Reduzierte Masse

Grundidee und Definition

Die reduzierte Masse m_red ist eine fiktive Masse, mit der sich unter bestimmten Voraussetzungen die Eigenschaften zweier Einzelmassen eines Systems zusammenfassen lassen. Verallgemeinert für ein System mit N Einzelmassen ist sie das 1/N-fache des harmonischen Mittels dieser Massen.

Bei zwei Körpern mit den Massen m_1 und m_2, die sich ohne Einfluss einer Gesamtkraft bewegen, kann man die Bewegung in zwei Teile zerlegen: die freie Bewegung des Schwerpunktes und ein Ein-Körper-Problem der Relativbewegung. Für dieses Ein-Körper-Problem verhält sich die Relativbewegung so, als ob ein Teilchen mit der reduzierten Masse m_red bewegt würde.

Die reduzierte Masse ist definiert durch 1/m_red = 1/m_1 + 1/m_2. Daraus folgt m_red := (m_1 m_2)/(m_1 + m_2). In vielen Lehrbüchern wird sie mit dem griechischen Buchstaben μ abgekürzt.

Bedeutung bei Zwei-Körper-Bewegungen

Für zwei Körper mit m_1 ≥ m_2 liegt die reduzierte Masse zwischen m_2/2 und m_2: m_2/2 ≤ m_red < m_2. Wenn beide Massen ungefähr gleich groß sind, gilt m_red ≈ m_2/2. Wenn der schwerere Körper viel massereicher ist als der leichtere, also m_1 >> m_2 beziehungsweise m_2/m_1 << 1, gilt m_red ≈ m_2.

In wichtigen Fällen wie der Planetenbewegung oder der Bewegung eines Elektrons im Coulombfeld des Atomkerns unterscheiden sich die Massen stark. Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens: m_red = m_2/(1 + m_2/m_1) ≈ m_2(1 - m_2/m_1) ≈ m_2.

Ein typisches Beispiel ist die Relativbewegung von Mond und Erde. Sie kann auf ein Ein-Körper-Problem reduziert werden: Der Mond bewegt sich wie ein Körper mit reduzierter Masse m_red im Gravitationsfeld der Erde.

Herleitung über Schwerpunkt und Relativbewegung

Bei verschwindender Gesamtkraft lauten die Bewegungsgleichungen für die Orte r_1 und r_2 der beiden Körper: m_1 d²r_1/dt² = F und m_2 d²r_2/dt² = -F. Die Kräfte sind entgegengesetzt gerichtet.

Addiert man diese Gleichungen, erhält man den Schwerpunkt R := (m_1 r_1 + m_2 r_2)/M mit der Massensumme M := m_1 + m_2. Für ihn gilt R¨ = 0. Der Schwerpunkt bewegt sich also wie ein freies Teilchen geradlinig gleichförmig: R(t) = R(0) + t v(0).

Für die Relativbewegung subtrahiert man die durch die jeweilige Masse dividierten Bewegungsgleichungen. Dann ergibt sich d²/dt²(r_1 - r_2) = (1/m_1 + 1/m_2)F = (1/m_red)F. Mit dem relativen Ortsvektor r := r_1 - r_2 folgt m_red d²r/dt² = F. Der relative Ortsvektor bewegt sich also wie ein Teilchen der reduzierten Masse m_red unter dem Einfluss der Kraft F.

Drehimpuls im Schwerpunktsystem

Für ein System aus zwei Teilchen kann die reduzierte Masse auch beim Drehimpuls verwendet werden. Im Schwerpunktsystem gilt für den gesamten Drehimpuls L_S:

L_S = Σ_{i=1}^{2} L_{iS} = (r_{1S} × p_{1S}) + (r_{2S} × p_{2S}) = (r_{1S} - r_{2S}) × p_{1S} = r_{12} × m_red v_{12}.

Dabei sind r_{iS} und p_{iS} der Ortsvektor beziehungsweise Impuls des Teilchens i bezogen auf den Schwerpunkt. r_{12} und v_{12} sind der relative Abstand beziehungsweise die relative Geschwindigkeit der beiden Teilchen.

Damit ist der Drehimpuls eines Gesamtsystems von zwei Teilchen bezogen auf den Schwerpunkt genauso groß wie der Drehimpuls eines einzelnen Teilchens mit dem Impuls m_red v_{12} und dem Ortsvektor r_{12}.

Reduzierte Masse in der technischen Mechanik

In der technischen Mechanik kann eine Punktmasse m, die im Abstand r_m um eine Achse rotiert, auf einen anderen Abstand r umgerechnet werden. Die reduzierte Masse im neuen Abstand r hat dabei dasselbe Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse wie die ursprüngliche Masse.

Mit der Übersetzung i = r_m/r berechnet sich die reduzierte Masse zu m_red = i² m. Eine Anwendung liegt zum Beispiel in der Schwingungslehre.