Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

Kernaussage

Der Satz von der Mittelparallelen im Dreieck, auch Satz vom Mittendreieck genannt, ist ein Lehrsatz der Dreiecksgeometrie in der euklidischen Ebene. Er beschreibt die Verbindung der Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten.

Sind D und E die Mittelpunkte der Seiten [AC] beziehungsweise [BC] eines Dreiecks ABC, dann gilt:

DE ∥ AB und 2|DE| = |AB|.

Die Verbindungsstrecke [DE] ist also parallel zur dritten Dreiecksseite [AB] und genau halb so lang wie diese. Entsprechendes gilt auch für die Verbindungen der Mittelpunkte der beiden anderen Seitenpaare.

Elementargeometrischer Beweis

Die beiden Aussagen des Satzes lassen sich mithilfe der Strahlensätze beweisen. Aus der Umkehrung des ersten Strahlensatzes folgt, dass die Strecke zwischen den beiden Seitenmittelpunkten parallel zur dritten Dreiecksseite ist. Anschließend ergibt sich aus dem zweiten Strahlensatz, dass die Mittelparallele halb so lang wie die dritte Seite ist.

Beweis mit Vektoren

Für ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C sei D der Mittelpunkt von [AC] und E der Mittelpunkt von [BC]. Wegen der Mittelpunktseigenschaft gilt

→AD = →DC und →CE = →EB.

Der Vektor von A nach B kann entlang der Teilstrecken zerlegt werden:

→AB = →AD + →DC + →CE + →EB = 2→DC + 2→CE = 2→DE.

Damit ist →AB das Doppelte von →DE. Folglich haben [AB] und [DE] dieselbe Richtung, sind also parallel, und es gilt |DE| = 1/2 · |AB|. Für die beiden anderen Mittelparallelen des Dreiecks verläuft der Beweis entsprechend.