Punktoperator (Bildverarbeitung)

Grundidee und Einordnung

Punktoperatoren sind Bildverarbeitungsoperationen, bei denen der neue Farb- oder Grauwert eines Pixels nur aus seinem bisherigen Farb- oder Grauwert und gegebenenfalls seiner Position im Bild berechnet wird. Nachbarpixel und der übrige Bildkontext werden nicht berücksichtigt. Sie werden unter anderem für Tonwert- und Helligkeitskorrektur, Kontrastverstärkung und Visualisierung eingesetzt.

Meist stehen Punktoperatoren am Anfang der Vorverarbeitung: Sie können Kontrast verstärken oder Belichtungsfehler ausgleichen. Globale Schwellwertverfahren dienen oft der Segmentierung, also der Trennung von Bildbereichen oder Objekten. Zur Darstellung von Segmentierungs- oder Klassifizierungsergebnissen für Menschen werden Pseudokolorierung oder Falschfarbendarstellung verwendet.

Im Unterschied dazu nutzen lokale Operatoren eine begrenzte Nachbarschaft um ein Pixel, etwa Rangordnungs- oder morphologische Operatoren. Globale Operatoren beziehen das gesamte Bild ein, beispielsweise die Fourier-Transformation. Die meisten Punktoperatoren sind Low-Level-Operatoren: Ein Bild wird in ein Bild überführt. Mid-Level-Operatoren segmentieren Bilder und gewinnen Merkmale aus Segmenten; High-Level-Operatoren analysieren erkannte Objekte, um das Bild zu verstehen.

Definition, Grauwerte und praktische Umsetzung

Ein Punktoperator T ordnet dem Eingabebild f ein Ergebnisbild f* zu. Allgemein gilt für ein Pixel an der Position (x,y):

f*(x,y) = Txy(f(x,y)).

Hängt die Transformation von der Position ab, heißt sie inhomogen. Bei homogenen Transformationen ist die Position unwichtig:

f*(x,y) = T(f(x,y)).

Ein Punktoperator kann als Nachbarschaftsoperator der Größe 1×1 aufgefasst werden. Seine Umkehrbarkeit ist unterschiedlich: Die Negativtransformation ist auch bei diskreten Grauwerten uneingeschränkt umkehrbar. Histogrammspreizung ist bei einer kontinuierlichen Grauwertskala umkehrbar, bei diskreten Werten aber wegen Rundungen streng mathematisch nicht mehr exakt. Histogrammbegrenzung ist nicht umkehrbar, weil sie Information endgültig verwirft.

In der Praxis haben Grauwertbilder meist den diskreten Bereich {0,…,G}: 0 bedeutet Schwarz, G Weiß. Bei n Bit Farbtiefe gilt G = 2^n − 1. Für 8, 12 und 16 Bit ist G jeweils 255, 4095 und 65535. Kontinuierliche Bilder verwenden theoretisch unendlich viele, meist als Gleitkommazahlen im Bereich [0,1] dargestellte Grauwerte.

Für homogene Operatoren kann eine Lookup-Tabelle alle möglichen Eingabegrauwerte einmal transformieren. Bei einem Bild mit 640 × 480 = 307.200 Pixeln und 12 Bit genügen dafür 4096 Transformationen plus 307.200 Tabellenzugriffe. Dies lohnt sich vor allem bei rechenintensiveren Verfahren wie der Histogrammspreizung, nicht unbedingt bei der Negativtransformation mit einfacher Subtraktion. Allgemein lautet die homogene Abbildung g* = T(g), im Diskreten T: {0,…,G} → {0,…,G}, im Kontinuierlichen T: [0,1] → [0,1]. Ihre meist monotone Kennlinie heißt in der digitalen Bildbearbeitung Gradationskurve.

Histogramme zeigen die Häufigkeit der Grauwerte. Sie liefern Hinweise auf vorkommende Werte, Kontrastumfang, Helligkeit und die Eignung einer Schwellwertsegmentierung. Bei Farbbildern sollte für Helligkeitsänderungen nicht jeder RGB-Kanal einzeln transformiert werden. Stattdessen kann das Bild in YCbCr umgerechnet, der Helligkeitskanal Y wie ein Grauwertbild bearbeitet und danach zurück in RGB überführt werden.

Feste Grauwerttransformationen

Homogene Standardtransformationen haben entweder eine unabhängig vom Bild stets gleiche Kennlinie oder sie berechnen ihre Kennlinie aus dem Histogramm des Eingabebilds. Zur ersten Gruppe gehören Negativ-, Potenz-, Logarithmus- und Exponentialtransformation.

Bei der Negativtransformation werden Grauwerte invertiert: Tneg(g) = G − g. Sie kann feine Strukturen besser sichtbar machen, weil das menschliche Sehsystem Unterschiede in verschiedenen Helligkeitsbereichen unterschiedlich wahrnimmt. Sie ist exakt selbstumkehrend: Tneg(Tneg(g)) = G − (G − g) = g.

Die Potenztransformation oder Gammakorrektur lautet Tpower(g) = [G · (g/G)^γ]. Sie ist monoton. Für γ < 1 werden niedrige Grauwerte gespreizt und das Bild wird heller; je kleiner γ, desto stärker. Für γ > 1 werden niedrige Werte gestaucht, höhere Bereiche gespreizt und das Bild wird dunkler. Bei γ = 1 bleibt das Bild unverändert. Im Kontinuierlichen lautet die Umkehrung Tpower⁻¹(g) = [G · (g/G)^(1/γ)]; im Diskreten ist sie wegen Rundungen nur näherungsweise möglich. Die Methode kann Kennlinien von Geräten wie Digitalkamera und Monitor aneinander anpassen.

Die Logarithmustransformation hellt ein Bild auf: Niedrige Grauwerte werden ausgedehnt, hohe komprimiert. Wegen log(0) = −∞ wird 1 addiert: Tlog(g) = [G · log₂(g+1)/log₂(G+1)] = [G · log_(G+1)(g+1)]. Sie ist im Kontinuierlichen durch die Exponentialtransformation umkehrbar. Typisch ist ihre Nutzung zur Visualisierung eines Powerspektrums nach Fouriertransformation: Sehr hohe spektrale Dichten über viele Zehnerpotenzen werden abgeschwächt, sodass auch übrige Strukturen sichtbar werden.

Die Exponentialtransformation ist die Umkehrung der Logarithmustransformation: Texp(g) = [(G+1)^(g/G) − 1]. Sie komprimiert niedrige und spreizt hohe Grauwerte; das Bild wird dunkler. Im Diskreten ist die Umkehrung wegen Rundungen nur näherungsweise.

Histogrammbasierte Kontrast- und Helligkeitsverfahren

Histogrammverschiebung verändert die Helligkeit, indem alle Grauwerte um eine Konstante c verschoben werden. Es gilt: Ttrans(g) = 0 für g+c < 0, Ttrans(g) = g+c für 0 ≤ g+c ≤ G und Ttrans(g) = G für g+c > G. Sie ist normalerweise nicht umkehrbar, weil Werte aus dem Bereich hinausgeschoben werden; ausgenommen ist der Fall, dass dieser Bereich im Bild gar nicht genutzt wurde.

Die Histogrammspreizung oder Tonwertspreizung verstärkt bei kontrastarmen Bildern den Kontrast. Der tatsächlich genutzte Bereich {gmin,…,gmax} wird auf {0,…,G} abgebildet:

Tstretch(g) = [G · (g − gmin)/(gmax − gmin)].

Die umgekehrte Histogrammstauchung verringert den Kontrast. Im kontinuierlichen Fall ist sie umkehrbar, im diskreten Fall führen mehrere benachbarte Eingabewerte auf denselben Wert; dadurch gehen Informationen verloren.

Bei der Histogrammbegrenzung wird nur ein gewünschter Bereich erhalten: Werte unter gmin werden auf 0, Werte über gmax auf G gesetzt; Werte von gmin bis gmax werden üblicherweise mit Tstretch kontrastverstärkt. Da viele Werte zu Schwarz oder Weiß werden, ist das Verfahren nicht umkehrbar.

Die Histogrammäqualisation verbessert Kontrast, indem aus der Grauwertverteilung eine Gleichverteilung berechnet wird, damit der verfügbare Wertebereich genutzt wird. Sie eignet sich besonders, wenn interessante Bereiche einen großen Bildanteil haben, aber auf wenige Grauwerte begrenzt sind. Häufige Grauwerte werden auseinandergezogen, seltene zusammengeschoben. Grundlage ist das kumulative Histogramm Hk(g) = Σ von n=0 bis g H(n), wobei H relative Häufigkeiten bezeichnet. Die Kennlinie lautet Tequal(g) = [G · Hk(g)]. Im diskreten Bild entsteht jedoch keine perfekte Gleichverteilung: Häufige Werte können Lücken zwischen resultierenden Grauwerten verursachen. Auch dieses Verfahren ist verlustbehaftet und nicht umkehrbar.

Die Histogrammhyperbolisation passt die Verteilung stärker an das logarithmische Helligkeitsempfinden an: Thyper(g) = [G · Hk(g)^(1/(α+1))]. Dunkle Werte werden wahrscheinlicher, das Bild wirkt insgesamt dunkler. α liegt im Intervall ]−1,0], üblich sind α = −2/3 bis α = −1/3; bei α = 0 entspricht sie der Äqualisation. Ohne Grauwert 0 kann für α → −1 eine logarithmische Grauwertverteilung erreicht werden. Sie ist ebenfalls nicht umkehrbar.

Segmentierung und Einfärbung

Globale Schwellwertverfahren teilen jedes Pixel anhand seines Grauwerts einer von zwei Klassen zu, etwa Vordergrund und Hintergrund. Mit Schwellwert t gilt Tthresh(g) = 0 für g < t und Tthresh(g) = 1 für g ≥ t. Das Ergebnis ist binär. Soll die Farbtiefe erhalten bleiben, wird statt 1 der Wert G verwendet.

Optimal ist die Trennung bei einem bimodalen Histogramm mit zwei lokalen Maxima. Für die Wahl eines optimalen Schwellwerts gibt es verschiedene Verfahren; als bekanntes nicht-triviales Verfahren wird das Otsu-Verfahren genannt. Lokale Schwellwertverfahren sind keine Punktoperatoren, weil sie Schwellwerte aus einer Bildregion oder Nachbarschaft ableiten.

Pseudokolorierung färbt Intensitätsbilder, beispielsweise Wärmebilder, ein, damit geringe Helligkeitsunterschiede deutlicher sichtbar werden. Jedem Intensitätswert g wird ein Farbvektor zugeordnet: g* = (r*,g*,b*)ᵀ = T(g). Im RGB-Farbraum stehen die Komponenten für Rot, Grün und Blau. Da gleich intensive Farben unterschiedlich hell wahrgenommen werden, muss die Farbskala geordnet sein: subjektiv dunkle Farben wie Blau oder Violett liegen unten, helle Farben oben. Häufig wird dafür eine Lookup-Tabelle verwendet, die Color-Map heißt.

Bei der Falschfarbendarstellung wird ein Farbbild auf eine andere Farbskala abgebildet: (r*,g*,b*)ᵀ = T((r,g,b)ᵀ).

Positionsabhängige Korrekturen

Inhomogene Punktoperatoren werden seltener eingesetzt. Bei der Korrektur inhomogener Beleuchtung sollen Störungen durch ungleichmäßige Beleuchtung, Staub auf Linse oder Schutzglas und unterschiedlich empfindliche Fotorezeptoren ausgeglichen werden. Solche Störungen erschweren besonders die Segmentierung; der Hintergrund kann stellenweise sogar dunkler als die Objekte sein.

Ist ein Referenzbild fr derselben Szene ohne Objekte vorhanden, wird das Versuchsbild f punktweise durch dieses geteilt und auf {0,…,G} normiert:

f*(x,y) = [G · f(x,y)/fr(x,y)].

Im Idealfall entsteht ein Bild mit weißem, gleichmäßig hellem Hintergrund. Gibt es kein Referenzbild, kann bei kleinen, zufällig verteilten Objekten ein Mittelwertbild aus mehreren oder allen Bildern der Reihe als Referenz dienen.

Eine Fensterfunktion wird vor einer Fouriertransformation genutzt, wenn gegenüberliegende Bildränder unterschiedliche Helligkeiten oder Strukturen besitzen. Die angenommene periodische Wiederholung erzeugt sonst Unstetigkeiten und hohe spektrale Dichten entlang der Achsen. Das Bild wird mit einer von der Mitte zum Rand auf 0 abfallenden Funktion w im Bereich [0,1] multipliziert: f*(x,y) = w(x,y) · f(x,y). Für ein Kosinusfenster gilt bei X und Y Pixeln in x- und y-Richtung:

f*(x,y) = sin(π · x/X) · sin(π · y/Y) · f(x,y) mit 0 ≤ x < X, 0 ≤ y < Y.

Die Fensterung vermindert Randstörungen im Spektrum, verändert aber auch das gesamte Spektrum geringfügig.