Quotientenkriterium

Grundidee und Aussage

Das Quotientenkriterium ist ein Konvergenzkriterium für Reihen. Es vergleicht den Betrag zweier aufeinanderfolgender Summanden und schätzt die Reihe mit einer geometrischen Reihe ab. Eine Reihe ist absolut konvergent, wenn die Reihe der Beträge ihrer Summanden konvergiert.

Gegeben sei eine Reihe S:=\sum_{n=0}^{\infty}a_n mit reellen oder komplexen Summanden und a_n\neq 0 für fast alle n\in\mathbb N. Gibt es ein q<1, sodass für fast alle n\in\mathbb N gilt \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q<1, so ist die Reihe absolut konvergent.

Gilt dagegen für fast alle n\in\mathbb N \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq 1, so ist die Reihe divergent. Der Betrag der Summanden wird dann nicht kleiner, sodass die Summanden keine Nullfolge bilden. Eine Nullfolge ist jedoch eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

Die bloße Bedingung \left|a_{n+1}/a_n\right|<1 reicht nicht aus, wenn der Quotient beliebig nahe an 1 herankommen kann. In diesem Fall liefert das Quotientenkriterium keine Aussage.

Typische Anwendungen und Beispiele

Zur Prüfung einer Reihe berechnet man den Quotienten \left|a_{n+1}/a_n\right| und untersucht, ob er ab einem bestimmten Index durch eine feste Zahl q<1 beschränkt ist oder stets mindestens 1 beträgt.

Für \sum_{n=0}^{\infty}\frac{5+n}{10^n} ergibt sich \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{10}\cdot\frac{6+n}{5+n}\leq\frac{3}{25}<1. Daher ist die Reihe absolut konvergent.

Für \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^n} ergibt sich \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{n+1}{2}\geq1. Die Reihe ist somit divergent.

Bei der Potenzreihe \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}z^n,\qquad z\in\mathbb C, strebt der Quotient für z\neq0 gegen |z|/e. Daraus folgt der Konvergenzradius e, der eulerschen Zahl. Für z=0 konvergiert die Reihe offensichtlich gegen 0.

Ein Beispiel, bei dem das Kriterium keine Entscheidung ermöglicht, ist die allgemeine harmonische Reihe \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}. Hier gilt \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha\longrightarrow1. Für \alpha=1 ist die Reihe divergent, für \alpha>1 konvergent; das Quotientenkriterium kann diese Fälle nicht unterscheiden. Außerdem lässt sich damit beispielsweise die Konvergenz der Taylorreihen der Exponential-, Sinus- und Kosinusfunktion zeigen.

Grenzwerte und Spezialformulierungen

Existiert der Grenzwert L:=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, so gilt:

• Für L<1 ist die Reihe absolut konvergent.
• Für L>1 ist die Reihe divergent.
• Für L=1 liefert das Kriterium keine Konvergenzaussage.

Mit Limes superior und Limes inferior lässt sich das Kriterium auch ohne vorhandenen Grenzwert formulieren. Ist \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1, ist die Reihe absolut konvergent. Ist \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1, ist sie divergent. Gilt dagegen \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq1\leq\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, so ist keine Konvergenzaussage möglich. Im Gegensatz zum Wurzelkriterium wird für das Divergenzkriterium der Limes inferior verwendet.

Beweisidee und abgewandeltes Kriterium

Für den Konvergenzfall folgt aus der Bedingung \left|a_{n+1}/a_n\right|\leq q<1, dass die Summanden höchstens so schnell wachsen wie die Glieder einer geometrischen Reihe. Da \sum_{n=0}^{\infty}q^n für q<1 konvergiert, folgt die absolute Konvergenz mit dem Majorantenkriterium.

Für den Divergenzfall gilt wegen 0<|a_n|\leq|a_{n+1}|, dass die Beträge der Summanden nicht gegen 0 gehen können. Die Summanden bilden daher keine Nullfolge.

Eine abgewandelte Version gilt für eine Folge mit echt positiven Gliedern. Gibt es d>1 und n_0\in\mathbb N, sodass für alle n\geq n_0 \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq1-\frac dn, so konvergiert \sum_{n=1}^{\infty}a_n. Gilt andererseits für ein n_0 und alle n\geq n_0 \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq1-\frac1n, so divergiert die Reihe gegen \infty.