Orthodrome

Grundidee und Gültigkeitsbereich

Eine Orthodrome ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf der Oberfläche einer Kugel. Gemeint ist nicht die gerade Strecke durch das Innere der Kugel. Auf einer Kugeloberfläche ist die Orthodrome eine Geodäte, also eine lokal kürzeste Linie, und stets ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt wird sie häufig genutzt, um die geringste Flugstrecke zurückzulegen. Umgangssprachlich wird sie deshalb oft als Luftlinie bezeichnet.

Die Orthodrome ist nicht definiert, wenn die beiden gegebenen Punkte übereinstimmen oder auf der Kugeloberfläche genau gegenüberliegen. Auf der Erde heißen solche gegenüberliegenden Punkte antipode Punkte. In beiden Fällen sind die Kurswinkel und die Lage der Orthodrome nicht eindeutig definiert.

Für die Berechnungen werden die geographische Breite φ und die geographische Länge λ verwendet. Westliche Längen sind negativ, östliche positiv. Nördliche Breiten sind positiv, südliche negativ. A bezeichnet den Anfangspunkt, B den Endpunkt und N den Nordpol. Der Zentriwinkel ζ ist der Winkel am Kugelmittelpunkt, der zur Strecke AB gehört.

Entfernung auf der Kugel

In der sphärischen Geometrie wird die Entfernung zunächst als Mittelpunktswinkel ζ angegeben. Für zwei Punkte A(φ_A, λ_A) und B(φ_B, λ_B) gilt:

cos ζ = sin(φ_A) · sin(φ_B) + cos(φ_A) · cos(φ_B) · cos(λ_B − λ_A).

Bei identischen Punkten ergibt sich ζ = 0°, bei gegenüberliegenden Punkten ζ = 180°. Um aus dem Winkel eine Entfernung zu erhalten, wird ζ mit dem mittleren Erdradius von rund 6.371 km multipliziert, wenn ζ im Bogenmaß vorliegt. Bei einer Angabe in Grad muss zusätzlich mit π/180° multipliziert werden. Die Formel kann über das Skalarprodukt der Ortsvektoren oder mit dem Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie hergeleitet werden.

Der Kurswinkel, auch Azimut genannt, beschreibt die Bewegungsrichtung. Er wird ausgehend von Norden im Uhrzeigersinn gezählt. Für das sphärische Dreieck ABN bezeichnen α und β die Innenwinkel bei A beziehungsweise B; es gilt 0° < α, β < 180°.

cos α = [sin(φ_B) − sin(φ_A) · cos ζ] / [cos(φ_A) · sin ζ]

cos β = [sin(φ_A) − sin(φ_B) · cos ζ] / [cos(φ_B) · sin ζ]

Fällt A oder B mit dem Nord- oder Südpol zusammen, ist die jeweilige Gleichung wegen der Division durch 0 nicht brauchbar. α und β können außerdem direkt aus den Breiten- und Längengraden berechnet werden:

cos α = [cos(φ_A) · sin(φ_B) − cos(λ_A − λ_B) · cos(φ_B) · sin(φ_A)] / √[1 − (cos(λ_A − λ_B) · cos(φ_A) · cos(φ_B) + sin(φ_A) · sin(φ_B))²]

cos β = [cos(φ_B) · sin(φ_A) − cos(λ_A − λ_B) · cos(φ_A) · sin(φ_B)] / √[1 − (cos(λ_A − λ_B) · cos(φ_A) · cos(φ_B) + sin(φ_A) · sin(φ_B))²]

Kurswinkel und Rückweg

Für die Kurswinkel ω_A am Anfangspunkt und ω_B am Endpunkt gilt 0° ≤ ω_A, ω_B < 360°.

• Liegt B östlich von A, gilt ω_A = α und ω_B = 180° − β.
• Liegt B westlich von A, gilt ω_A = 360° − α und ω_B = 180° + β.
• Liegen beide Punkte auf demselben Meridian und liegt B nördlich von A, gilt ω_A = 0° und ω_B = 0°.
• Liegen beide Punkte auf demselben Meridian und liegt B südlich von A, gilt ω_A = 180° und ω_B = 180°.

Die rechtweisenden Kurse für den Hinweg A → B sind rwK_A = ω_A und rwK_B = ω_B. Für den Rückweg B → A werden die Kurswinkel um 180° verändert:

rwK'_B = ω_B ± 180°

rwK'_A = ω_A ± 180°

Das Rechenzeichen ist so zu wählen, dass 0° ≤ rwK'_B, rwK'_A < 360° gilt.

Nördlichster und südlichster Punkt

Eine Orthodrome kann zwischen ihren beiden Endpunkten einen nördlichsten oder südlichsten Punkt, den sogenannten Scheitelpunkt, besitzen. Die Entscheidung hängt von den Kurswinkeln am Anfangs- und Endpunkt ab.

Ein nördlicher Scheitelpunkt existiert, wenn entweder gleichzeitig 0° < ω_A < 90° und 90° < ω_B < 180° gilt oder gleichzeitig 270° < ω_A < 360° und 180° < ω_B < 270°. Dann gilt:

φ_N = arccos(|sin(ω_A)| · cos(φ_A))

λ_N = λ_A + arccos(tan(φ_A) / tan(φ_N)), falls ω_A < 180°

λ_N = λ_A − arccos(tan(φ_A) / tan(φ_N)), falls ω_A > 180°.

Ein südlicher Scheitelpunkt existiert, wenn entweder gleichzeitig 90° < ω_A < 180° und 0° < ω_B < 90° gilt oder gleichzeitig 180° < ω_A < 270° und 270° < ω_B < 360°. Dann gilt:

φ_S = −arccos(|sin(ω_A)| · cos(φ_A))

λ_S = λ_A + arccos(tan(φ_A) / tan(φ_S)), falls ω_A < 180°

λ_S = λ_A − arccos(tan(φ_A) / tan(φ_S)), falls ω_A > 180°.

Da die Längengrade auf den Bereich −180° ≤ λ ≤ +180° festgelegt sind, müssen Ergebnisse gegebenenfalls korrigiert werden: Bei Werten über 180° wird 360° subtrahiert, bei Werten unter −180° wird 360° addiert. Die Formeln folgen aus der Anwendung der neperschen Regel auf das rechtwinklige Kugeldreieck aus A, dem Scheitelpunkt und dem Nordpol. In einer gnomonischen Projektion werden Orthodromen stets als gerade Strecken dargestellt.

Beispiel Berlin–Tokio

Für das Beispiel werden folgende Koordinaten verwendet:

• Berlin: φ_A = 52° 31′ 0″ N = 52,517°; λ_A = 13° 24′ 0″ E = 13,40°.
• Tokio: φ_B = 35° 42′ 0″ N = 35,70°; λ_B = 139° 46′ 0″ E = 139,767°.

Mit der Kugelformel ergibt sich:

ζ = arccos(sin(φ_A) · sin(φ_B) + cos(φ_A) · cos(φ_B) · cos(λ_B − λ_A))

= arccos(0,1700) = 80,212° beziehungsweise ζ = 1,400 im Bogenmaß.

Für die vereinfachte Rechnung wird eine Erdkugel mit einem Umfang von 40.000 km beziehungsweise einem Radius von 6366 km angenommen. Die Streckenberechnung lautet:

L = (ζ / 360°) · 40.000 km

= (80,212° / 360°) · 40.000 km = 8912 km.

Mit dem Bogenmaß ergibt sich ebenfalls L = ζ · 6366 km = 8912 km. Diese Werte sind wegen der idealisierten Geodaten Näherungen. Mit dem WGS84-Referenzellipsoid beträgt die genauere Entfernung zwischen den angegebenen Punkten 8941,2 km. Die Abweichung gegenüber der zweiten Näherung beträgt etwa 23 km beziehungsweise 0,26 %.

WGS84 und Loxodrome

Für eine genauere Berechnung wird statt einer Kugel das WGS84-Ellipsoid verwendet. Mit den angegebenen Formeln kann der Abstand auf 50 Meter genau bestimmt werden. Für ein anderes Referenzellipsoid müssen der Äquatorradius a und die Abplattung f angepasst werden. Für WGS84 gelten:

f = 1 / 298,257 223 563

a = 6378,137 km.

Für die Koordinaten im Gradmaß werden zunächst F = (φ_A + φ_B) / 2, G = (φ_A − φ_B) / 2 und l = (λ_A − λ_B) / 2 berechnet. Danach gilt:

S = (sin G)² · (cos l)² + (cos F)² · (sin l)²

C = (cos G)² · (cos l)² + (sin F)² · (sin l)²

w = arctan √(S / C)

D = 2 · w · a,

wobei w im Bogenmaß einzusetzen ist. Die Korrekturfaktoren lauten:

T = √(S · C) / w

H_1 = (3 · T − 1) / (2 · C)

H_2 = (3 · T + 1) / (2 · S).

Der endgültige Abstand s in Kilometern wird berechnet durch:

s = D · (1 + f · H_1 · (sin F)² · (cos G)² − f · H_2 · (cos F)² · (sin G)²).

Für Berlin und Tokio ergeben sich unter anderem F = 44,108333333333333°, G = 8,408333333333333°, l = −63,183333333333333°, D = 8928,9541420394 km und schließlich s = 8941,20250458698 km, also etwa 8.941,2 km.

Eine Loxodrome ist für die Navigation mit einem Kompass praktisch, weil sie die Meridiane stets im gleichen Winkel kreuzt. Der einmal eingestellte Kurs kann daher beibehalten werden. Sie ist meist länger als die Orthodrome. Bei kurzen Strecken ist der Unterschied gering: Bei hoher Breite und Entfernungen unter 30 Längengraden beträgt der relative Unterschied weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis, der dann über den Pol verläuft. Beispiele aus der Tabelle: New York–Montréal ist als Loxodrome 8359 km, als Orthodrome 7511 km lang, ein Unterschied von 10,1 %; New York–Dallas weist 6207 km gegenüber 6150 km und 0,9 % auf; Dallas–Montréal 6596 km gegenüber 6509 km und 1,3 %.