Shin’ichi Mochizuki

Person und Arbeitsgebiet

Shin’ichi Mochizuki (* 29. März 1969 in Tokio) ist ein japanischer Mathematiker und Professor am Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) der Universität Kyōto. Seine Forschungsgebiete sind algebraische Geometrie und arithmetische Geometrie, also die Untersuchung geometrischer Strukturen mit Methoden der Algebra und Zahlentheorie.

Er studierte zunächst theoretische Physik an der Princeton University und wechselte dann zur Mathematik. 1988 erwarb er unter Gerd Faltings den Master-Abschluss, 1992 wurde er bei Faltings mit der Arbeit The Geometry of the Compactification of the Hurwitz Scheme promoviert. Seit 1996 war er am RIMS Assistenzprofessor, seit 2002 Professor.

Forschung und abc-Vermutung

Anfang der 1990er Jahre entwickelte Mochizuki eine p-adische Teichmüller-Theorie: ein p-adisches Analogon der Uniformisierung hyperbolischer Kurven und ihrer Moduli. Mitte der 1990er Jahre folgte seine p-adische anabelsche Geometrie, Ende der 1990er Jahre eine Hodge-Arakelov-Theorie elliptischer Kurven.

2012 kündigte er einen Beweis der abc-Vermutung über die äquivalente Vermutung von Lucien Szpiro über elliptische Kurven an. Dafür verwendet er die inter-universale Geometrie und speziell die seit 2006 entwickelte interuniverselle Teichmüller-Theorie (IUT). Diese soll den üblichen Schema-Rahmen der arithmetischen und algebraischen Geometrie überschreiten. Nach Mochizukis Beschreibung ersetzt sie in einer Analogie zur p-adischen Teichmüllertheorie p-adische Körper durch Zahlkörper mit zugehörigen elliptischen Kurven.

Der Beweis umfasst mehr als 500 Seiten und verwendet neuartige Konzepte. Akshay Venkatesh und Vesselin Dimitrov fanden 2012 eine Lücke in Teil 3 und 4 der Preprint-Reihe; Mochizuki räumte sie ein, hielt sie aber für behebbar und änderte die Preprints. Der Kern liegt im Korollar 3.12 zu Theorem 3.11, dem Hauptsatz der IUT. Peter Scholze und Jakob Stix bezeichneten dieses Korollar 2018 als fundamentale, ihrer Ansicht nach nicht behebbare Lücke. Mochizuki hielt seinen Beweis dagegen für korrekt und erklärte die Kritik mit Missverständnissen und zu starken Vereinfachungen. Die Arbeit wurde am 5. Februar 2020 zur Veröffentlichung in den Publications of the RIMS akzeptiert und 2021 veröffentlicht. Laut Artikel blieben unter einem großen Teil der Mathematiker erhebliche Zweifel an der Gültigkeit des Beweises bestehen.

Frobenioide

Ein Frobenioid ist eine von Mochizuki eingeführte kategorientheoretische Abstraktion von Divisoren und Geradenbündeln auf algebraischen Kurven oder arithmetischen Schemata sowie ihrer Überdeckungen aus endlichen separablen Erweiterungen von Funktionenkörpern. Ein Divisor ist hier vereinfacht eine formale Beschreibung von Nullstellen und Polen; ein Monoid ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung und neutralem Element.

Aus einer Basiskategorie \mathcal D und einem Divisormonoid \Phi:\mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Mon} entsteht ein elementares Frobenioid \mathcal F_\Phi. Seine Objekte sind die von \mathcal D. Ein Morphismus besteht aus drei Daten:

• \varphi=(\varphi_D,Z_\varphi,n_\varphi),
• einer Basisabbildung \varphi_D,
• einem Divisor Z_\varphi\in\Phi(A_D),
• einem Frobeniusgrad n_\varphi\in\mathbb N=\{1,2,\dots\}.

Für aufeinanderfolgende Morphismen \varphi und \psi gilt \psi\circ\varphi=(\operatorname{Base}(\psi)\circ\operatorname{Base}(\varphi),\ \Phi(\operatorname{Base}(\varphi))(\operatorname{Div}(\psi))+\deg_{\mathrm{Fr}}(\psi)\operatorname{Div}(\varphi),\ \deg_{\mathrm{Fr}}(\psi)\deg_{\mathrm{Fr}}(\varphi)).

Ein Prä-Frobenioid ist eine Kategorie \mathcal C mit einem Funktor \mathcal C\to\mathcal F_\Phi. Ein Frobenioid ist ein Prä-Frobenioid, dessen Struktur zusätzliche Axiome erfüllt: insbesondere Pull-back-Morphismen zur Surjektivität auf die Basiskategorie, Morphismen jedes Frobeniusgrades und co-angular Morphismen zur Erfassung der Divisorenstruktur.

Einfaches Beispiel

Das einfachste elementare Frobenioid ist F_M=M\rtimes\mathbb N, wobei M ein kommutatives Monoid ist und \mathbb N multiplikativ verwendet wird. Es wird als Kategorie mit genau einem Objekt \{*\} aufgefasst. Die Morphismen sind Paare (a,n): a\in M ist der Divisorenanteil, n\in\mathbb N der Grad.

Die Verknüpfung lautet (a_1,n_1)\cdot(a_2,n_2)=(a_1+n_1a_2,n_1n_2). Für M=\mathbb Z_{\geq0} ergibt sich beispielsweise (2,3)\cdot(5,4)=(2+3\cdot5,3\cdot4)=(17,12). Der zusammengesetzte Morphismus besitzt somit Divisorenanteil 17 und Grad 12.

Hodge-Theater und Ausgangsdaten

Ein Hodge-Theater ist ein zentraler Begriff der IUT. Es vergleicht arithmetische und geometrische Daten einer hyperbolischen Kurve in einer kategorientheoretischen Struktur. Das Wort „Theater“ bedeutet dabei, dass verschiedene Darstellungen auf einer gemeinsamen Vergleichsebene verbunden, aber nicht miteinander identifiziert werden. Es besteht aus Systemen von Frobenioiden und Beziehungen zwischen ihnen, den sogenannten Bridges. Die zugehörigen Basiskategorien beschreiben insbesondere zusammenhängende étale und temperierte Überdeckungen algebraischer Kurven; sie können auch als Galoiskategorien beschrieben werden.

Die Konstruktion beginnt mit initialen \Theta-Daten \mathcal I_\Theta=(F,\overline F,X_F,l,V,\dots): einem Zahlkörper F, einer elliptischen Kurve E_F, der einmal punktierten elliptischen Kurve X_F=E_F\setminus\{O\} vom Typ (1,1), einer Primzahl l\geq5 und einer Menge V von Bewertungen. Mit K=F(E_F[l]) wird die durch die l-Torsionspunkte erzeugte Erweiterung gebildet. Die Bewertungen zerfallen in archimedische und nicht-archimedische sowie in gute und schlechte Bewertungen, wobei V^{\mathrm{bad}}\subseteq V^{\mathrm{non}} gilt.

Es gibt zwei Grundtypen, \Theta^{\pm\mathrm{ell}}- und \Theta^{NF}-Hodge-Theater, die durch einen Isomorphismus zum \Theta^{\pm\mathrm{ell}NF}-Hodge-Theater verklebt werden. Ein \Theta^{\pm\mathrm{ell}}-Hodge-Theater hat im Wesentlichen die Form F_\Theta\xleftarrow f F_T\xrightarrow g D^\times: F_\Theta enthält arithmetisch-multiplikative Daten, D^\times geometrische Daten, und F_T ist das Vergleichsobjekt. f heißt \Theta^{\pm}-Bridge, g \Theta^{\mathrm{ell}}-Bridge.

Theta-Funktion sowie Frobenius- und Étale-Bild

Die étale Theta-Funktion überführt Daten aus den Wurzeln der klassischen Theta-Funktion in gruppentheoretische und kohomologische Strukturen. Für N\geq1 setzt Mochizuki K_N=K(\mu_N,q_X^{1/N}). Auf geeigneten Überdeckungen werden einerseits N-te Wurzeln s_N von Schnitten und andererseits Theta-Trivialisierungen \tau_N konstruiert. Die beiden zugehörigen Gruppenwirkungen unterscheiden sich nur durch Einheitswurzeln. Ihre kompatiblen Differenzen definieren die étale Theta-Klasse \eta^\Theta\in H^1(\Pi_{\ddot Y}^{\mathrm{temp}},\Delta^\Theta). Sie kodiert die Wurzelstruktur der Theta-Funktion kohomologisch; ihre Reduktionen liefern die Kummerklassen der betreffenden Wurzeln. Im Frobenioid werden diese Strukturen durch Wurzelpaare von Morphismen und Kummerklassen beschrieben.

Aus einer Familie \{{}^{(n)}HT^{\Theta^{\pm\mathrm{ell}NF}}\}_{n\in\mathbb Z} erzeugen \Theta-Links eine unendliche gerichtete Kette von Hodge-Theatern, das Frobenius-Bild. Das dadurch induzierte Étale-Bild ist eine Kette isomorpher \mathcal D-Prime-Strips. Ein einzelner solcher Strip heißt mono-analytischer Kern, weil er bis auf Isomorphie invariant und von der Position im Frobenius-Bild unabhängig ist. Anders als im geordneten Frobenius-Bild dürfen die Hodge-Theater im Étale-Bild beliebig permutiert werden.