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Navier-Stokes-Gleichungen
Die Navier-Stokes-Gleichungen bilden das Verhalten von Wasser, Luft und Ölen ab und werden daher in diskretisierter Form bei der Entwicklung von Fahrzeugen wie …
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Kernidee und Bedeutung
Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein mathematisches Modell für die Strömung von linear-viskosen newtonschen Flüssigkeiten und Gasen, also Fluiden wie Wasser, Luft und Ölen. Sie erweitern die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik um Terme, die die Viskosität beschreiben. Viskosität bedeutet, dass ein Fluid innere Reibung besitzt und deshalb Bewegungsunterschiede zwischen benachbarten Fluidschichten ausgleicht.
Im engeren Sinn meint man mit den Navier-Stokes-Gleichungen vor allem die Impulsgleichung für Strömungen. Im weiteren Sinn, besonders in der numerischen Strömungsmechanik, gehören auch die Kontinuitätsgleichung für die Massenerhaltung und die Energiegleichung dazu. Zusammen bilden sie ein System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung. „Nichtlinear“ bedeutet, dass die gesuchten Größen nicht nur einfach additiv auftreten; „partielle Differentialgleichung“ bedeutet, dass Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen wie Ort und Zeit vorkommen.
Die Gleichungen sind grundlegend, weil sie wichtige Strömungsphänomene wie Turbulenz und Grenzschichten beschreiben. In diskretisierter, also rechnerisch angenäherter Form werden sie zum Beispiel bei der Entwicklung von Autos und Flugzeugen eingesetzt. Exakte analytische Lösungen sind für viele komplizierte praktische Fälle nicht bekannt.
Auch mathematisch sind die Gleichungen sehr wichtig. Für den allgemeinen dreidimensionalen Fall ist nicht bekannt, ob es immer eine überall definierte glatte und eindeutige Lösung gibt. Dieses Navier-Stokes-Existenz- und Glattheitsproblem gehört zu den sieben Millennium-Problemen.
Grundgleichung und Begriffe
Die Impulsgleichung beschreibt, wie sich die Geschwindigkeit eines Fluidelements unter dem Einfluss von Druck, Viskosität und äußeren Kräften ändert. Eine Form für kompressible Fluide lautet:
ρ Dv⃗/Dt = ρ(∂v⃗/∂t + (v⃗ · ∇)v⃗) = −∇p + μ Δv⃗ + (λ + μ)∇(∇ · v⃗) + f⃗.
Dabei ist ρ die Dichte, v⃗ die Geschwindigkeit eines Teilchens in der Strömung, p der statische Druck, μ die dynamische Viskosität, λ die Volumenviskositäts-Konstante in dieser Schreibweise und f⃗ die Volumenkraftdichte, zum Beispiel Gravitation oder Corioliskraft. ∇ ist der Nabla-Operator, Δ der Laplace-Operator. Die substantielle Zeitableitung D/Dt = ∂/∂t + v⃗ · ∇ beschreibt die zeitliche Änderung aus Sicht eines mitbewegten Fluidelements. Der Term (v⃗ · ∇)v⃗ ist der konvektive Anteil der Beschleunigung, also die Änderung durch Bewegung durch ein räumlich veränderliches Geschwindigkeitsfeld.
In anderer Literatur wird die Volumenviskosität mit ζ bezeichnet. Mit der Stokes’schen Hypothese ζ = 0 und der Kontinuitätsgleichung kann die Gleichung auch für die Impulsdichte m⃗ = ρv⃗ geschrieben werden:
∂m⃗/∂t + ∇ · (v⃗ ⊗ m⃗) = −∇p + μ Δv⃗ + μ/3 ∇(∇ · v⃗) + f⃗.
Das Zeichen ⊗ bezeichnet das dyadische Produkt. Die Vektorform gilt in jedem Koordinatensystem; in kartesischen Koordinaten kann sie in drei Komponentengleichungen für x-, y- und z-Richtung zerlegt werden. Dadurch lässt sich auch berücksichtigen, dass die Scherviskosität wegen Temperaturabhängigkeit örtlich verschieden sein kann.
Inkompressible und kompressible Fluide
Eine Strömung heißt inkompressibel, wenn sich die Dichte entlang von Teilchenbahnen nicht ändert. Das ist eine gute Näherung für Flüssigkeiten wie Wasser und für Gase weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit, im Artikel angegeben als Mach-Zahl < 0,3. Dann vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung zur Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes:
∇ · v⃗ = 0.
Die Impulsgleichung wird zu:
ρ(∂v⃗/∂t + (v⃗ · ∇)v⃗) = −∇p + μ Δv⃗ + f⃗.
Hier beschreiben Geschwindigkeit v⃗ und Druck p die Strömung in Abhängigkeit von Ort und Zeit. Die Energieerhaltung wird zum Schließen dieses Systems nicht benötigt. Wenn die Dichte zusätzlich konstant ist, kann man durch ρ teilen:
∂v⃗/∂t + (v⃗ · ∇)v⃗ = −∇p̄ + ν Δv⃗ + f̄⃗.
Dabei ist p̄ = p/ρ der Druck pro Einheitsmasse, f̄⃗ = f⃗/ρ eine Beschleunigung und ν = μ/ρ die kinematische Viskosität. Diese Gleichungen werden oft einfach als die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet, weil sie besonders gut untersucht und praktisch häufig genutzt werden.
Für kompressible Gase reicht die Impulsgleichung allein nicht aus. Das vollständige System umfasst Kontinuitätsgleichung, Impulsbilanz, Energiebilanz und eine Zustandsgleichung. Die Massenerhaltung lautet mit der Impulsdichte m⃗ = ρv⃗:
∂ρ/∂t + ∇ · m⃗ = 0.
Die Energiebilanz enthält unter anderem die totale Energie pro Einheitsmasse E = e + 1/2 |v⃗|² + h|g⃗|, also innere, kinetische und potentielle Energie. Für die Lösung benötigt man außerdem thermodynamische Zustandsgleichungen. Eine kalorische Zustandsgleichung verknüpft Druck p, Dichte ρ und innere Energie e, etwa p = (γ − 1)ρe. Die thermische Zustandsgleichung verbindet Dichte, Druck und Temperatur; häufig wird das ideale Gasgesetz T = p/(ρR) verwendet.
Randbedingungen und dimensionslose Kennzahlen
Für konkrete Probleme müssen zusätzlich Randbedingungen angegeben werden. Besonders wichtig ist die experimentell gut bestätigte Haftbedingung, auch No-Slip-Bedingung: An einer Wand ist die Relativgeschwindigkeit des Fluids sowohl in Normalenrichtung als auch in tangentialer Richtung gleich Null. Die Fluidteilchen „kleben“ also an der Wand. Dadurch entsteht eine Grenzschicht, die für viele durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschriebene Phänomene wesentlich ist. Nur wenn die freie Weglänge bewegter Moleküle viel größer ist als die charakteristische Länge der Geometrie, etwa bei Gasen extrem niedriger Dichte oder sehr engen Spalten, ist diese Bedingung nicht mehr sinnvoll.
Neben Geschwindigkeitsrandbedingungen können dynamische Randbedingungen auftreten. Dann wird auf einer Fläche ein Flächenkraft- oder Spannungsvektor s⃗₀ vorgegeben, und die Fläche kann sich mit der Strömung verformen. Auf der Fläche gilt s⃗₀ = σ · n̂, wobei σ der Spannungstensor und n̂ der Normaleneinheitsvektor ist. Bei kleinskaligen Strömungen kann außerdem Oberflächenspannung wichtig sein. Bei schwacher Krümmung ergibt sich für den Druck an einer Oberfläche z = h die Beziehung:
p(x,y,z=h) = p₀ − γ(∂²h(x,y)/∂x² + ∂²h(x,y)/∂y²).
Die Gleichungen können entdimensionalisiert werden, indem man charakteristische Größen wie Länge L, durchschnittliche Geschwindigkeit v∞ und durchschnittliche Dichte ρ∞ verwendet. Dadurch entstehen dimensionslose Kennzahlen. Besonders wichtig ist die Reynolds-Zahl
Re = Lρ∞v∞/μ.
Sie beschreibt das Verhältnis von Trägheitskräften zu Scherkräften. Bei Strömungen mit freier Oberfläche kann außerdem die Froude-Zahl auftreten, die das Verhältnis von Trägheits- zu Schwerekräften charakterisiert.
Lösungen und numerische Verfahren
Für die Navier-Stokes-Gleichungen sind allgemeine geschlossene Lösungen meist nicht verfügbar. Theoretisch ist besonders der dreidimensionale inkompressible Fall schwierig. Für den zweidimensionalen Fall konnten unter anderem Olga Alexandrowna Ladyschenskaja, Roger Temam und Ciprian Foias weitreichende Aussagen zu Existenz, Eindeutigkeit und Regularität beweisen. Jean Leray behandelte 1934 schwache Lösungen in drei Dimensionen. Spätere Untersuchungen von Tristan Buckmaster und Vlad Vicol zeigten, dass bei einer anderen, schwächeren Art schwacher Lösungen in drei Dimensionen Mehrdeutigkeit auftreten kann.
Analytische Lösungen erhält man in der Praxis vor allem durch vereinfachte Modelle oder Randbedingungen. Eine Schwierigkeit ist der nichtlineare Term der konvektiven Beschleunigung (v⃗ · ∇)v⃗. Mit der Vortizität ω⃗ = ∇ × v⃗ = rot v⃗ gilt:
(v⃗ · ∇)v⃗ = 1/2 ∇(||v⃗||)² − v⃗ × ω⃗.
Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur in Fällen, in denen der zweite Term verschwindet, zum Beispiel wenn ω⃗ parallel zu v⃗ ist. Eine analytische Lösung mit ω⃗ senkrecht zu v⃗ liegt im Hamel-Oseenschen-Wirbel vor.
Für praktische Anwendungen nutzt man numerische Strömungsmechanik, auch Computational Fluid Dynamics (CFD). Häufige Diskretisierungen sind Finite-Differenzen-, Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Verfahren; für spezielle Aufgaben werden auch Spektralmethoden eingesetzt. In Wandnähe müssen Gitter in Normalenrichtung sehr fein sein, um Grenzschichten aufzulösen. Wegen der CFL-Bedingung führen explizite Zeitverfahren dann zu sehr kleinen Zeitschritten, weshalb oft implizite Verfahren und iterative Löser wie Mehrgitter- oder Newton-Verfahren verwendet werden.
Turbulente Strömungen können direkt numerisch berechnet werden, aber das ist wegen der sehr feinen nötigen Auflösung meist nur in der Forschung und bei kleinen Reynolds-Zahlen wirtschaftlich. In der Praxis nutzt man oft Reynolds-Gleichungen mit Turbulenzmodell. Ein Mittelweg ist die Large Eddy Simulation, bei der große Wirbel direkt berechnet und kleine Skalen modelliert werden.
Vereinfachungen und Forschungsvarianten
Weil die Navier-Stokes-Gleichungen schwer zu lösen sind, verwendet man oft vereinfachte Modelle, wenn das physikalisch sinnvoll ist. Werden die Viskositäten vernachlässigt, erhält man die Euler-Gleichungen. Für den kompressiblen Fall stehen sie im Artikel als
ρ ∂v⃗/∂t + ρ(v⃗ · ∇)v⃗ = −∇p + f⃗.
Sie spielen in der Aerodynamik als Approximation der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen eine Rolle. Für die dreidimensionalen inkompressiblen Euler-Gleichungen ohne äußere Kräfte wurde 2026 ein Blow-up in endlicher Zeit aus glatten, kompakt getragenen und divergenzfreien Anfangsdaten auf ℝ³ konstruiert. Dieses Ergebnis betrifft aber den viskositätsfreien Euler-Fall und beantwortet nicht die Existenz- und Regularitätsfrage der dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen bei positiver Viskosität.
Bei sehr langsamen, zähen Strömungen kann der Trägheitsterm vernachlässigt werden. Daraus entsteht die Stokes-Gleichung:
−∇p + μ · Δv⃗ + f⃗ = 0.
Sie wird zum Beispiel in der Geodynamik verwendet, wenn der Mantel der Erde oder anderer terrestrischer Planeten als extrem zähe Flüssigkeit betrachtet wird. Für gravitationsabhängige Strömungen mit kleinen Dichtevariationen und nicht zu großen Temperaturschwankungen wird häufig die Boussinesq-Approximation verwendet.
Eine weitere Forschungsrichtung sind stochastische Navier-Stokes-Gleichungen. Sie enthalten zusätzlich zu den inkompressiblen Navier-Stokes-Termen einen Zufallseinfluss, etwa weißes Rauschen. Im Artikel werden sie mit additivem gaußschen Rauschen beschrieben:
dV_t = [−∇p_t + μ ΔV_t − (V_t · ∇)V_t + f_t]dt + b(V_t)dW_t, div V = 0.
Der Artikel nennt außerdem einen am 8. September 2026 veröffentlichten computergenerierten Lösungsvorschlag von OpenAI zum Millennium-Problem. Eine formelle Anerkennung durch das Clay Mathematics Institute lag unmittelbar nach der Veröffentlichung nicht vor; das Institut führte das Problem am 9. September 2026 weiterhin als „Unsolved“.
