Loxodrome

Definition und Bedeutung

Eine Loxodrome ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche, zum Beispiel der Erdoberfläche, die alle Meridiane im geographischen Koordinatensystem unter dem gleichen Winkel schneidet. Sie wird deshalb auch Kursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt. Ihr Richtungswinkel beziehungsweise ihre Peilung zum wahren Norden bleibt konstant.

Das Konzept lässt sich allgemein auf Rotationskörper übertragen. Bei einer Kugel spricht man speziell von Kugelloxodromen. Auf einem Zylinder sind Loxodromen Schraubenlinien, auf einem Kegel konische Spiralen beziehungsweise konische Helizes.

Für die Navigation ist die Loxodrome wichtig, weil ein Schiff oder Flugzeug ihr mit einer gleichbleibenden Kompassrichtung folgen kann. Ihr Nachteil ist, dass sie im Allgemeinen länger ist als die Orthodrome, also der kürzesten Verbindung auf der Kugel. Nur wenn die Loxodrome selbst auf einem Großkreis liegt, können beide Strecken gleich lang sein.

Geometrische Eigenschaften und Projektionen

Außer in den Spezialfällen eines Schnittwinkels von 0° oder 90° ist eine Loxodrome nicht geschlossen. Sie windet sich spiralförmig um die Erde und nähert sich dabei den Polen an. Nach einer endlichen Strecke erreicht sie einen Pol niemals; stattdessen nähert sie sich ihm asymptotisch und windet sich unendlich oft um ihn. In Polnähe besitzt sie daher lokal die Eigenschaften einer ebenen Spirale, in Äquatornähe dagegen die einer Helix, also einer räumlichen Wendel.

Beim Schnittwinkel 0° ist die Loxodrome selbst ein Meridian. Sie ist dann ein Großkreis, der durch beide Pole geht, und dies ist der einzige Fall, in dem eine Loxodrome einen Pol erreicht. Daraus folgt, dass vom Nordpol aus nur Loxodromen mit einem Kurs von 180° wegführen. Am Nordpol ist die Kursangabe 180° allerdings nicht eindeutig, weil man sich mit diesem Kurs auf jedem Meridian bewegen kann; garantiert ist lediglich die Ankunft am Südpol. In der praktischen Navigation wird dieses Problem in hohen Breitengraden durch Gitternavigation (englisch: grid navigation) mit polarstereographischen Karten umgangen.

Beim Schnittwinkel 90° ist die Loxodrome geschlossen und bildet einen Breitenkreis beziehungsweise Breitenparallel. Ein Breitenkreis ist im Allgemeinen kein Großkreis. Der einzige Breitenkreis, der ein Großkreis ist, ist der Äquator; auf ihm bleibt die geographische Breite konstant 0°.

In der Kartografie erscheint eine Loxodrome in der Mercator-Projektion als gerade Linie. Diese Eigenschaft begründet den Nutzen der Mercatorkarte für die praktische Navigation. In einer stereografischen Projektion wird sie zu einer logarithmischen Spirale, in einer orthografischen Azimutalprojektion, einem Parallelriss entlang der Erdachse, zu einer Poinsotschen Spirale.

Grundlagen der Berechnung

Die Berechnung nutzt die Eigenschaft der Mercatorprojektion, Loxodromen als Geraden abzubilden. Die geographische Länge wird mit λ, die geographische Breite mit φ bezeichnet. Beide Winkel werden im Bogenmaß und nicht in Grad verwendet. Für λ gilt: In Richtung Westen ist λ negativ, in Richtung Osten positiv. Die Breite φ ist auf der Nordhalbkugel positiv und auf der Südhalbkugel negativ.

Der Richtungswinkel η ist eine konstante Peilung in Richtung des wahren Nordens. In der Mercatorprojektion entspricht er dem Steigungswinkel. Für die Steigung k gilt:

k = cot(η).

Damit kann eine Loxodrome in der Mercatorprojektion als Gerade beschrieben werden:

x = λ, y = kλ.

Liegt der Äquatordurchgang nicht bei der Länge 0, sondern bei einer beliebigen Länge λ₀, wird die Gerade durch

y = k(λ − λ₀)

beschrieben.

Raumkoordinaten und Weg zwischen zwei Punkten

Für einen Punkt mit Breite φ und Länge λ lautet die Abbildungsvorschrift der Mercatorprojektion:

x = λ, y = artanh(sin φ).

Daraus folgt für die Breite eines Punktes auf der Loxodrome:

φ = arcsin(tanh(kλ))

oder mit der Gudermannfunktion gd:

φ = gd(kλ).

In kartesischen Raumkoordinaten und mit r als Radius der Kugel wird die Loxodrome durch folgende Gleichungen dargestellt:

x = r cos λ / cosh(kλ) = r cos λ cos(1 / tan(kλ)),

y = r sin λ / cosh(kλ) = r sin λ cos(1 / tan(kλ)),

z = r tanh(kλ) = −r sin(1 / tan(kλ)).

Für einen verschobenen Äquatordurchgang ist in diesen Formeln kλ durch k(λ − λ₀) zu ersetzen.

Die Mercatorprojektion bildet einen Punkt (φ, λ) auf die ebenen Koordinaten (X, Y) ab:

X = Mₓ(λ) = λ,

Y = Mᵧ(φ) = ln tan(φ/2 + π/4) = arcgd(φ),

wobei arcgd die inverse Gudermannfunktion ist.

Für zwei Punkte A = (φA, λA) und B = (φB, λB) entsteht in der Projektionsebene ein rechtwinkliges Dreieck. Die Verbindungsstrecke zwischen (XA, YA) und (XB, YB) ist die Hypotenuse; der rechte Winkel liegt bei (XB, YA). Für den Winkel φ beziehungsweise den Steigungswinkel am Punkt A gilt:

tan φ = (YB − YA)/(XB − XA) = [Mᵧ(φB) − Mᵧ(φA)]/(λB − λA).

Mit der zweistelligen arctan2- oder atan2-Funktion, die zum Koordinatenpaar (x, y) den Winkel der Polarkoordinatendarstellung liefert, ergibt sich:

φ = φ(λB − λA, Mᵧ(φB) − Mᵧ(φA))

= φ(λB − λA, ln[tan(φB/2 + π/4) / tan(φA/2 + π/4)]).

Der Richtungswinkel η der Loxodrome wird von Nord über Ost im Uhrzeigersinn gemessen und beträgt:

η = π/2 − φ.

Die im Artikel angegebene Strecke innerhalb der Mercatorkarte zwischen A und B ist:

l = √((φB − φA)² + (Mᵧ(φB) − Mᵧ(φA))² · (λB − λA)²).

Diese Strecke ist nur dann die kürzeste Loxodrome, wenn λB − λA < π gilt, sodass die Punkte in Westrichtung weiter voneinander entfernt sind als in Ostrichtung. Andernfalls ist sie nur der zweitbeste Weg. Zwischen zwei beliebigen Punkten außer den Polen gibt es außerdem beliebig viele Loxodromen, die die Kugel einmal oder mehrfach umrunden. Dafür muss in der Gleichung für Y = Mᵧ(φ) ein anderer Nebenwert des Tangens gewählt werden. In der Mercatorprojektion läuft der Graph dann über den rechten oder linken Kartenrand hinaus und erscheint auf der jeweils anderen Seite wieder.

Für kurze Strecken ist der zusätzliche Weg gegenüber der Orthodrome nur unwesentlich. In der Luftfahrt werden dagegen Lamberts winkeltreue Kegelprojektionen verwendet.