Abc-Vermutung

Kernidee und genaue Formulierung

Die abc-Vermutung ist eine 1985 von David Masser und Joseph Oesterlé aufgestellte, bisher weder bewiesene noch widerlegte Vermutung der Zahlentheorie. Sie betrifft drei paarweise teilerfremde positive ganze Zahlen a, b und c mit a+b=c. Ihre Grundidee lautet: Bei großen Zahlen, die so additiv zusammenhängen, können die Primfaktoren ihres Produkts nicht insgesamt ungewöhnlich klein beziehungsweise stark wiederholt sein.

Das Radikal rad(n) einer positiven ganzen Zahl n ist das Produkt ihrer unterschiedlichen Primfaktoren: rad(n)=∏p, wobei p alle Primzahlen sind, die n teilen. Mehrfaches Auftreten eines Primfaktors wird also nur einmal gezählt.

Die genaue Aussage ist: Für jedes reelle ε>0 gibt es eine Konstante Kε, sodass für alle solchen Tripel gilt: c<Kε·(rad(abc))^(1+ε). Die Konstante darf von ε abhängen, muss aber für alle Tripel funktionieren. Die Version mit ε=0 ist nachweislich falsch. Äquivalent kann man teilerfremde positive oder negative ganze Zahlen mit a+b+c=0 betrachten; links steht dann max(|a|,|b|,|c|).

abc-Tripel, Treffer und Qualität

Ein abc-Tripel ist ein Tripel (a,b,c) teilerfremder positiver ganzer Zahlen mit c=a+b. Es heißt abc-Treffer, wenn rad(abc)≤c gilt. Solche Treffer sind selten, weil c dann mindestens so groß wie das Produkt der verschiedenen beteiligten Primfaktoren ist.

Beispiele sind (1,8,9), (5,27,32) und (32,49,81). Ein besonders gutes Beispiel von Éric Reyssat ist (2,3^10·109,23^5)=(2,6436341,6436343). Hier ist rad(abc)=2·3·23·109=15042 und die Qualität q=log c/log rad(abc) beträgt 1,62991… . Die Qualität misst, wie stark c den gemeinsamen „Primzahlinhalt“ rad(abc) übersteigt.

Unter 15,2 Millionen abc-Tripeln mit c<10.000 gab es 120 Treffer; unter 380 Millionen mit c<50.000 gab es 276. Das Projekt ABC@Home ermittelte für c<2^63≈9,22·10^18 insgesamt 23.827.716 Treffer. Ein Algorithmus verringerte den Rechenaufwand für alle Treffer mit c≤N von ungefähr N^2 auf nahezu N^(2/3). Sander Dahmen bewies 2006, dass es unendlich viele abc-Treffer gibt.

Masser zeigte, dass rad(abc)/c beliebig klein werden kann. Die erweiterte abc-Vermutung besagt dennoch, dass (rad(abc))^s/c für jedes s>1 eine positive untere Schranke besitzt. Für die starke abc-Vermutung gilt: Für jedes d>1 gibt es nur endlich viele Tripel mit q>d. Die schwache abc-Vermutung verlangt lediglich eine obere Schranke für q; aus der starken folgt die schwache, aber nicht umgekehrt.

Folgen und verwandte Vermutungen

Ein Beweis der abc-Vermutung hätte viele Folgen für diophantische Probleme, also Probleme über ganzzahlige oder rationale Lösungen von Gleichungen. Der Beweis des Großen Fermatschen Satzes würde sich laut Artikel etwa auf eine Seite verkürzen. Weitere genannte Folgen sind der Satz von Thue-Siegel-Roth, die Vermutung von Mordell, die Erdős-Woods-Vermutung, die Catalansche Vermutung, die Fermat-Catalan-Vermutung, die Pillai-Vermutung und eine effektive Form von Siegels Theorem über ganzzahlige Punkte algebraischer Kurven.

Außerdem würde für jedes a∈ℚ× mit a≠±1 gelten, dass es unendlich viele Primzahlen p gibt, für die a^(p−1)−1 nicht durch p^2 teilbar ist. Die Vermutung liefert auch die schwache Hall-Vermutung über Differenzen von Kubik- und Quadratzahlen.

Eng verwandt ist die Vermutung von Szpiro über elliptische Kurven. Für jedes ε>0 soll eine Konstante C(ε)>0 existieren, sodass für jede elliptische Kurve mit minimaler Diskriminante Δ und Führer N gilt: |Δ|<C(ε)N^(6+ε). Die verallgemeinerte Szpiro-Vermutung ist zur abc-Vermutung äquivalent.

Alan Bakers explizite abc-Vermutung verwendet zusätzlich ω=ω(abc), die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von abc. In einer gebräuchlichen Form lautet sie: c<(6/5)·r·ln(r)^ω/ω!, wobei r=rad(abc). Als einfache schwache Variante wird c≤(rad(abc))^2 genannt. Die k-abc-Vermutung erweitert das Prinzip auf k≥3 teilerfremde ganze Zahlen mit Summe 0 und ohne verschwindende Teilsumme; der Exponent des Radikals ist dann 2k−5+ε.

Analoge Sätze und bewiesene Näherungen

Für Polynome bewiesen Wilson Stothers und Richard Mason 1983 unabhängig: Sind f, g und h teilerfremde, nicht konstante Polynome mit f=g+h, dann gilt max(grad(f),grad(g),grad(h))≤N0(fgh)−1. Dabei ist N0(f) die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von f. Dieser Satz ist ein Funktionenkörper-Analogon der abc-Vermutung und liefert beispielsweise den Fermatschen Satz für Polynome.

Für ganze Zahlen sind wesentlich schwächere Abschätzungen bewiesen. Stewart und Tijdeman zeigten 1986: c<exp(C1·rad(abc)^15). Stewart und Kunrui Yu verbesserten dies 1991 zu c<exp(C2·rad(abc)^(2/3+ε)) und 1996 zu c<exp(C3·rad(abc)^(1/3+ε)). C1 ist konstant; C2 und C3 sind positive, von ε abhängige und leicht berechenbare Konstanten. Diese Resultate erreichen die vermutete Potenzform c<Kε·rad(abc)^(1+ε) nicht.

Mochizukis Beweisversuch

Shin’ichi Mochizuki veröffentlichte im August 2012 einen möglichen Beweis, ausgehend von der zur abc-Vermutung äquivalenten verallgemeinerten Szpiro-Vermutung. Er nutzte dabei seine Inter-Universale Teichmüller Theory. Der Artikel beschreibt den Beweis als weiterhin umstritten: Auch Jahre nach der Veröffentlichung überzeugte er die meisten Spezialisten nicht.

Jakob Stix und Peter Scholze erklärten 2018, eine fundamentale Lücke gefunden zu haben. Mochizuki hielt an seinem Beweis fest. Nature berichtete am 3. April 2020, dass der etwa 600 Seiten lange Beweis vom Journal Publications of the RIMS zur Veröffentlichung angenommen worden sei; Mochizuki ist selbst Chefredakteur dieses Journals. Scholze erklärte, seine Kritik habe sich nicht geändert, und bezeichnete die Theorie 2021 in einer zbMATH-Rezension als „klar unzureichend für einen Beweis der abc-Vermutung“. Der veröffentlichte Text sei gegenüber den Preprints im Wesentlichen unverändert und berücksichtige die Kritik nur in einigen Anmerkungen.