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Bandmatrix
Mit Bandmatrix wird in der numerischen Mathematik eine Matrix bezeichnet, bei der zusätzlich zur Hauptdiagonalen nur eine bestimmte Anzahl von Nebendiagonalen …
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Grundidee und Bedeutung
Eine Bandmatrix ist in der numerischen Mathematik eine Matrix, bei der neben der Hauptdiagonalen nur eine festgelegte Anzahl von Nebendiagonalen Elemente ungleich null enthält. Alle übrigen Elemente sind null. Dadurch gehört sie zu den dünnbesetzten Matrizen, besitzt aber zusätzlich eine besondere, regelmäßig angeordnete Struktur.
Bandmatrizen entstehen häufig bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen. Ihre spezielle Struktur ermöglicht es, bestimmte Zerlegungen und Lösungsverfahren mit deutlich geringerem Aufwand zu berechnen.
Definition und Bandbreite
Seien p,q ∈ ℕ mit p,q ≥ 0. Eine Matrix A heißt Bandmatrix der Bandbreite l = p + q + 1, wenn für ihre Elemente aᵢⱼ gilt:
aᵢⱼ = 0 für j + p < i oder i + q < j.
Dabei bezeichnet p die Anzahl der besetzten unteren Nebendiagonalen und q die Anzahl der besetzten oberen Nebendiagonalen. Zusammen mit der Hauptdiagonalen umfasst das Band somit p + q + 1 Diagonalen. Außerhalb dieses Bandes müssen alle Matrixelemente null sein.
Ein wichtiger Spezialfall ist die Tridiagonalmatrix: Bei ihr sind nur die Hauptdiagonale, genau eine untere und genau eine obere Nebendiagonale potenziell mit Elementen ungleich null besetzt.
Eigenschaften und Rechenaufwand
Bei positiv definiten Bandmatrizen bleibt die Bandstruktur auch in der Cholesky-Zerlegung erhalten. Die Cholesky-Zerlegung kann die vorhandene Struktur daher ausnutzen.
Wird zur Lösung eines Gleichungssystems Spaltenpivotisierung verwendet, bleibt die Bandstruktur außerdem bei der LR-Zerlegung einer regulären Bandmatrix erhalten. Die Anzahl der Diagonalen nimmt dabei lediglich leicht zu.
Der Rechenaufwand für die Berechnung reduziert sich in beiden Fällen auf O(n), wobei n die Größe der Matrix bezeichnet.