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Schrödingers Katze
Zu Beginn lebt die Katze, aber im Laufe einer Halbwertzeit gerät das Atom in den genannten kohärenten Superpositionzustand aus den Zuständen „zerfallen“ und „ …
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Grundidee des Gedankenexperiments
Schrödingers Katze ist ein 1935 von Erwin Schrödinger formuliertes Gedankenexperiment zur Frage, was die Quantenmechanik für makroskopische, also mit bloßem Auge wahrnehmbare Dinge bedeuten würde. Eine Katze befindet sich in einer verschlossenen Stahlkammer. Ihr Weiterleben hängt von einem radioaktiven Atom ab: Zerfällt das Atom, registriert ein Geigerzähler die Strahlung, löst über ein Hämmerchen die Zerstörung eines Giftgasfläschchens aus und die Katze stirbt. Zerfällt das Atom nicht, bleibt sie lebendig.
Nach einer Halbwertzeit befindet sich das Atom in der quantenmechanischen Beschreibung zu gleichen Teilen in einer kohärenten Superposition der Zustände „zerfallen“ und „nicht zerfallen“. Überträgt man diese Beschreibung unmittelbar auf die Katze, müsste sie gleichzeitig „tot“ und „lebendig“ sein. Eine Beobachtung beim Öffnen der Kammer würde jedoch keinen solchen Überlagerungszustand feststellen, sondern entweder „tot“ oder „lebendig“, nach einer Halbwertzeit mit je 50 % Wahrscheinlichkeit.
Schrödinger wollte mit der burlesk ausgeschmückten Situation zeigen, dass die neuen Vorstellungen über den Zustand eines Teilchens „einfach falsch“ werden, wenn man sie ohne Weiteres auf „grob tastbare und sichtbare Dinge“ bezieht. Das Gedankenexperiment wurde deshalb zu einem zentralen Beispiel für die Diskussion über Superposition, Messung, Zustandsreduktion und die Bedeutung der Wellenfunktion.
Superposition und Wahrscheinlichkeitsdeutung
Das Superpositionsprinzip besagt, dass sich zwei Zustände eines Quantensystems wie Wellenfelder oder Vektoren addieren lassen. Die Summe ist ein neuer Zustand. Die Ausgangszustände können dabei mit Faktoren versehen werden; die entstehende Linearkombination heißt genauer kohärente Überlagerung. Die Faktoren sind komplexe Zahlen und werden Amplituden genannt. Ihre Betragsquadrate geben an, wie stark die jeweiligen Zustände vertreten sind. Zusätzlich beeinflussen die komplexen Phasen den physikalischen Zustand.
Beim Doppelspalt hat ein Elektron hinter einem einzelnen Spalt die Wellenfunktion ψ₁(r) beziehungsweise ψ₂(r). Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind |ψ₁(r)|² und |ψ₂(r)|². Wird immer nur einer der beiden Spalte geöffnet, ergibt sich eine inkohärente Überlagerung mit der Verteilung |ψ₁(r)|² + |ψ₂(r)|². Sind beide Spalte gleichzeitig offen, lautet die Wellenfunktion Ψ(r) = ψ₁(r) + ψ₂(r). Dann gilt:
|Ψ(r)|² = |ψ₁(r)|² + |ψ₂(r)|² + 2|ψ₁(r)||ψ₂(r)| cos γ(r).
Der zusätzliche Interferenzterm hängt von der Phasendifferenz γ(r) der beiden Wellenfunktionen ab. Dadurch kann die Intensität größer oder kleiner sein als bei der inkohärenten Überlagerung. Die Interferenz zeigt, dass beide Zustände zur Beschreibung jedes einzelnen Elektrons beitragen.
Ein weiteres Beispiel ist der Elektronenspin. Die Zustände |+z⟩ und |-z⟩ beschreiben eine parallele beziehungsweise antiparallele Ausrichtung zur z-Achse. Mit α = √(1/2) ergibt |+x⟩ = α(|+z⟩ + |-z⟩) eine Ausrichtung parallel zur x-Achse. Bei einer Phasendifferenz γ = π/2 entsteht der andere Zustand |+y⟩ = α|+z⟩ + αe^(iπ/2)|-z⟩ = α(|+z⟩ − |-z⟩), der zur y-Achse ausgerichtet ist.
Nach der Wahrscheinlichkeitsdeutung hat eine physikalische Größe in einem Quantenzustand im Allgemeinen keinen bestimmten Wert. Bestimmte Zustände, die sogenannten Eigenzustände, besitzen für diese Größe einen eindeutigen Eigenwert. Jeder beliebige Zustand kann als kohärente Superposition solcher Eigenzustände beschrieben werden. Das Betragsquadrat der Amplitude eines Eigenzustands gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei einer Messung den zugehörigen Eigenwert zu erhalten.
Für ein radioaktives Atom nimmt die Wahrscheinlichkeit, es unzerfallen vorzufinden, nach dem exponentiellen Zerfallsgesetz e^(−λt) ab. Die Halbwertszeit beträgt T₁/₂ ≈ 0,693/λ. Für eine große Anzahl gleicher Atome ist nach einer Halbwertszeit genau die Hälfte unverändert. Ob ein einzelnes Atom zu einem bestimmten Zeitpunkt zerfallen ist, lässt sich dagegen nicht vorhersagen; die Frage wird erst durch Beobachtung entschieden.
Dekohärenz und Irreversibilität
Eine kohärente Überlagerung entwickelt sich gemäß der Schrödingergleichung grundsätzlich reversibel. Theoretisch könnte ein System daher aus einer Superposition wieder in einen ursprünglichen Zustand zurückgeführt werden. Technisch wird diese Reversibilität beispielsweise bei der Manipulation von Kernspins in der medizinischen MRT-Diagnostik genutzt. Voraussetzung ist, dass zufällige Störungen die komplexen Phasen der Amplituden nicht verändern. Gerade die Verhinderung solcher Störungen bei Qubits ist eine große technische Hürde für Quantencomputer.
Bei einer Katze in normaler Umgebung ist eine dauerhaft kohärente Superposition jedoch ausgeschlossen. Die Dekohärenztheorie, die in den 1980er Jahren innerhalb der Quantenmechanik entwickelt wurde und deren Grundlagen bereits ab den 1970er Jahren entstanden, bezieht die Umgebung des betrachteten Systems in die Beschreibung ein. Ein Überlagerungszustand kann anfangs entstehen, bleibt aber nur bei nahezu perfekter Abschirmung von Umgebungseinflüssen erhalten.
Im Gedankenexperiment wechselwirken das vom Atom emittierte Teilchen mit dem Füllgas des Geigerzählers sowie die Katze mit ihrer Atemluft und mit Wärmestrahlung. Dabei gehen die stabilen Phasenbeziehungen verloren. Für ein System von der Größe einer Katze geschieht dies unter Normalbedingungen in unmessbar kurzer Zeit; Abschätzungen nennen beispielsweise 10⁻³⁰ s. Aus der kohärenten wird eine inkohärente Überlagerung, auch Zustandsgemisch genannt. Danach sind keine Interferenzen und keine beobachtbaren Folgen der ursprünglichen Kohärenz mehr vorhanden.
Die Katze ist dann nicht im physikalisch „verwaschenen“ Zustand gleichzeitig tot und lebendig. Vielmehr liegt ein Zustand vor, der sich wie eine Münze nach dem Münzwurf oder ein Würfel unter einem umgedrehten Würfelbecher behandeln lässt: Der konkrete Zustand ist für die Beobachtung unbestimmt, obwohl nur eine der Möglichkeiten vorliegt. Ein Zustandsgemisch wird nicht durch eine einzelne Wellenfunktion oder einen Zustandsvektor, sondern durch einen Dichteoperator beziehungsweise eine Dichtematrix beschrieben. Sind die Wahrscheinlichkeiten p₁ und p₂ = 1 − p₁, treten keine Phasenfaktoren und keine Interferenzterme mehr auf.
Der Übergang in das Zustandsgemisch ist irreversibel und mit einer Entropiezunahme verbunden. Ein reiner Zustand, auch eine kohärente Superposition, hat die Entropie S = 0; ein Gemisch aus mindestens zwei Zuständen hat eine Entropie größer als Null. In der klassischen statistischen Physik entsteht ein Gemisch meist durch unvollständige Kenntnis oder durch das zufällige Herausgreifen eines Systems aus vielen ähnlichen Systemen. In der Quantenmechanik kann ein Gemisch dagegen auch bei einem einzigen Objekt notwendig sein, obwohl Anfangszustand und Vorgeschichte theoretisch sehr genau bekannt sind. Für beobachtbare Messergebnisse macht dieser Unterschied praktisch keinen Unterschied, weil dafür jeweils viele Wiederholungsmessungen erforderlich sind.
Messprozess und Deutungen
In der klassischen Physik stellt eine Messung einen Wert fest, der am Messobjekt bereits eindeutig vorhanden ist. In der Quantenmechanik haben Messobjekte vor der Messung häufig noch keinen bestimmten Wert; durch die Messung wird einer der möglichen Werte ausgewählt. Schrödinger definierte eine Messung als „die planmäßig herbeigeführte Wechselwirkung zweier Systeme (Meßobjekt und Meßinstrument)“, bei der sich ein direkt wahrnehmbares Merkmal des Instruments bei sofortiger Wiederholung innerhalb gewisser Fehlergrenzen reproduziert.
Beim Katzenexperiment ist das Öffnen der Stahlkammer eine Messung. Nach der Dekohärenz ist der Ausgang jedoch bereits durch frühere makroskopische Reaktionen festgelegt, etwa durch die Ionisationsspur des Alphateilchens im Geigerzähler. Die Katze ist daher nicht bis zur menschlichen Wahrnehmung in einer kohärenten Superposition. Die Vorstellung, erst das Bewusstsein des Beobachters beende die Messung, wurde unter anderem von Eugene Wigner und John von Neumann vertreten; nach der Entwicklung der Dekohärenztheorie zog Wigner diese Auffassung zurück.
Schrödinger kritisierte die Kopenhagener Deutung, nach der die Wellenfunktion oder der Zustandsvektor die vollständigste Beschreibung liefert, die die Natur erlaubt. Er wollte die Wellenfunktion nicht als Abbild oder Modell der Realität verstehen, sondern als „Erwartungskatalog“ für mögliche Messergebnisse. Die quantenmechanische Unbestimmtheit nannte er „Heisenbergisch“ und unterschied sie von der klassischen, „Boltzmannischen“ Unbestimmtheit, die aus unvollständiger Kenntnis entsteht.
In der Kopenhagener Deutung kollabiert die Wellenfunktion im Moment der Messung in einen Eigenzustand. Beim Öffnen der Kammer wird daher entschieden, ob die Katze tot oder lebendig ist; vor der Messung sind nur Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich. Spätere Vertreter betonen, dass bereits das makroskopische Ansprechen der Höllenmaschine ein irreversibles Dokument des Zerfalls erzeugt und deshalb eine Messung darstellt. Wahrscheinlichkeiten können dabei auch als Bayessche Wahrscheinlichkeiten des Beobachters verstanden werden: Nicht etwas Physisches kollabiert, sondern der Informationsmangel verändert sich.
Die Viele-Welten-Interpretation ist eine alternative Interpretation derselben Quantenmechanik. Beide Möglichkeiten bleiben als gleichberechtigte Realitäten bestehen: In einem Universum ist die Katze tot, in einem anderen lebendig. Die Zweige haben keinen Kontakt, und die Erinnerungen der Beobachter entsprechen jeweils nur einem Zweig. Hugh Everett veröffentlichte diese Interpretation 1957.
Nach der Ensembletheorie beschreibt die Quantenmechanik grundsätzlich keine Einzelsysteme, sondern statistische Gesamtheiten. Bei vielen gleich präparierten Kästen wäre nach dem betreffenden Zeitintervall die Hälfte der Katzen tot und die andere Hälfte lebendig. Die Bohmsche Mechanik ergänzt die Wellenfunktion um eine genaue Ortsangabe mit eigener Bewegungsgleichung. Sie ist deterministisch und legt zu jeder Zeit fest, ob die Katze tot oder lebendig ist; weil die Anfangsorte unbekannt sind, können Beobachtern dennoch nur Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse angegeben werden. Diese Formulierung wurde 1952 von David Bohm veröffentlicht.
Das Gedankenexperiment wurde zunächst etwa 20 Jahre lang weder in der Fachphysik noch in der populärwissenschaftlichen Literatur beachtet. Eine frühe Erwähnung stammt nach Robert P. Crease aus einem Beitrag Paul Feyerabends von 1957. Ab den 1970er Jahren erschien es auch in Science-Fiction-Texten. 1980 bezeichnete Anthony J. Leggett Schrödingers Katze als eine der berühmtesten Paradoxien der Grundlagen der Quantenmechanik. Die fachliche Diskussion dauert bis in die jüngste Zeit an.
Katzenzustände in Experimenten und Quantencomputern
In Anlehnung an Schrödingers Gedankenexperiment heißt eine kohärente Überlagerung zweier Zustände Katzenzustand, wenn sich die Zustände in einer annähernd klassisch deutbaren Eigenschaft deutlich unterscheiden und als unvereinbar erscheinen. Beispiele sind entgegengesetzte Spinrichtungen oder weit voneinander entfernte Orte eines Atoms. Die Präparation und der kurzzeitige Erhalt solcher mesoskopischer Katzenzustände erfordern, Wechselwirkungen mit der Umgebung möglichst vollständig zu unterbinden.
Mit Elektronenstrahlen wurden Überlagerungen erzeugt, in denen sich ein Elektron gleichzeitig in zwei Teilstrahlen befindet. Mitte der 1990er Jahre gelang ein Katzenzustand mit einem einzelnen Be⁺-Ion: Die Zustände „tot“ und „lebendig“ wurden durch zwei 80 nm voneinander entfernte Positionen dargestellt; die Ortsunschärfe betrug nur 7 nm. Die beiden Positionen führten um denselben Mittelpunkt harmonische Schwingungen mit einer Phasenverschiebung von 180° aus. Etwa zehn Jahre später wurde mit sechs Be⁺-Ionen eine Überlagerung hergestellt, in der entweder alle sechs Ionen Spin-Up oder alle Spin-Down hatten. Auch die kohärente Überlagerung gegenläufiger Kreisströme, die von Millionen Cooper-Paaren in einem supraleitenden Ring getragen werden, wurde realisiert.
Ein besonderer Katzenzustand in einem Quantencomputer ist der Greenberger–Horne–Zeilinger-Zustand (GHZ-Zustand) eines Registers. Er ist die Überlagerung der beiden Zustände, in denen entweder alle Qubits |0⟩ oder alle |1⟩ haben. In Bra-Ket-Notation lautet er — mit einem Normierungsfaktor — |00…0⟩ + |11…1⟩.
Katzenzustand in der Quantenoptik
In der Quantenoptik ist ein durch den komplexen Parameter α bestimmter kohärenter Zustand eines harmonischen Oszillators definiert als
|α⟩ = e^(−|α|²/2) ∑ₙ₌₀^∞ αⁿ/√(n!) |n⟩.
Die zugehörige Wellenfunktion ψα(x) ist ein minimales gaußsches Wellenpaket. Seine Dichte |ψα(x)|² schwingt im Oszillatorpotential harmonisch hin und her, ohne ihre Form zu verändern. Der Parameter α bestimmt über A = √(2ℏ/(mω)) |α| die Schwingungsweite des Mittelpunkts. Der Zustand |−α⟩ beschreibt ein Wellenpaket, das genau entgegengesetzt schwingt.
Der optische Katzenzustand ist die kohärente Überlagerung
|catₑ⟩ = N(|α⟩ + |−α⟩),
wobei N ein Normierungsfaktor ist. Die Bezeichnung bezieht sich darauf, dass α und damit die Schwingungsweite prinzipiell beliebig große Werte annehmen können. Die beiden Anteile können dadurch räumlich makroskopisch unterscheidbar werden. In der Wignerfunktion erscheinen zwei Hügel für |α⟩ und |−α⟩ sowie eine zentrale Interferenzstruktur, die vom Interferenzterm herrührt. Bei quantenoptischen Anwendungen ist |n⟩ ein Fock-Zustand mit n Photonen. Die vergleichsweise einfache Struktur ermöglicht systematische theoretische und experimentelle Untersuchungen.
