Interuniverselle Teichmüller-Theorie

Kernidee, Ziel und Aufbau

Die interuniverselle Teichmüller-Theorie (IUT oder IUTT) ist eine von Shin’ichi Mochizuki entwickelte mathematische Theorie. Sie verallgemeinert die Teichmüller-Theorie auf Zahlenkörper mit einer elliptischen Kurve. Mochizuki veröffentlichte im August 2012 eine knapp 2000 Seiten umfassende Darstellung in vier Arbeiten. Er beansprucht damit Beweise der abc-Vermutung, der Szpiro-Vermutung und der Vojta-Vermutung; ob diese Beweise gültig sind, ist weiterhin umstritten.

Der „interuniverselle“ Ansatz vergleicht ring- und schematheoretische Strukturen aus verschiedenen mengentheoretischen Universen. Dabei soll untersucht werden, welche Informationen bereits in der abstrakten topologischen Gruppe einer étalen Fundamentalgruppe enthalten sind. Die étale Fundamentalgruppe ist für Schemata ein Gegenstück zur Fundamentalgruppe topologischer Räume.

Zentrale Vergleichsräume heißen Hodge-Theater. Sie werden durch Frobenioide beschrieben und durch Θ-Links verbunden. Diese Verbindungen beruhen nicht auf gewöhnlichen Ringhomomorphismen. Eine Folge verknüpfter Hodge-Theater bildet das Frobenius-Bild. Viele Begriffe der IUT, etwa Hodge-Theater, Θ-Daten, Θ-Links und „außerirdische Ringstrukturen“, werden außerhalb der Theorie bisher nicht verwendet und gelten daher nicht als etabliert.

IUT I führt die meisten Definitionen ein; die eigentliche Konstruktion beginnt dort in §3 mit Ketten von Θ-Hodge-Theatern. IUT II untersucht die Kummer-Theorie der étalen Theta-Funktion und entwickelt Multiradialität sowie gaußsche Frobenioide. IUT III verbindet die Konstruktionen im zweidimensionalen Log-Theta-Gitter und gewinnt mit Log-Links, LGP-Monoiden und dem multiradialen Algorithmus Abschätzungen für Log-Volumina. IUT IV verwendet diese Abschätzungen für diophantische Anwendungen.

Grundlagen: Bewertungen, Kurven und Frobenioide

Für einen Zahlkörper F ist eine Bewertung eine nichttriviale Abbildung v:F→ℝ≥0 mit v(xy)=v(x)v(y) und v(x+y)≤v(x)+v(y). Äquivalente Bewertungen erzeugen dieselbe Topologie. Die Bewertungsstellen zerfallen in archimedische und nichtarchimedische Stellen: V=V^arc ⊔ V^non. Mit F_v wird die Vervollständigung an v bezeichnet. Für nichtarchimedisches v ist 𝒪_{F_v}:={x∈F_v | v(x)≤1} der Bewertungsring. Darin liegen verschachtelt die 2l-ten Einheitswurzeln, alle Einheitswurzeln, die Einheiten und die von null verschiedenen Elemente: 𝒪_{F_v}^{μ_{2l}}⊆𝒪_{F_v}^μ⊆𝒪_{F_v}^×⊆𝒪_{F_v}^▷⊆𝒪_{F_v}.

Eine algebraische Kurve mit Geschlecht g und r Spitzen heißt hyperbolisch, wenn 2g−2+r>0 gilt. Eine Log-Struktur auf einem Schema X besteht aus einer Garbe von Monoiden ℳ und einem Homomorphismus α:ℳ→𝒪_X, der über den invertierbaren Funktionen einen Isomorphismus erzeugt. Eine Kurve mit einer solchen Struktur heißt Log-Kurve. Eine hyperbolische Orbikurve ist ein generisch schemaartiger algebraischer Stack, der eine endliche étale Galois-Überdeckung durch eine hyperbolische Kurve besitzt.

Frobenioide sind kategorientheoretische Abstraktionen von Divisoren, Geradenbündeln, rationalen Funktionen und Überdeckungen. Aus einer Basiskategorie 𝒟 und einer Zuordnung Φ, die jedem Objekt A ein Divisormonoid Φ(A) gibt, entsteht das elementare Frobenioid ℱ_Φ. Es hat dieselben Objekte wie 𝒟 und Hom_{ℱ_Φ}(A,B)=Hom_𝒟(A,B)×Φ(A)×ℕ≥1. Ein Morphismus φ wird durch (Base(φ),Div(φ),deg_Fr(φ)) beschrieben. Bei der Komposition werden die Basismorphismen zusammengesetzt, die Divisoren nach der Regel Φ(Base(φ))(Div(ψ))+deg_Fr(ψ)Div(φ) kombiniert und die Frobeniusgrade multipliziert. Ein Frobenioid ist eine Kategorie 𝒞 mit einem Funktor 𝒞→ℱ_Φ.

Ein Model-Frobenioid wird aus Daten (𝒟,Φ,B,Div_B→Φ^gp) konstruiert. B beschreibt invertierbare rationale oder meromorphe Funktionen; Φ^gp ist die durch Ergänzen von Inversen gebildete Grothendieck-Gruppe. Für einen Morphismus gilt zusätzlich die Bedingung deg_Fr(φ)α+Div(φ)=Φ(Base(φ))(β)+Div_B(u_φ).

Étale Theta-Funktion und Theta-Klasse

Die étale Theta-Funktion beruht auf dem Vergleich zweier kompatibler Systeme von Gruppenwirkungen auf Linienbündeln. Auf jedem Niveau N unterscheiden sich die Wirkungen nur durch eine N-te beziehungsweise 2N-te Einheitswurzel; die über alle N verträglichen Unterschiede ergeben die étale Theta-Klasse.

Ausgangspunkt ist eine endliche Erweiterung K von ℚ_p und ein formales Modell 𝒳→Spf(𝒪_K) einer stabilen Kurve vom Typ (1,1). Seine generische Faser X ist eine glatte elliptische Kurve; die geometrisch irreduzible spezielle Faser besitzt einen rationalen Knoten. Für die temperierte Fundamentalgruppe gilt die exakte Sequenz 1→Δ_X^temp→Π_X^temp→G_K→1. Der Dualgraph der speziellen Faser hat als universelle Überdeckung eine mit ℤ identifizierbare unendliche Kette. Daraus entsteht eine unendliche étale Überdeckung Y→X mit Gal(Y/X)≅ℤ; geometrisch besteht Y aus einer Kette von Kopien von ℙ¹, die bei 0 und ∞ verklebt sind.

Nach proendlicher Vervollständigung wird der Theta-Quotient Δ_X^Θ:=Δ_X/[Δ_X,[Δ_X,Δ_X]] gebildet. Dabei gilt Δ^Θ≅Ẑ(1). Mit dem q-Parameter q_X setzt man K_N:=K(μ_N,q_X^{1/N}). Weitere Erweiterungen und Überdeckungen Y_N und Z_N ermöglichen die Konstruktion eines Linienbündels L_N vom Grad 1 auf jeder irreduziblen Komponente sowie eines Schnitts s_N mit s_N^{⊗N}=s_1.

Für eine zweite Wirkung wird nach dem Übergang zu K_{2N} eine zweifache Überdeckung konstruiert. Die Komponenten ihrer speziellen Faser werden durch j∈ℤ bezeichnet. Ein Divisor D_N erhält auf Komponente j das Gewicht (j²/(2N))log(q_X). Ein Schnitt τ_N mit Nullstellendivisor D_N heißt Theta-Trivialisierung; die Schnitte können so gewählt werden, dass für M|N gilt: τ_N^{N/M}=τ_M.

Der Vergleich der durch s_N und τ_N bestimmten Wirkungen liefert kompatible Differenzen in μ_N≅ℤ/Nℤ(1)≅Δ^Θ⊗ℤ/Nℤ und damit die Kohomologieklasse η̈^Θ∈H¹(Π_{Ÿ}^temp,Δ^Θ). Sie ist bis auf Multiplikation mit einer Einheit unabhängig von den Wahlen. Die Klassen u·η̈^Θ heißen étale Theta-Funktionen. Die aus einer lN-ten Wurzel der klassischen Theta-Funktion gewonnene Kummerklasse ist genau die Reduktion von η^Θ modulo lN.

Hodge-Theater und Ausgangsdaten

Ein Hodge-Theater vergleicht arithmetische und geometrische Daten einer hyperbolischen Kurve in einer kategorientheoretischen Struktur, ohne sie miteinander zu identifizieren. Seine F-Seite ist ein System von Frobenioiden; die D-Seite besteht aus deren Basiskategorien, vor allem Kategorien zusammenhängender étaler oder temperierter Überdeckungen. Lokale Daten aller Bewertungsstellen werden in Prime-Strips gesammelt: Ein D-Prime-Strip enthält geometrisch-anabelsche Überdeckungskategorien, ein F-Prime-Strip die zugehörigen Frobenioide.

Die initialen Θ-Daten 𝓘_Θ=(F,F̄,X_F,l,V,…) enthalten insbesondere einen Zahlkörper F mit √−1∈F, eine elliptische Kurve E_F, die einmal punktierte hyperbolische Kurve X_F=E_F∖{O} vom Typ (1,1), eine Primzahl l≥5 und die Erweiterung K=F(E_F[l]). Es gilt E_F[l]≅(ℤ/lℤ)²≅𝔽_l². Hinzu kommen das Modulfeld F_mod mit F_mod⊆F⊆K⊆F̄, passende Bewertungsmengen sowie die Orbikurve C_F=[X_F/{±1}].

Aus einer Surjektion E_K[l]→Q≅ℤ/lℤ entsteht eine globale étale Überdeckung vom Grad l. Nach Vervollständigung zu K_v erhält man an guten und schlechten Stellen verschiedene lokale Überdeckungen und daraus lokale Frobenioide: temperierte Frobenioide an schlechten nichtarchimedischen Stellen, p_v-adische Frobenioide an guten nichtarchimedischen Stellen und Tripel (C_v,D_v,κ_v) an archimedischen Stellen. An schlechten Stellen stehen Tate-Parameter und lokale Theta-Funktion durch Θ_v(√−q_v)=q_v^{1/(2l)} in Beziehung.

Die lokalen Daten werden in einem globalen Frobenioid-Datum ℱ_mod zusammengeführt. Seine Θ-Version ℱ_tht entsteht durch die formale Erweiterung Φ_tht:=Φ_mod·log(Θ); an schlechten Stellen wird q_v^{1/(2l)} durch Θ_v^{−1/l} ersetzt. Ein Θ-Hodge-Theater ist im Kern das Tupel HT^Θ=({F_v}_{v∈V},ℱ_mod).

Mochizuki unterscheidet Θ^{±ell}- und Θ^{NF}-Hodge-Theater. Das erste verbindet eine arithmetische F-Seite über ein Vergleichsobjekt mit der geometrischen Kategorie D°=ℬ(X̲_K)^0. Das zweite ergänzt über eine NF-Bridge eine numerisch-funktionale Struktur. Beide werden durch einen Isomorphismus zum Θ^{±ell NF}-Hodge-Theater verklebt.

Theta-Links, Bilder und zentraler Algorithmus

Ein Θ-Link zwischen zwei Θ^{±ell NF}-Hodge-Theatern ist eine Sammlung von Isomorphismen von der Θ-Version des globalen Frobenioid-Datums des ersten zur gewöhnlichen Version des zweiten: ⁽ᵃ⁾ℱ_tht≅⁽ᵇ⁾ℱ_mod. Eine in beide Richtungen unendliche Folge solcher Verbindungen heißt Frobenius-Bild. Auf der D-Seite entsteht eine Kette isomorpher Prime-Strips. Ihr gemeinsamer, bis auf Isomorphie unveränderlicher Teil heißt mono-analytischer Kern. Die Beziehungen der Hodge-Theater zu diesem Kern bilden das Étale-Bild; anders als im Frobenius-Bild dürfen die Theater darin beliebig vertauscht werden.

IUT III ordnet Hodge-Theater in einem zweidimensionalen Log-Theta-Gitter {⁽ⁿ˒ᵐ⁾HT}_{n,m∈ℤ} an. Horizontal verlaufen Θ-Links, vertikal Log-Links. Der multiradiale Algorithmus soll arithmetische Größen einer Gitterlinie aus einer benachbarten rekonstruieren. Aus LGP-Monoiden erzeugt er Splitting-Monoide und daraus zwei Pilotobjekte: Das q-Pilotobjekt ist ein arithmetischer Divisor aus den Nullstellen der q_v an schlechten Stellen; das Θ-Pilotobjekt entsteht entsprechend aus den Theta-Werten {q_v^{j²}} für j=1,…,l_𝔽. Log-Shells sind logarithmische Teilobjekte lokaler Frobenioide, deren Größe durch additive Log-Volumina gemessen wird.

Der Algorithmus aus IUT III, Satz 3.11, umfasst drei Schritte: die multiradiale Darstellung der lokalen und globalen Daten, Splitting-Monoide und Log-Volumina; ihre Übertragung durch Kummer-Isomorphismen; und den Nachweis der Kompatibilität dieser Abbildungen mit den Θ-Links. Im anschließenden Korollar 3.12 vergleicht Mochizuki das Θ-Pilotobjekt eines Hodge-Theaters mit dem q-Pilotobjekt seines horizontalen Nachbarn und leitet −|log(q)|≤−|log(Θ)| her. Diese Abschätzung wird in IUT IV für eine diophantische Ungleichung verwendet, aus der nach Mochizukis Darstellung die Vojta-, abc- und Szpiro-Vermutung folgen.

Streit um Korollar 3.12

Gerade der Übergang in Korollar 3.12 ist umstritten. Peter Scholze und Jakob Stix bestreiten, dass der multiradiale Zusammenhang einen ausreichenden Vergleich der Pilotobjekte und ihrer Log-Volumina erlaubt. Nach mehreren Seminaren 2015 und 2016 erklärten Mathematiker 2017, diesen Teil der Arbeit nicht zu verstehen. Theorem 3.11, das Mochizuki als Hauptsatz der Reihe bezeichnet, umfasst bereits in seiner Formulierung sechs Seiten.

Scholze und Stix diskutierten die Frage im März 2018 in Kyoto mit Mochizuki und Yuichiro Hoshi. Eine Einigung über Korrektheit oder Vollständigkeit wurde nicht erreicht. In einem Bericht vom Mai 2018, erweitert im September 2018, bezeichneten Scholze und Stix die Stelle als erhebliche, nicht durch kleine Änderungen behebbare Lücke; danach wäre die Arbeit kein Beweis der abc-Vermutung. Mochizuki entgegnete 2018, seine Theorie sei weiterhin unverstanden und die Kritik beruhe auf unzulässigen Vereinfachungen. Scholze erklärte 2021 nach der Veröffentlichung der Arbeiten in den Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, seine Einwände seien nicht berücksichtigt worden. Andere Mathematiker, darunter Iwan Borissowitsch Fessenko, bewerten IUT dagegen als bedeutenden Beitrag. Die behaupteten Folgerungen bleiben daher in der mathematischen Fachwelt umstritten.