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Pólya-Verteilung
Die Pólya-Verteilung beschreibt einen bestimmten Typ von Zufallsexperimenten und gehört damit zur Stochastik. Sie ist nach dem ungarisch-amerikanischen …
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Grundidee
Die Pólya-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aus der Stochastik. Sie beschreibt Zufallsexperimente, bei denen ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeiten für spätere Ergebnisse verändert. Deshalb wird sie auch Ansteckungsverteilung genannt: Wenn zum Beispiel eine kranke Person andere ansteckt, kann ein zuerst häufiger auftretender Erreger später noch wahrscheinlicher werden.
Der Begriff des Pólya-Modells wird in der Literatur nicht ganz einheitlich verwendet. Manche Beschreibungen meinen direkte Verallgemeinerungen des Standardmodells, andere gehen sogar vom diskreten zum kontinuierlichen Fall über. Das Grundprinzip bleibt aber ähnlich: Frühere Ergebnisse beeinflussen die Zusammensetzung des Systems und damit spätere Wahrscheinlichkeiten.
Urnenmodell
Das Grundmodell lässt sich mit einer Urne erklären. In der Urne liegen zwei Sorten Kugeln, zum Beispiel a rote und b blaue Kugeln. Man zieht zufällig eine Kugel, legt sie wieder zurück und fügt zusätzlich c weitere Kugeln derselben Farbe von außen hinzu. Dieser Vorgang wird n-mal wiederholt.
Die Zufallsvariable X_n bezeichnet die Anzahl der Versuche, bei denen eine rote Kugel gezogen wird. Eine solche Zufallsvariable heißt pólyaverteilt. Der wichtige Unterschied zu einfachen Ziehungen mit Zurücklegen ist: Nach jeder Ziehung wird die gezogene Farbe verstärkt. Wenn Rot gezogen wurde, kommen weitere rote Kugeln hinzu; dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit, später wieder Rot zu ziehen.
Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte
Sei N = a + b die Gesamtzahl der Kugeln zu Beginn. Die Anfangsanteile und der Zusatzparameter werden definiert durch p = a/N, q = b/N und r = c/N.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X_n lautet: P(X_n = x) = (n über x) · [p · (p+r) · (p+2r) · ... · (p+(x−1)r) · q · (q+r) · (q+2r) · ... · (q+(n−x−1)r)] / [1 · (1+r) · (1+2r) · ... · (1+(n−1)r)].
Für c ≥ 0 kann x die Werte 0, 1, ..., n annehmen. Für c = −1 gilt x = max(0, n−b), ..., min(a, n). Für andere Werte von x ist die Wahrscheinlichkeit gleich Null.
Der Erwartungswert, also der mittlere zu erwartende Wert von X_n, ist E(X_n) = n · p. Die Varianz, also ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert, beträgt Var(X_n) = p · q · n · (1 + r · n)/(1 + r).
Typische Anwendung
Ein Beispiel ist die Ausbreitung zweier Krankheitserreger A und B im selben Gebiet. Beide breiten sich epidemieartig aus, behindern sich aber gegenseitig. Wenn eine Person mit Erreger A in Kontakt kommt, bleibt sie mit A infiziert und wird gegen den konkurrierenden Erreger B immun. A vermehrt sich im neuen Wirt und seine Kopien verteilen sich im Gebiet, zum Beispiel durch Niesen.
Wenn sich die neu erzeugten Erreger schnell genug im Gebiet verteilen, steigt für das nächste Opfer die Wahrscheinlichkeit, mit A infiziert zu werden. Zur Vereinfachung nimmt man an, dass Personen nacheinander infiziert werden und zwischen den Neuerkrankungen genügend Zeit zur Durchmischung bleibt. Dann fragt man nach der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Abfolge von Infektionen mit A oder B.
Das gleiche Grundprinzip kann auch anders beschrieben werden: Es könnte sich statt um ein Virus um ein größeres Insekt handeln, das von Mensch zu Mensch springt. Oder das Virus pflanzt sich nicht fort, sondern wird vom Immunsystem zerstört. Eine weitere Variante ist, dass ein Wirt nach Kontakt genügend Antikörper produziert, um weitere Viren derselben Art sofort zu vernichten, etwa als Analogie zu Anti-Viren-Software.
Spezialfälle und Erweiterungen
Für bestimmte Werte von c entstehen bekannte Verteilungen. Bei c = 0 wird nur die gezogene Kugel zurückgelegt, ohne zusätzliche Kugeln hinzuzufügen. Dann erhält man die Binomialverteilung mit den Parametern n und p.
Bei c = −1 wird keine Kugel zurückgelegt. Das entspricht einem Urnenmodell ohne Zurücklegen. Bei einer dichotomen Grundgesamtheit, also bei genau zwei Kugelsorten, ergibt sich eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N, a und n.
Der Fall c = 1 beschreibt die klassische Konstellation der Pólya-Verteilung.
Zu den Verallgemeinerungen gehören Modelle, in denen eine Person öfter als einmal infiziert werden kann, mehr als zwei verschiedene Erregertypen vorkommen oder die Menge möglicher Kugelarten zu einem Kontinuum erweitert wird.