Steinmetz-Körper

Definition und Grundidee

Ein Steinmetz-Körper ist in der Geometrie der gemeinsame Schnittbereich von zwei oder drei senkrechten Kreiszylindern. Dabei schneiden sich auch die Achsen der Zylinder senkrecht. Die beteiligten Zylinder besitzen denselben Radius r.

Für zwei Zylinder entsteht ein Bizylinder, für drei Zylinder ein Trizylinder. Volumen und Oberfläche lassen sich bestimmen, indem man den Körper in dünne Scheiben beziehungsweise geeignete Teilkörper zerlegt.

Schnitt zweier Zylinder

Für den Schnitt zweier Zylinder mit Radius r gilt:

• Volumen: V = (16/3)r³ • Oberfläche: A_O = 16r²

Zur Berechnung des Volumens wird der Körper in dünne quaderförmige Scheiben zerlegt. In der Höhe z besitzt eine solche Scheibe eine quadratische Grundfläche. Für deren halbe Seitenlänge x gilt x² = r² − z². Deshalb ergibt sich

V = ∫₋ᵣʳ (2x)² dz = 4∫₋ᵣʳ x² dz = 4∫₋ᵣʳ (r² − z²) dz = (16/3)r³.

Die Methode ähnelt der Volumenberechnung eines Rotationskörpers, verwendet aber quadratische statt kreisförmiger Scheiben.

Volumenvergleich und Oberfläche

Beim halben Steinmetz-Körper besteht ein bemerkenswertes Volumenverhältnis. Eine einbeschriebene quadratische Pyramide mit a = 2r und h = r hat das Volumen (4/3)r³. Der halbe Steinmetz-Körper besitzt das Volumen (8/3)r³, und ein umbeschriebener Quader mit a = 2r und h = r hat das Volumen 4r³. Die Volumina verhalten sich somit wie 1 : 2 : 3. Dasselbe Verhältnis gilt für Kreiskegel, Halbkugel und Kreiszylinder mit gleichen Radien und Höhen, wobei die Höhe dem Radius entspricht.

Die Oberfläche des vollständigen Körpers besteht aus vier gekrümmten Zweiecken. Nach dem Halbieren eines solchen Zweiecks kann eine Hälfte in die Ebene abgewickelt werden. Sie wird dort durch den halben Sinusbogen η = r sin(ξ/r) für 0 ≤ ξ ≤ πr begrenzt. Ihr Flächeninhalt beträgt

A = ∫₀^{πr} r sin(ξ/r) dξ = 2r².

Da die gesamte Oberfläche aus acht solchen Hälften besteht, folgt A_O = 8A = 16r².

Schnitt dreier Zylinder

Beim Schnitt dreier senkrechter Kreiszylinder, deren Achsen sich senkrecht schneiden, entstehen Ecken, an denen entweder drei oder vier Schnittkurven zusammentreffen. Die Gesamtheit dieser Ecken lässt sich als Ecken eines Rhombendodekaeders auffassen.

Zur Berechnung wird der Körper in einen Würfel und gekrümmte Pyramiden über dessen Seitenflächen zerlegt. Die Seitendreiecke dieser Pyramiden sind Teile von Zylinderflächen. Volumen und Mantelfläche der gekrümmten Pyramiden können mit ähnlichen Überlegungen wie beim Schnitt zweier Zylinder bestimmt werden.

Für drei Zylinder mit Radius r gelten schließlich:

• Volumen: V = (16 − 8√2)r³ • Oberfläche: A_O = 3(16 − 8√2)r²