Satz von Mohr-Mascheroni

Kernaussage des Satzes

Der Satz von Mohr-Mascheroni ist ein Satz der synthetischen Geometrie. Er besagt: Jede Konstruktion, die mit Zirkel und Lineal möglich ist, kann auch allein mit einem Zirkel ausgeführt werden. Das Lineal wird dabei nicht benötigt, obwohl viele gesuchte Punkte gewöhnlich als Schnittpunkte von Geraden erscheinen.

Genauer gilt: Kann aus einer vorgegebenen Menge von Punkten ein Punkt P durch wiederholte Anwendung der fünf elementaren Konstruktionen erzeugt werden, dann lässt sich P aus derselben Ausgangslage auch konstruieren, wenn nur noch Kreis-Konstruktionen und Schnittpunkte von Kreisen benutzt werden.

Die fünf elementaren Konstruktionen sind:

• die Gerade durch zwei gegebene oder bereits konstruierte Punkte;
• ein Kreis mit Mittelpunkt im ersten von zwei Punkten, der durch den zweiten Punkt geht;
• der Schnittpunkt zweier nicht paralleler Geraden;
• die Schnittpunkte oder der Berührpunkt einer Geraden und eines Kreises, sofern sie existieren;
• die Schnittpunkte oder der Berührpunkt zweier Kreise.

Für die reine Zirkelkonstruktion bleiben davon nur die Konstruktion eines Kreises aus Mittelpunkt und Radiuspunkt sowie die Bestimmung von Schnittpunkten zweier Kreise übrig. Der Satz ist das Pendant des Satzes von Poncelet-Steiner.

Warum Schnittpunkte dennoch konstruierbar sind

Die meisten Beweise zeigen, wie man mit dem Zirkel allein den Schnittpunkt zweier Geraden oder die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis bestimmen kann. Die Geraden sind dabei jeweils durch zwei Punkte festgelegt.

Eine Beweisidee von August Adler (1863–1923) verwendet die Inversion am Kreis. Bei einer Inversion werden Geraden und Kreise, die nicht durch das Inversionszentrum gehen, auf Kreise abgebildet. Dadurch kann die Bestimmung eines Geradenschnittpunkts auf die Bestimmung des Schnitts zweier Kreise zurückgeführt werden. Dieser Schnitt ist mit dem Zirkel unmittelbar konstruierbar.

Der Satz wurde 1672 erstmals von Georg Mohr bewiesen. Da dieser Beweis in Vergessenheit geriet, bewies Lorenzo Mascheroni die Aussage 1797 erneut. Johannes Hjelmslev entdeckte Mohrs Beweis später wieder; danach wurde der Satz nach beiden Mathematikern benannt. Neben zahlreichen einfacheren elementargeometrischen Beweisen gibt es einen algebraischen Beweis von Jean-Claude Carrega.

Strecken, Mittelpunkte und Bögen

Mascheroni-Konstruktionen zeigen praktisch, wie Aufgaben ohne Lineal gelöst werden können.

Eine Strecke AB lässt sich beispielsweise in drei gleiche Teile teilen. Zuerst werden mit dem Radius r = |AB| um A, dann um B, E, F, G und H fünf weitere gleich große Kreisbögen geschlagen. So entsteht C mit |AC| = 3 · |AB|. Ein Kreisbogen um C mit Radius r₁ = |AC| liefert D und D'. Kreisbögen um D und D' mit Radius r = |AB| schneiden sich in X. Dann gilt |AX| = 1/3 · |AB|.

Auch die Mitte einer Strecke AB ist allein mit dem Zirkel bestimmbar. Man zeichnet zunächst Kreise um A und B mit Radius |AB|; ihre Schnittpunkte heißen E und E'. Ein Kreis um E durch E' schneidet den Kreis um B in C. Der Kreis um C durch A erzeugt D und D'. Schließlich liefern Kreise um D' und D, jeweils durch A, den Punkt X als Mitte von AB. Das Verfahren gilt ebenso für die Mitte des Abstandes zweier Punkte.

Zum Halbieren eines Kreisbogens wird ein Kreis mit Mittelpunkt O und beliebigem Radius r verwendet; auf ihm liegt der zu halbierende Bogen OBA. Kreise mit Radius r um A und B sowie ein Kreis um O mit Radius |AB| erzeugen C und D. Die Kreise um C und D mit Radius |CB| schneiden sich in E. Der Kreis um D mit Radius |OE| halbiert die Bögen OBA und OAB in F beziehungsweise G.

Geraden und Kreise nur mit dem Zirkel

Sind die durch A, B beziehungsweise C, D bestimmten Geraden gesucht, können ihre Schnittpunkte ohne das Zeichnen der Geraden konstruiert werden. Zunächst werden C und D an der nur gedachten Geraden durch A und B gespiegelt: Kreise um A mit Radius |AC| und um B mit Radius |BC| ergeben C₁; Kreise um A mit Radius |AD| und um B mit Radius |BD| ergeben D₁. Weitere Kreise erzeugen C" so, dass |CC"| = |DD₁| und |D₁C"| = |DC|. Daraus folgt die Proportion

|C₁X| : |C₁D₁| = |C₁C| : |C₁C"|.

Gesucht ist somit die vierte geometrische Proportionale x = |C₁X| zu a = |C₁C"|, b = |C₁C| und c = |C₁D₁|. Sie wird mit Kreisbögen konstruiert: Auf einem Kreis um C₁ mit Radius a wird ein beliebiger Punkt E gewählt und ein Punkt F mit |EF| = c bestimmt. Ein Kreis um F mit Radius b liefert G auf dem Kreis mit Radius b um C₁; ein Kreis um E mit Radius b liefert H. Dann hat |HG| die gesuchte Länge x. Kreise um C₁ und C mit Radius x ergeben X, den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Der Mittelpunkt eines gegebenen Kreises k₁ kann ebenfalls bestimmt werden. Man wählt einen Punkt O auf k₁ und zeichnet um O einen Kreis, dessen Radius |OA| größer als die Hälfte des Radius von k₁ und kleiner als dessen Durchmesser ist. Die Schnittpunkte auf k₁ heißen A und B. Kreise um B und A mit den Radien |BO| beziehungsweise |AO| erzeugen C. Ein Kreis um C durch O liefert S₁ und S₂. Kreise um S₂ und S₁, jeweils durch O, schneiden sich in X; X ist der Mittelpunkt von k₁.

Ein Kreis durch drei gegebene Punkte A, B und C wird mithilfe einer Inversion konstruiert. A ist Mittelpunkt des Inversionskreises mit Radius |AB|. Aus den Schnittpunkten F und G dieses Kreises mit einem Kreis um C mit Radius |CA| entsteht durch Kreise um F und G mit Radius |AB| der Bildpunkt D von C. Die gedachte Gerade durch B und D wird genutzt, um aus Kreisen um B und D den Bildpunkt E von A zu erhalten. E wird wiederum am Inversionskreis gespiegelt: Ein Kreis um E mit Radius |EA| liefert H und I; Kreise um H und I mit Radius |AB| ergeben X. X ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises durch A, B und C.

Regelmäßiges Fünfeck und Napoleons Problem

Beim regelmäßigen Fünfeck werden auf einem Kreis mit Mittelpunkt O und Radius |AO| von A aus vier gleiche Bögen abgetragen; dadurch entstehen B, C, D und E. Um D und A werden Kreise mit Radius |DB| gezeichnet, die G ergeben. Kreise um C und E mit Radius |OG| liefern K. Ein Kreis um A mit diesem Radius halbiert den betreffenden Kreisbogen in P₁. Die Strecke |P₁K| ist die Seitenlänge des regelmäßigen Fünfecks. Wird sie fünfmal auf dem Kreis abgetragen, entstehen die Eckpunkte P₁, P₂, P₃, P₄ und P₅.

Das Problem von Napoleon teilt eine Kreislinie k mit Mittelpunkt M und Radius r allein mit dem Zirkel in vier gleich lange Bögen. Nach Wahl eines Punktes A auf k wird der Radius r dreimal auf dem Kreis abgetragen; es entstehen B, C und D. Das rechtwinklige Dreieck ADC hat die Hypotenuse 2r und die kleinere Kathete r. Nach dem Satz von Pythagoras hat die größere Kathete AC den Wert r√3.

Mit der Länge AC werden Kreisbögen um A ab C und um D ab B geschlagen; sie erzeugen E. Im rechtwinkligen Dreieck AME ist die Hypotenuse r√3 und die kleinere Kathete r. Der Satz von Pythagoras ergibt für die größere Kathete den Wert r√2. Diese Strecke ME entspricht der Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge r. Ein Kreisbogen um D mit Radius r√2 schneidet k in F und G. Die Bögen MAG, MGD, MDF und MFA sind danach vier gleich lange Teile der Kreislinie.