Perfekte Potenz

Begriff und Definition

Eine perfekte Potenz ist eine natürliche Zahl n, die sich als ganzzahlige Potenz mᵏ mit m > 1 und k > 1 schreiben lässt. Sie ist also ein Produkt mehrerer gleicher natürlicher Faktoren. Eine Zahl n ∈ ℕ ist genau dann eine perfekte Potenz, wenn es m,k ∈ ℕ mit m > 1 und k > 1 gibt, sodass mᵏ = n gilt. In diesem Fall heißt n eine perfekte k-te Potenz.

Für k = 2 spricht man von einer Quadratzahl, für k = 3 von einer Kubikzahl. Auch 0 und 1 können als perfekte Potenzen betrachtet werden, weil 0ᵏ = 0 und 1ᵏ = 1 für alle k > 1 gilt.

Beispiele und Folgen

Die kleinsten positiven perfekten Potenzen beginnen mit 2² = 4, 2³ = 8, 3² = 9, 2⁴ = 16, 4² = 16, 5² = 25, 3³ = 27, 2⁵ = 32, 6² = 36, 7² = 49 und 2⁶ = 64. Manche Zahlen haben mehrere Darstellungen, zum Beispiel 16 = 2⁴ = 4² und 64 = 4³ = 8².

Wenn gleiche Werte mehrfach gezählt werden, beginnt die Folge – unter Einschluss von 0 und 1 – mit 0, 1, 4, 8, 9, 16, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 64, 64, 81, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 256, 256, … Diese Folge ist im OEIS als A072103 verzeichnet. Ohne doppelte Werte lautet der Anfang: 0, 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, …; dies ist Folge A001597.

Die mehrfach darstellbaren perfekten Potenzen beginnen mit 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296 und 2401 (Folge A117453). Die Anzahl der verschiedenen perfekten Potenzen bis zu 10, 10², 10³, … beginnt mit 4, 13, 41, 125, 367, 1111, 3395, 10491, 32670, … (Folge A070428). Die Zahl 125 an der vierten Stelle bedeutet: Unter 10⁴ = 10000 gibt es genau 125 perfekte Potenzen; 0 wird dabei nicht mitgezählt, 1 und 10000 = 100² dagegen schon.

Eine weitere Tabelle listet alle Werte mᵏ mit 1 < m ≤ 10 und 1 < k ≤ 10 auf. Sie zeigt beispielsweise die Zeilen für m = 2 bis m = 10 und die Exponenten k = 2 bis k = 10; dadurch werden sowohl die wachsenden Potenzen als auch Mehrfachdarstellungen wie 64 = 2⁶ = 4³ = 8² sichtbar.

Wichtige Eigenschaften

Jede perfekte Potenz n = mᵏ lässt sich auch als Potenz mit einer Primzahlexponente schreiben. Ist k zusammengesetzt, also k = x·p mit einer Primzahl p, dann gilt n = mᵏ = mˣ·ᵖ = (mˣ)ᵖ. Daher kann jede perfekte Potenz in der Form n = yᵖ mit primem p dargestellt werden.

Für die vollständige Primfaktorzerlegung n = p₁^α₁ p₂^α₂ … pᵣ^αᵣ gilt das entscheidende Kriterium: n ist genau dann eine perfekte Potenz, wenn der größte gemeinsame Teiler der Exponenten α₁, α₂, …, αᵣ größer als 1 ist. Im Artikel wird dies als ggT(α₁, α₂, …, αᵣ) > 1 formuliert.

Beispiel: Für n = 2³⁶ · 3⁴⁸ · 11²⁴⁰ ist ggT(36, 48, 240) = 12. Die Zahl ist deshalb eine 12-te Potenz und zugleich eine 6-te, 4-te, 3-te und 2-te Potenz, weil 6, 4, 3 und 2 Teiler von 12 sind. Konkret gilt n = (2³ · 3⁴ · 11²⁰)¹².

Für die Summe der Kehrwerte aller Darstellungen mᵏ mit m ≥ 2 und k ≥ 2 gilt:

∑ₘ₌₂^∞ ∑ₖ₌₂^∞ 1/mᵏ = 1.

Der Beweis verwendet die geometrische Reihe ∑ₖ₌₀^∞ qᵏ = 1/(1 − q) für |q| < 1. Für m > 1 ergibt sich daraus ∑ₖ₌₂^∞ 1/mᵏ = 1/(m(m − 1)); die anschließende Summe teleskopiert zu 1.

Zählt man dagegen jede perfekte Zahl ohne 0 und 1 und ohne doppelte Werte nur einmal, beträgt die Summe ihrer Kehrwerte

∑ₙ 1/n = ∑ₖ₌₂^∞ μ(k)(1 − ζ(k)) ≈ 0,874464368…,

wobei μ(k) die Möbiusfunktion und ζ(k) die Riemannsche Zeta-Funktion bezeichnet. Außerdem besagt der Satz von Goldbach–Euler, dass für die perfekten Potenzen n ohne 0, 1 und doppelte Werte gilt: ∑ₙ 1/(n − 1) = 1. Im Artikel werden dazu die Anfangsterme 1/3 + 1/7 + 1/8 + 1/15 + 1/24 + 1/26 + 1/31 + … angegeben. Leonhard Euler veröffentlichte dieses Ergebnis um 1740; ein verlorener Brief von Christian Goldbach soll den Zusammenhang gezeigt haben. Die damaligen Beweise gelten nach modernen Maßstäben als nicht vollständig exakt, aber intuitiv.

Die Catalansche Vermutung wurde 2002 vom rumänischen Mathematiker Preda Mihăilescu bewiesen. Die einzige ganzzahlige Lösung von xᵖ − yᑫ = 1 mit x,p,y,q > 1 ist x = 3, p = 2, y = 2 und q = 3. Anders formuliert sind 8 = 2³ und 9 = 3² das einzige Paar aufeinanderfolgender perfekter Potenzen.

Perfekte Potenzen erkennen

Eine einfache, aber aufwendige Methode besteht darin, für die möglichen Primzahlexponenten k und die Teiler der gegebenen Zahl n zu prüfen, ob eine entsprechende Potenz genau n ergibt. Es genügt, Primzahlen k bis k ≤ log₂ n zu betrachten, wobei log₂ n der Logarithmus zur Basis 2 ist. Ist n eine perfekte Potenz, muss mindestens eine der Zahlen d², d³, d⁵, … für einen geeigneten Teiler d von n gleich n sein.

Beispiel n = 117649: Die echten Teiler sind 7, 49, 343, 2401 und 16807. Da log₂ 117649 ≈ 16,8441295 gilt, kommen als Primzahlexponenten nur 2, 3, 5, 7, 11 und 13 infrage. Für die fünf echten Teiler wären somit höchstens 30 Potenzen bis k = 16 zu prüfen. Schon bei der achten Kontrolle findet man 49³ = 117649. Damit ist n eine perfekte Potenz. Ohne einen Treffer unter diesen möglichen Potenzen wäre 117649 keine perfekte Potenz.

Ungelöstes Problem

Die Vermutung von Pillai ist bis heute ungelöst. Sie besagt: Für jede gegebene positive ganze Zahl k gibt es nur endlich viele Paare perfekter Potenzen n und n′ mit der Differenz k, also k = n′ − n.

Diese Vermutung verallgemeinert die bewiesene Catalansche Vermutung. Für k = 1 ist bereits bekannt, dass es nur ein Paar aufeinanderfolgender perfekter Potenzen gibt, nämlich 8 und 9.