Schwerpunktsystem

Definition und Bedeutung

Das Schwerpunktsystem (englisch: Center-of-mass system, CMS) ist ein Bezugssystem, in dem der Schwerpunkt eines betrachteten physikalischen Systems im Koordinatenursprung ruht. Dadurch lassen sich viele dynamische Vorgänge, besonders Stöße und Reaktionen, einfacher beschreiben.

Kennzeichnend ist: Der Gesamtimpuls aller beteiligten Massen ist zu jeder Zeit null – sowohl vor als auch nach einem Stoß- oder Reaktionsvorgang:

∑ᵢ p⃗ᵢ = 0⃗

Der Impuls p⃗ beschreibt dabei Masse und Geschwindigkeit eines Körpers als Vektor.

Schwerpunkt und Wechsel des Bezugssystems

Der Ortsvektor r⃗ₛ des Schwerpunkts S im Laborsystem lautet:

r⃗ₛ = (∑ᵢ mᵢr⃗ᵢ)/(∑ᵢ mᵢ)

Dabei ist mᵢ die Masse und r⃗ᵢ der Ortsvektor des jeweiligen Körpers. Die Schwerpunktgeschwindigkeit ergibt sich aus Gesamtimpuls geteilt durch Gesamtmasse:

v⃗ₛ = (∑ p⃗)/(∑ m)

Im klassischen Fall wechselt man mit einer Galilei-Transformation zwischen Laborsystem und Schwerpunktsystem. Im relativistischen Fall verwendet man eine Lorentztransformation. In der Astronomie heißt das Schwerpunktsystem eines Mehrkörper-Problems baryzentrisches System.

Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem

Bei einem klassischen elastischen Stoß werden im Laborsystem normalerweise Energie- und Impulserhaltung gemeinsam verwendet:

∑Ekin = ∑E'kin

m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = m₁v₁'²/2 + m₂v₂'²/2

m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂ = m₁v⃗₁' + m₂v⃗₂'

Im Schwerpunktsystem zieht man zuerst die Schwerpunktgeschwindigkeit von den Geschwindigkeiten ab. Dann vereinfacht sich der Stoß: Bei jedem Körper ändert eine Geschwindigkeitskomponente relativ zum Schwerpunkt nur ihr Vorzeichen. Danach wird durch Addition der Schwerpunktgeschwindigkeit in das Laborsystem zurücktransformiert.

Zahlenbeispiel

Körper 1 hat die Masse m = 0,1 kg und die Geschwindigkeit v = 100 m/s. Er stößt auf einen ruhenden Körper 2 mit der Masse 1,9 kg. Die kinetische Anfangsenergie beträgt 500 kg m²/s², der Gesamtimpuls 10 kg m/s.

Die Schwerpunktgeschwindigkeit ist:

vₛ = (0,1 kg · 100 m/s + 1,9 kg · 0 m/s)/(0,1 kg + 1,9 kg) = 5 m/s

Nach dem Abzug von 5 m/s besitzen die Körper im Schwerpunktsystem die Relativgeschwindigkeiten 95 m/s und −5 m/s. Beim Stoß werden deren Vorzeichen getauscht: Körper 1 hat danach −95 m/s, Körper 2 +5 m/s.

Durch Addition der Schwerpunktgeschwindigkeit von +5 m/s erhält man im Laborsystem die Endgeschwindigkeiten v = −90 m/s für Körper 1 und v = +10 m/s für Körper 2.