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Ungelöste Probleme der Mathematik
Häufig wird auch nach möglichst effizienten Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme gesucht (wie die Frage der Bestimmung des diskreten Logarithmus …
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Bedeutung und Arten ungelöster Probleme
Die Mathematik besitzt unendlich viele mögliche offene Fragen. Besonders wichtig sind ungelöste Probleme, die in der Fachwelt als bedeutend anerkannt sind und deshalb intensiv untersucht werden. Eine Frage kann innerhalb eines vorausgesetzten formalen Systems auch prinzipiell unlösbar oder nicht entscheidbar sein. Offen ist außerdem häufig nicht nur, ob eine Lösung existiert, sondern auch, wie effizient sie mit einem Algorithmus gefunden werden kann. Beispiele dafür sind die Bestimmung diskreter Logarithmen bei großen Zahlen und das Travelling-Salesman-Problem. Die Informatik ordnet solche Fragen nach ihrer Schwierigkeit in der Komplexitätstheorie ein.
Bedeutende Problemsammlungen
Das Clay Institute stellte 2000 sieben aus seiner Sicht besonders wichtige ungelöste Probleme vor, die Millennium-Probleme. Für eine veröffentlichte Lösung wurde jeweils ein Preisgeld von 1 Million US-Dollar ausgelobt. Nach der Artikelangabe waren zwei dieser Probleme gelöst; ausdrücklich genannt wird, dass Grigori Perelman im Oktober 2002 durch seinen Beweis der allgemeineren Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten die Poincaré-Vermutung verifizieren konnte.
Als historisches Vorbild gilt David Hilberts Vortrag vom 8. August 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris mit 23 Problemen. Dreizehn gelten bisher umfassend als gelöst. In manchen Fällen besteht die Lösung darin, dass eine Lösung unmöglich oder die Fragestellung nicht entscheidbar ist. Zu drei Problemen liegen noch keine befriedigenden Resultate vor. Andere Fragen mussten wegen ihrer zu engen oder bewusst vagen Formulierung neu interpretiert werden. Besonders bekannt sind die weiterhin ungelöste Riemannsche Vermutung und die Goldbachsche Vermutung.
1998 stellte Stephen Smale auf Anregung Wladimir Arnolds 18 Probleme für das neue Jahrhundert zusammen. Daneben existieren weitere Sammlungen, etwa von Robion Kirby zur niedrigdimensionalen Geometrie und Topologie, von Shing-Tung Yau zur Differentialgeometrie, im Buch von Richard K. Guy zur elementaren Zahlentheorie, im Schottischen Buch der polnischen Mathematikerschule sowie in den Simon-Problemen zur mathematischen Physik. Paul Erdős formulierte zahlreiche Probleme und setzte häufig Geldpreise aus. John von Neumann behandelte 1954 ungelöste Fragen zu Operatoralgebren, Grundlagen der Quantenmechanik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Logik; als zentrales Problem sah er eine Theorie unbeschränkter Operatoren in Hilberträumen.
Offene Fragen in Algebra, Analysis und algebraischer Geometrie
In der Algebra betreffen offene Fragen unter anderem das Burnside-Problem: Für welche natürlichen Zahlen m und n ist die freie Burnside-Gruppe B(m,n) endlich? Dabei bezeichnet m den Rang, also die Anzahl der Generatoren, und n den Exponenten; es gibt ein kleinstes n mit g^n=1 für alle Gruppenelemente. Weitere Beispiele sind die Hadamard-Vermutung über Hadamard-Matrizen und das Umkehrproblem der Galoistheorie.
Die Analysis und dynamischen Systeme enthalten Fragen zur Mandelbrotmenge, zur Inversen Streutransformation bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, zu ganzen transzendenten Funktionen und deren Entkommensmengen sowie zum Quantenchaos. Die MLC-Vermutung fragt, ob die Mandelbrotmenge überall lokal zusammenhängend ist. Die Eremenko-Vermutung besagt, dass jede zusammenhängende Komponente der Entkommensmenge E einer ganzen transzendenten Funktion unbeschränkt ist; E besteht aus den z mit f^n(z)→∞. Weitere offene Themen sind das Pompeiu-Problem, das Langton-Ameisen-Problem zur „Autobahn“, die Bochner-Riesz-Vermutung, das Naimark-Problem und die Sendowsche Vermutung. Das Invariant-Subspace-Problem fragt, ob ein Operator T in einem unendlichdimensionalen Raum H einen nichttrivialen invarianten Unterraum W mit T(W)⊆W besitzt. Für Banachräume gibt es durch Per Enflo ein Gegenbeispiel, während dies in endlichdimensionalen Vektorräumen die Regel ist. Die HRT-Vermutung behauptet die lineare Unabhängigkeit bestimmter Funktionen f(x-a_j)e^{2πib_j}; sie ist nur für spezielle Punktkonfigurationen bewiesen.
In der algebraischen Geometrie gehören das Nagata-Problem, die Jacobi-Vermutung, die Standardvermutungen für algebraische Zyklen, die André-Oort-Vermutung und die Parschin- beziehungsweise Parschin-Beilinson-Vermutung zu den offenen Fragen. Die Jacobi-Vermutung fragt: Ist eine polynomiale Abbildung f:C^n→C^n mit überall von null verschiedener Jacobideterminante bijektiv? Der Artikel gibt an, sie sei im Juli 2026 für n≥3 widerlegt worden. Die Auflösung von Singularitäten ist in Charakteristik 0 gelöst; in endlicher Charakteristik p bleibt sie besonders in vier und mehr Dimensionen offen. Die höheren rationalen K-Gruppen glatter projektiver Varietäten über endlichen Körpern sind nur für dim X=0,1 in dem genannten Zusammenhang behandelt.
Geometrie, Topologie und Packungsprobleme
Zu den offenen Fragen gehören die Novikov- und die Baum-Connes-Vermutung, wobei aus der Baum-Connes-Vermutung die Novikov-Vermutung folgt. Die Carathéodory-Vermutung besagt, dass jede konvexe, geschlossene, genügend glatte Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum mindestens zwei Nabelpunkte besitzt. Eine Sphäre hat überall Nabelpunkte, ein verlängertes Rotationsellipsoid genau zwei; für analytische Flächen gab Hans Ludwig Hamburger 1940 einen Beweis.
Die Weinstein-Vermutung fragt, ob jedes Reeb-Vektorfeld in Kontaktmannigfaltigkeiten geschlossene Orbits besitzt. Die Toeplitz-Vermutung fragt, ob jede geschlossene Jordan-Kurve ein eingeschriebenes Quadrat besitzt. Dies ist für bestimmte Spezialfälle wie Polygone und konvexe Kurven bekannt, allgemein aber offen. Dichteste Kugelpackungen sind in höheren Dimensionen meist unbekannt; in den Dimensionen 8 und 24 wurde die vermutete Optimalität durch Maryna Viazovska bewiesen. Weitere Fragen betreffen Kusszahlen, die Wurstvermutung, die Erkennung des Unknotens anhand des Jones-Polynoms, einen Polynom-Zeit-Algorithmus zur Erkennung trivialer Knoten und die Kakeya-Vermutung. Diese fragt, ob eine Besikowitsch-Menge mit einer Einheitsstrecke in jeder Orientierung im R^n Hausdorff-Dimension n besitzt; offen ist sie für n≥3.
Von William Thurston formulierte 1982 eine Liste mit 24 Problemen über 3-Mannigfaltigkeiten. Bis auf die Frage, ob es zwei hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten mit Volumen in keinem rationalen Verhältnis gibt, seien sie gelöst. Weitere offene Fragen sind die Hopf- und Hilbert-Smith-Vermutung, die Existenz komplexer Strukturen auf der 6-Sphäre, die Falconer-Vermutung und das Erdős-Ulam-Problem über eine dichte ebene Punktmenge mit ausschließlich rationalen gegenseitigen Abständen.
Kombinatorik und Graphentheorie
In der Kombinatorik und Graphentheorie wird unter anderem gefragt, wie viele Farben für eine Einfärbung der Ebene nötig sind, wenn Punkte mit Abstand 1 verschieden gefärbt werden müssen (Hadwiger-Nelson-Problem). Weitere Themen sind Hadwigers Vermutung, die Bestimmung von Ramsey-Zahlen wie R(5,5), magische Quadrate und das Einheitsdistanzproblem für die Anzahl u(n) bestimmter Punkte in der Ebene.
Die Erdős-Szekeres-Vermutung behauptet für die dort definierte Zahl N(n), dass N(n)=2^{n-2}+1 für alle n≥3 gilt. Andere offene Fragen betreffen ganzzahlige Kantenlängen planarer Graphen, Zyklen mit einer Länge als Potenz von zwei in Graphen vom Grad mindestens drei, die Existenz endlicher projektiver oder affiner Ebenen der Ordnung n, die Graphrekonstruktionsvermutung und die Erdős-Faber-Lovász-Vermutung.
Weitere Beispiele sind die Vermutung über vereinigungsabgeschlossene Mengenfamilien von Péter Frankl: In einem endlichen Mengensystem, das unter Vereinigungen abgeschlossen ist, soll mindestens ein Element in mindestens der Hälfte der Mengen vorkommen. Hinzu kommen die Graziöse-Baum-Vermutung, Fragen zu van-der-Waerden-Zahlen N(r,l), die Totalfärbungsvermutung und das Oberwolfach-Problem über Zerlegungen vollständiger Graphen in kantendisjunkte Kopien eines 2-regulären Graphen.
Zahlentheorie und bekannte Lösungen
Zu den bekanntesten offenen Fragen der Zahlentheorie gehören das Collatz- beziehungsweise 3n+1-Problem, die abc-Vermutung, die Goldbachsche Vermutung und die Frage nach unendlich vielen Primzahlzwillingen, Primzahlvierlingen oder Primzahlsechslingen. Die Legendresche Vermutung fragt, ob zwischen n^2 und (n+1)^2 stets mindestens eine Primzahl liegt. Diese Frage, die Primzahlzwillinge und Primzahlen der Form p=n^2+1 gehören zu den Landau-Problemen.
Weitere Probleme betreffen ungerade oder unendlich viele vollkommene Zahlen, quasiperfekte Zahlen, die Beal-Vermutung, Darstellungen als Summen dreier Kuben, Taxicab-Zahlen, Gilbreaths, Giugas, Singmasters, Bunjakowskis und Pillais Vermutung, Sophie-Germain-Primzahlen sowie weitere Fermat-Zahlen. Offen sind auch zahlreiche Fragen zu Artin-, Dirichlet-, Chowla-, Lindelöf-, Schanuel-, Fermat-Catalan-, Kummer-Vandiver-, Elliott-Halberstam- und Beilinson-Vermutungen. Bei der zweiten Artin-Vermutung wurde ein Ergebnis von Christopher Hooley unter Voraussetzung der verallgemeinerten Riemannvermutung genannt.
Zu den weiteren Beispielen zählen die Irrationalität oder Transzendenz der Euler-Mascheroni-Konstante, die Existenz unendlich vieler regulärer Primzahlen, Andricas Vermutung (bis n=1,3002·10^16 bestätigt), das Problem von Brocard und Ramanujan, die kleinste Sierpiński- und Riesel-Zahl, die Normalität von π, e, √2 und ln 2, die Erdős-Straus-Vermutung, die Vermutung von Erdős über arithmetische Folgen, die Lonely Runner Conjecture, die Littlewood-Vermutung, das Dirichletsche Teilerproblem, die Montgomerysche Paarkorrelationsvermutung, Leopoldts Problem, die Existenz eines perfekten Euler-Ziegels, Carmichaels Totientenfunktions-Vermutung und das Gaußsche Kreisproblem.
Zu den im Artikel aufgeführten gelösten berühmten Problemen gehören die letzte Weil-Vermutung (1974), das Vier-Farben-Problem (1977), die Vermutung von Mordell (1983), die Bieberbachsche Vermutung (1985), die Fermatsche Vermutung (1995), die Keplersche Vermutung (1998), die Catalansche Vermutung (2002) und die Poincaré-Vermutung (2002). Die klassischen geometrischen Probleme wurden schließlich als unmöglich lösbar erkannt: 1882 wurde die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises bewiesen. Weitere lange offene Fragen waren der Beweis des Parallelenaxioms aus den übrigen euklidischen Axiomen und die Auflösbarkeit von Gleichungen höheren als vierten Grades durch Radikale. Sie führten zur nichteuklidischen Geometrie beziehungsweise zur Galois-Theorie und zur Erkenntnis, dass die allgemeine Auflösung unmöglich ist.