewegungsgleichungen eines Systems zu bestimmen. Beliebige Zwangsbedingungen können direkt berücksichtigt werden. Beispielsweise kann vorgeschrieben werden, dass ein Fahrradrad nur abrollt, aber nicht rutscht. Die dabei wirkenden Zwangskräfte müssen nicht vorher bekannt sein, sondern ergeben sich aus dem Formalismus.

Der Hamilton-Formalismus wird aus dem Lagrange-Formalismus hergeleitet. Er arbeitet im Phasenraum, der den vollständigen mathematischen Apparat der symplektischen Geometrie nutzbar macht. Dadurch eignet er sich sowohl zur Lösung vieler konkreter Probleme als auch zur theoretischen Untersuchung klassischer Trajektorien. Außerdem ist er die Grundlage der kanonischen Quantisierung und damit ein einfacher Ausgangspunkt zur Aufstellung der Schrödingergleichung.

Der Hamilton-Jacobi-Formalismus folgt aus der Hamiltonschen Mechanik. Wegen seiner partiellen Differentialgleichungen ist er für konkrete Lösungen meist weniger geeignet, aber für theoretische Untersuchungen wichtig. Die Hamilton-Jacobi-Gleichung kann als erste Näherung der Phase der quantenmechanischen Wellenfunktion aus der Schrödingergleichung bei einer formalen Entwicklung nach ħ gewonnen werden und stellt daher einen direkten Zusammenhang zwischen klassischer und Quantenmechanik her.

Störungstheoretische Verfahren beschreiben Änderungen eines Systems bei kleinen Veränderungen seiner Eigenschaften. Beispiele sind ein Pendel, das nur leicht aus der Ruhelage ausgelenkt wird, oder ein schwaches elektrisches Feld, das an ein System angelegt wird. Solche Methoden sind oft die einzige Möglichkeit, analytische Lösungen zu berechnen, und können zugleich vertiefte Einsichten in das Systemverhalten geben.

Methodisches Vorgehen

Die theoretische Mechanik untersucht mathematisch entwickelte Methoden, Modelle und Theoriekonstruktionen zur Darstellung des Verhaltens physikalischer Systeme. Experimentelle Methoden und technische Merkmale gehören nicht zu ihrer unmittelbaren Beschreibung; dadurch unterscheidet sie sich von physikalisch-technischen Disziplinen, die solche Gesichtspunkte mitberücksichtigen.

Beschrieben werden Systeme mithilfe quantitativer Begriffe der Mechanik. Neben kinematischen Größen, die Bewegung und Geometrie betreffen, stehen vor allem Masse und Kraft im Mittelpunkt. Für ganze Klassen von Systemen wird die dynamische Wechselwirkung aus bestimmten Annahmen über Kraftfunktionen untersucht. Die Hauptaufgaben bestehen darin, Bewegungsgleichungen für mechanische Prozesse aufzustellen und mathematische Verfahren zu ihrer analytischen Lösung zu finden und anzuwenden.

Da die Gleichungssysteme häufig sehr komplex sind, gehören auch numerische Beschreibungen und computergestützte Simulationen zur theoretischen Mechanik. Durch die Verallgemeinerung gemeinsamer Eigenschaften von Systemen der Mechanik und anderer physikalischer Gebiete gelangt man zur Theoretischen Physik, die ganze Klassen physikalischer Systeme untersucht.

Historische Entwicklung und heutige Einordnung

Der Begriff der analytischen Mechanik entstand früher als die heutige Bezeichnung theoretische Mechanik. Zu Beginn des 18. Jahrhunderts gewann die Analysis in den mechanischen Wissenschaften eine vorherrschende Bedeutung. Leonhard Euler erläuterte 1736, dass analytische Methoden dazu dienen, Erkenntnisse über die Bewegungsabläufe von Körpern zu gewinnen, indem funktionale Abhängigkeiten mechanischer Größen verändert und untersucht werden.

Joseph-Louis Lagranges Werk „Mécanique Analytique“ von 1788 begründete die Methoden des Lagrange-Formalismus umfassend und wandte sie auf bereits gelöste mechanische Probleme an. Ziel war, verschiedene mechanische Prinzipien unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzuführen und aus einer allgemeinen Formel die zur Lösung vieler Probleme nötigen Gleichungen abzuleiten.

Im 19. und frühen 20. Jahrhundert wurde theoretische Mechanik weitgehend gleichbedeutend mit Isaac Newtons „rationaler Mechanik“ verstanden: der Wissenschaft von Körperbewegungen auf einer einheitlichen Grundlage von Kräften und mathematischen Modellen der Dynamik. In einigen Lehrbüchern des 20. Jahrhunderts wurden „analytisch“ und „theoretisch“ weiterhin gleichgesetzt, um den logisch-deduktiven Charakter der Mechanik hervorzuheben.

Im 20. und 21. Jahrhundert zerfiel das Gebiet durch die Entwicklung der relativistischen Mechanik und Quantenmechanik sowie durch die Verselbstständigung der Ingenieur- und Materialwissenschaften in spezielle Forschungsgebiete. Die klassischen Grundlagen gelten als abgeschlossen; deshalb gibt es keine namentlich ausgezeichneten Lehrstühle für theoretische Mechanik mehr. Forschung zu ihren theoretischen Grundlagen wird jedoch unter anderen Bezeichnungen fortgeführt, insbesondere durch die Untersuchung des mathematischen Rahmens, in dem mechanische Begriffe und Gleichungen formuliert und für bestimmte Probleme ausgewählt werden.