Projektionssatz (Dreieck)

Grundidee des Projektionssatzes

Der Projektionssatz für Dreiecke beschreibt in jedem ebenen Dreieck eine Beziehung zwischen den Seiten und den orthogonalen Projektionen der jeweils benachbarten Seiten auf diese Seiten. Eine orthogonale Projektion entsteht, indem man von einem Punkt ein Lot auf die betreffende Seite fällt.

Das Rechteck aus einer Seite und der Projektion der Nachbarseite auf diese Seite hat denselben Flächeninhalt wie das entsprechende Rechteck bei vertauschten Seiten. Der Satz gilt für beliebige Dreiecke und verallgemeinert damit den Kathetensatz des Euklid, der nur rechtwinklige Dreiecke betrifft.

Gleichungen für ein Dreieck

Für ein Dreieck \triangle ABC mit den Seiten a, b und c bezeichnet p_{xy} die Projektion der Seite x auf die Seite y. Dann gelten:

• c\cdot p_{bc}=b\cdot p_{cb}
• a\cdot p_{ba}=b\cdot p_{ab}
• c\cdot p_{ac}=a\cdot p_{ca}

Zum Beispiel bedeuten c=AB, b=AC, p_{bc}=AE und p_{cb}=AD, dass c\cdot p_{bc}=b\cdot p_{cb}.

Begründung durch ähnliche Dreiecke

Die Höhe h_b trifft die Seite b in D, die Höhe h_c die Seite c in E. So entstehen die rechtwinkligen Dreiecke \Delta ACE und \Delta ABD. Sie haben außerdem den Winkel bei A gemeinsam.

Damit stimmen sie in zwei Winkeln und folglich in allen drei Winkeln überein; sie sind ähnlich. Aus der Ähnlichkeit folgt p_{bc}:b=p_{cb}:c. Durch Umformen erhält man c\cdot p_{bc}=b\cdot p_{cb}. Die beiden übrigen Gleichungen folgen auf dieselbe Weise.

Spezialfall: rechtwinkliges Dreieck

Hat das Dreieck \triangle ABC bei C einen rechten Winkel, entsprechen die Projektionen p_{cb} und p_{ca} den Seiten b beziehungsweise a. Der Projektionssatz liefert dann:

• c\cdot p_{bc}=b^2
• c\cdot p_{ac}=a^2

Dies ist der Kathetensatz des Euklid als Spezialfall des Projektionssatzes.