Mandelbrot-Menge

Grundidee und Definition

Die Mandelbrot-Menge 𝓜 ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen und bildet in der Gaußschen Zahlenebene ein Fraktal, das umgangssprachlich oft „Apfelmännchen“ heißt. Für jede komplexe Zahl c wird, ausgehend von z₀ = 0, die Folge

zₙ₊₁ = zₙ² + c

berechnet. Genau dann gehört c zur Mandelbrot-Menge, wenn diese Folge beschränkt bleibt, ihre Beträge also nicht über jede Grenze wachsen:

c ∈ 𝓜 ⇔ ∃ s ∈ ℝ: lim supₙ→∞ |zₙ| ≤ s.

Sobald ein Folgeglied mit |zₙ| > 2 auftritt, wächst der Betrag anschließend über jede Grenze. Deshalb genügt die Schranke 2:

c ∈ 𝓜 ⇔ ∀ n ∈ ℕ: |zₙ| ≤ 2.

Gleichwertig betrachtet man die quadratischen Polynome P_c(z) = z² + c und ihre wiederholte Anwendung P_cⁿ. Dann gilt

𝓜 = {c ∈ ℂ | ∀ n ∈ ℕ: |P_cⁿ(0)| ≤ 2}.

Beispiele: Für c = −2 entsteht die beschränkte Folge 0, −2, 2, 2, 2, …; daher liegt −2 in 𝓜. Für c = +2 ergibt sich 0, 2, 6, 38, 1446, …; die Folge divergiert, also liegt +2 nicht in 𝓜.

Die Mandelbrot-Menge klassifiziert zugleich Julia-Mengen. Die Julia-Menge 𝓙_c ist der Rand der Menge aller Anfangswerte z₀, deren Folge unter z ↦ z² + c beschränkt bleibt. 𝓙_c ist genau dann zusammenhängend, wenn c zur Mandelbrot-Menge gehört.

Folgenverhalten und Chaos

Abhängig von c zeigt die Folge vier grundlegende Verhaltensweisen:

• Sie konvergiert gegen einen Fixpunkt, also einen Wert, der durch die Iteration nicht mehr verändert wird.

• Sie nähert sich einem periodischen Grenzzyklus aus mindestens zwei wiederkehrenden Werten oder ist von Anfang an periodisch.

• Sie bleibt beschränkt, ohne sich jemals zu wiederholen; dabei kann sie chaotisch zwischen fast periodischem und scheinbar zufälligem Verhalten wechseln.

• Sie divergiert bestimmt gegen Unendlich.

Alle c-Werte, deren Folgen nicht bestimmt divergieren, gehören zu 𝓜. Typische Fälle sind c = 0 mit der konstanten Folge 0, 0, 0, …, c = −1 mit dem Zweierzyklus −1, 0, −1, 0, … und c = −1,5 mit chaotischem Verhalten. Für c = −0,75 konvergiert die Folge sehr langsam gegen den Fixpunkt −1/2.

Geometrisch entspricht das Innere der großen Kardioide, des „Körpers“, den konvergierenden Folgen. Periodische Grenzzyklen gehören zu den annähernd kreisförmigen „Knospen“, zur Kardioide von Satelliten und zu bestimmten Randpunkten. Echt vorperiodische Folgen, die nach einer Anfangsphase in einen Zyklus eintreten, treten bei abzählbar vielen Parametern auf, den häufig so genannten Misiurewicz-Thurston-Punkten. Dazu zählen Antennenspitzen wie c = −2 und Verzweigungspunkte.

Für reelle c zeigt die Menge einen grundlegenden Übergang von Ordnung zu Chaos. In der Kardioide, für −0,75 ≤ c ≤ 0,25, konvergiert die Folge. Auf der „Antenne“ zwischen −2 und dem Myrberg-Feigenbaum-Punkt −1,40115… verhält sie sich chaotisch. Dazwischen entstehen periodische Grenzzyklen, deren Perioden sich schrittweise verdoppeln. Diese Periodenverdopplung heißt Bifurkation. Das Verhältnis aufeinanderfolgender Parameterintervalle beziehungsweise Knospendurchmesser nähert sich der Feigenbaum-Konstante δ = 4,66920… an. Lücken im chaotischen Bereich entsprechen Inseln periodischen Verhaltens.

Zyklen, Knospen und Satelliten

Jede kreisförmige Knospe und jede Satelliten-Kardioide steht für eine bestimmte Periode des Grenzzyklus. Die Periode einer Knospe ist die Summe der Perioden ihrer beiden nächsten größeren Nachbarknospen am selben Basiskörper. Fehlt auf einer Seite eine größere Nachbarknospe, wird dort die Periode des Basiskörpers eingesetzt. Tendenziell werden Knospen mit steigender Periode kleiner. Die größte Knospe eines Basiskörpers besitzt stets dessen doppelte Periode. Bei Satelliten ist die Periode einer Knospe das Produkt aus der Periode der Satelliten-Kardioide und der entsprechenden Knospe der Hauptkardioide.

Gilt für ein c und ein n die Beziehung zₙ = z₀ = 0, wiederholt sich die Folge von Anfang an mit Periode n. Das Polynom zₙ(c) besitzt den Grad 2ⁿ⁻¹. Seine Nullstellen liefern die Parameter für solche periodischen Folgen. Ein Zyklus heißt attraktiv, wenn Folgen aus seiner Nähe gegen ihn konvergieren. Die Hauptkardioide repräsentiert Periode 1. Der „Kopf“ repräsentiert Periode 2 und ist eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt −1 und Radius 1/4. Die zu Periode 3 gehörenden Gebiete sind die Armknospen und die Kardioide des größten Satelliten auf der Kopfantenne.

Repulsive Zyklen sind dagegen instabil: Folgen in ihrer Umgebung entfernen sich von ihnen. Parameter, deren Folge über einen zweiten möglichen Vorläufer eines Periodenwertes schließlich in einen solchen Zyklus gelangt, heißen Misiurewicz-Punkte. Sie bilden unter anderem die Zentren rad- und spiralförmiger Strukturen sowie Endpunkte antennenartiger Gebilde. In der Nähe eines Misiurewicz-Punktes ähnelt die Mandelbrot-Menge immer genauer dem entsprechenden Ausschnitt der Julia-Menge 𝓙_c.

Satelliten sind verkleinerte, deformierte Kopien der Mandelbrot-Menge am Rand. In einem Satelliten sind die Perioden gegenüber den entsprechenden Stellen des Hauptkörpers um einen Faktor p vervielfacht. Betrachtet man nur jedes p-te Folgeglied, entsteht bis auf einen räumlichen Maßstabsfaktor nahezu dieselbe Dynamik wie im Hauptkörper. Satelliten besitzen wiederum Satelliten höherer Ordnung, wodurch sich beliebig viele verschiedene Strukturen in unterschiedlicher Reihenfolge kombinieren können.

Geometrische Eigenschaften

Die Mandelbrot-Menge ist zur reellen Achse spiegelsymmetrisch. Sie ist abgeschlossen, liegt vollständig in der abgeschlossenen Kreisscheibe mit Radius 2 um den Ursprung und ist daher kompakt. Adrien Douady und John Hamal Hubbard bewiesen 1984, dass sie zusammenhängend ist, also keine voneinander getrennten Inseln besitzt.

Ob sie auch lokal zusammenhängend ist, ist als MLC-Vermutung weiterhin unbewiesen. Ein Beweis hätte weitreichende Folgen für ihre Topologie. Insbesondere würde daraus die Hyperbolizitätsvermutung folgen, nach der jede offene Teilmenge im Inneren der Mandelbrot-Menge aus Punkten mit attraktiven Zyklen besteht. Teilresultate liegen unter anderem für bestimmte endlich renormalisierbare Parameter vor.

Die Menge ist selbstähnlich, aber nicht exakt selbstähnlich: Keine zwei Randteile sind vollständig gleich. Nahe vieler Randpunkte entstehen bei immer stärkerer Vergrößerung jedoch näherungsweise periodische Strukturen. An besonderen Punkten wurde Selbstähnlichkeit 1999 von Mikhail Lyubich bewiesen. Jeder Bildausschnitt, der sowohl Punkte innerhalb als auch außerhalb von 𝓜 enthält, umfasst unendlich viele Satelliten.

Da 𝓜 Kardioid- und Kreisflächen enthält, besitzt sie die fraktale Dimension 2. Ihr Rand hat unendliche Länge; seine Hausdorff-Dimension und seine Box-Dimension betragen ebenfalls 2. Ungeklärt ist, ob der Rand einen positiven Flächeninhalt besitzt oder ob dieser null ist. Auch der Flächeninhalt der gesamten Mandelbrot-Menge ist nicht exakt bekannt; numerische Schätzungen ergeben ungefähr 1,5065918849.

Die Iterationspolynome machen die zunehmende Komplexität sichtbar: z₁(c) = c, z₂(c) = c² + c und z₄(c) = ((c² + c)² + c)² + c. Der Grad von zₙ(c) ist 2ⁿ⁻¹, sodass sich die Zahl der Nullstellen bei jedem Schritt verdoppelt. Alle Nullstellen von zₙ sind auch Nullstellen von zₖₙ. Dies erklärt, warum periodische Strukturen bei passenden Iterationszahlen erneut hervortreten. Eine im Artikel beschriebene Zoomfahrt vergrößert in 15 Bildern jeweils um den Faktor 4 bis 8 und erreicht insgesamt ungefähr den Faktor 60 Milliarden; dabei erscheinen wiederholt Spiralen, „Seepferdchen“, Antennen und Satelliten.

Berechnung und tiefe Vergrößerungen

Für eine Computergrafik wird jedem Pixel eine komplexe Zahl c zugeordnet und die Folge ab z₀ = 0 berechnet. Überschreitet |zₙ| den Wert 2, ist die Divergenz bewiesen. Häufig codiert die Farbe die benötigte Iterationszahl n; Punkte, deren Folge klein bleibt, werden oft schwarz dargestellt. Praktisch verwendet man für gleichmäßigere Farbübergänge einen Fluchtradius r > 2. Eine maximale Iterationszahl n_max ist nötig, weil das Überschreiten des Fluchtradius beliebig spät geschehen kann. Punkte, die r bis dahin nicht erreichen, werden näherungsweise zu 𝓜 gezählt. Je näher ein Punkt am Rand liegt und je stärker vergrößert wird, desto größer müssen n_max, Rechenzeit und Zahlengenauigkeit sein.

Kontinuierliche Farben lassen sich durch eine interpolierte Fluchtzeit erzeugen. Für |zₙ(c)| ≥ r ≫ 2 gilt näherungsweise

t_r(c) = n − log₂(ln|zₙ(c)| / ln r).

Zur Abschätzung des Randabstands wird zusätzlich die Ableitung rekursiv berechnet:

zₙ₊₁′(c) = 2zₙ(c)zₙ′(c) + 1.

Daraus folgt die Distanzschätzung

dₙ(c) = ln|zₙ(c)| · |zₙ(c) / zₙ′(c)|.

Sie ist eine Näherung; der Grenzwert von dₙ muss nicht gegen den wirklichen Abstand konvergieren.

Hardwaregestützte 32- und 64-Bit-Gleitkommazahlen erlauben gewöhnlich Zoomfaktoren von ungefähr 10¹² bis 10¹³. Für tiefere Vergrößerungen ist hochgenaue Arithmetik erforderlich. Die Störungsrechnung beschleunigt dies: Zunächst wird für einen Referenzparameter c eine hochgenaue Folge zₙ gespeichert. Für einen nahen Punkt c′ = c + δ betrachtet man nur die Abweichung εₙ = zₙ′ − zₙ. Sie erfüllt

ε₀ = 0, εₙ₊₁ = 2zₙεₙ + εₙ² + δ.

Solange εₙ klein bleibt, kann zₙ′ = zₙ + εₙ effizient bestimmt werden. Werden die Abweichungen zu groß, können Darstellungsfehler entstehen; durch ein Zurücksetzen auf z₀ = 0 („Rebasing“) lassen sie sich begrenzen. Bei |εₙ| ≪ |zₙ| kann man linearisieren und mehrere Schritte in der bilinearen Form εₙ₊ₖ = aₙ,ₖεₙ + bₙ,ₖδ zusammenfassen. Dadurch lassen sich oft bis zu 90 Prozent der Iterationen überspringen. In Verbindung mit paralleler Berechnung auf Grafikkarten sind je nach Gleitkommaformat Zoomtiefen bis 10³⁸ beziehungsweise 10³⁰⁸ möglich.