Münzwurf – einfach erklärt

Grundidee und Bedeutung

Der Münzwurf ist ein Zufallsexperiment: Eine Münze wird in die Luft geworfen, um anhand der nach dem Auffangen oder der Landung oben liegenden Seite eine Entscheidung zu treffen. Die möglichen Seiten heißen „Kopf“ und „Zahl“.

Der Münzwurf wird häufig im Sport als Zufallsmechanismus eingesetzt, etwa beim Fußball, American Football und Tennis. Auch bei Wetten und Glücksspielen kommt er vor. Beim australischen Glücksspiel Two-up dient er als Zufallsmechanismus. Beim Fuchsen muss eine Münze dagegen an einen bestimmten Ort geworfen werden; hierbei handelt es sich um ein Geschicklichkeits- und kein Glücksspiel. Im Poker bezeichnet „Coinflip“ eine Situation, in der zwei Spieler mit etwa gleich starken Blättern um den Gewinn kämpfen.

Idealisiertes Wahrscheinlichkeitsmodell

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Münzwurf ein einfacher Prototyp eines Zufallsexperiments. Im idealisierten Fall gibt es genau zwei Ausgänge: Kopf oder Zahl. Beide haben dieselbe Wahrscheinlichkeit von 50 %. Deshalb ist der idealisierte Münzwurf sowohl ein Bernoulli-Experiment als auch ein Laplace-Experiment.

Das Modell wird formal so beschrieben:

Ω = {K, Z} ist die Ergebnismenge. K steht für Kopf, Z für Zahl.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch P({K}) = P({Z}) = 50 % festgelegt.
Die Zufallsvariable X: Ω → {0,1} ordnet den Ergebnissen Zahlen zu: X(K) = 0 und X(Z) = 1.

Damit ist X eine diskrete gleichverteilte Zufallsvariable, weil sie nur endlich viele Werte annimmt und die beiden Werte gleich wahrscheinlich sind.

Das Modell kann verändert werden, wenn die Münze nicht ideal, zum Beispiel gezinkt, ist. Dann gilt P({K}) = p und P({Z}) = 1 − p, wobei p zwischen 0 und 1 liegt und als „Kopfwahrscheinlichkeit“ bezeichnet wird. Außerdem kann die Zufallsvariable allgemeiner definiert werden: X(K) = a und X(Z) = b, wobei a und b zwei sinnvollerweise verschiedene reelle Zahlen sind.

Abweichungen in der Praxis

Beim Wurf echter Münzen durch echte Personen gibt es in der Praxis weder nur zwei mögliche Ausgänge noch exakt gleiche Wahrscheinlichkeiten.

Eine handelsübliche Münze kann als dritter Ausgang auf der Seite landen. Für einen amerikanischen Nickel wurde dafür eine Wahrscheinlichkeit von etwa 1 zu 6000 modelliert.

Außerdem können Verformungen oder eine ungleiche Gewichtsverteilung dazu führen, dass eine Münzseite allgemein wahrscheinlicher ist als die andere. Zusätzlich soll die Rotation während einer üblichen Flugbahn einen leichten „Same-side Bias“ verursachen: Die Seite, die vor dem Wurf oben lag, soll mit ungefähr 51 % Wahrscheinlichkeit erneut oben liegen. In einem Experiment mit über 350.000 Würfen wurde dieses Verhalten mit einer Wahrscheinlichkeit von 50,77 % reproduziert.

Typische Anwendungen im Sport

Beim Fußball wirft der Schiedsrichter eine Münze. Damit wird entschieden, welche Mannschaft ihre eigene Spielfeldhälfte aussuchen darf und welche den Anstoß ausführt. Vor der Einführung des Elfmeterschießens wurde ein Münzwurf manchmal auch zur Ermittlung des Siegers eines Ausscheidungsspiels verwendet, wenn nach Verlängerung oder nach der Verlängerung eines Wiederholungsspiels kein Sieger feststand.

Ein bekanntes Beispiel ist der „Münzwurf von Rotterdam“ am 24. März 1965. Im internationalen Fußball standen sich der 1. FC Köln und der FC Liverpool gegenüber. Alle 3 Spiele – Hinspiel, Rückspiel und Entscheidungsspiel plus Verlängerung – endeten unentschieden: 0:0, 0:0 und 2:2. Da ein Elfmeterschießen damals noch nicht vorgesehen war, warf der belgische Schiedsrichter Schout eine Münze. Beim ersten Wurf blieb sie senkrecht im Boden stecken; beim zweiten Wurf entschied sie zugunsten der Engländer.

Im American Football darf der Teamcaptain der auswärtigen Mannschaft beim coin toss das Ergebnis, „heads“ oder „tails“, vorhersagen. Die Mannschaft, die gewinnt, kann wählen, ob sie zuerst den Kickoff ausführt, den Gegner zuerst den Kickoff durchführen lässt, die zuerst zu verteidigende Hälfte auswählt oder ihr Wahlrecht für die zweite Spielhälfte aufhebt. Die andere Mannschaft wählt eine der verbleibenden Möglichkeiten.

Bei offiziellen Tennisturnieren werden durch den Münzwurf die Seitenwahl und das Recht auf das erste Aufschlagsspiel ausgelost.