Mittlerer Binomialkoeffizient

Kernidee und Definition

Der mittlere Binomialkoeffizient, auch Zentralbinomialkoeffizient genannt, ist in der Mathematik für eine nichtnegative ganze Zahl n definiert als

CBC(n) = (2n über n) = (2n)! / (n!)^2.

Er heißt „mittlerer“ Binomialkoeffizient, weil er im pascalschen Dreieck in Zeilen mit geradzahligem Index genau in der Mitte steht. Die ersten Werte sind 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

Die Formel folgt aus der allgemeinen Definition des Binomialkoeffizienten:

(a über b) = a! / (b!(a-b)!).

Das Kürzel CBC steht für den englischen Begriff Central Binomial Coefficient und wurde unter anderem durch David Kessler und Jeremy Schiff verwendet. Mithilfe der Gammafunktion lässt sich CBC auch auf komplexe Zahlen erweitern:

CBC(n) = Gamma(2n+1) / Gamma(n+1)^2.

Die Fakultätsfunktion kann dabei über das Weierstraßsche Produkt dargestellt werden. Dadurch erhält man auch eine Produktdarstellung für CBC(x):

CBC(x) = Produkt von n=1 bis unendlich [(1 + x/n)^2 (1 + 2x/n)^(-1)].

Für x außerhalb der ungeraden Vielfachen von 1/2 gibt der Artikel außerdem die Darstellung

CBC(x) = (2x über x) = 4^x sec(pi x) sqrt(pi) / (Gamma(1/2 - x) Gamma(1+x))

an, die aus dem Eulerschen Ergänzungssatz folgt.

Darstellungen und Wachstum

Eine wichtige Darstellung lautet:

(2n über n) = 2^(2n) · (1·3·5·…·(2n-1)) / (2·4·6·…·(2n)).

Der Bruch ist mit dem Wallis-Produkt verwandt. Außerdem gilt nach der Vandermonde-Faltung:

(2n über n) = Summe von k=0 bis n (n über k)^2.

Für CBC gelten funktionale Beziehungen. Besonders wichtig ist die Rekursion

CBC(x+1) = ((4x+2)/(x+1)) CBC(x).

Daraus folgt

lim für x gegen +unendlich CBC(x+1)/CBC(x) = 4.

Der Artikel nennt außerdem den Grenzwert

lim für x gegen +unendlich (1/4^x) CBC(x) sqrt(pi x) = 1.

Dieser Grenzwert folgt aus der Stirlingschen Formel. Für alle n >= 1 gilt daraus die Abschätzung

(1/2) · 4^n / sqrt(pi n) < (2n über n) < 4^n / sqrt(pi n).

In Landau-Notation wird dies als

(2n über n) in Theta(4^n / sqrt(n))

geschrieben. Das bedeutet: Der mittlere Binomialkoeffizient wächst ungefähr wie 4^n / sqrt(n).

Werte und zahlentheoretische Eigenschaften

Für ganze Werte berechnet der Artikel unter anderem:

CBC(0) = 1, CBC(1) = 2, CBC(2) = 6, CBC(3) = 20, CBC(4) = 70, CBC(5) = 252, CBC(6) = 924.

Für Bruchwerte werden besondere Darstellungen angegeben, zum Beispiel

CBC(1/2) = 4/pi, CBC(1/4) = 2 sqrt(2) / varpi, CBC(3/4) = 4 sqrt(2) varpi / (3 pi).

Weitere Werte für rationale Argumente werden mit unendlichen Produkten und dem vollständigen elliptischen Integral erster Art K dargestellt. Dieses Integral ist im Artikel definiert als

K(epsilon) = Integral von 0 bis pi/2 1 / sqrt(1 - epsilon^2 sin(phi)^2) d phi.

Zahlentheoretisch nennt der Artikel drei Eigenschaften: Nach dem Satz von Wolstenholme gilt für Primzahlen p >= 5

(2p über p) kongruent 2 modulo p^3.

Außerdem kommen außer 1 keine ungeraden Zahlen unter den mittleren Binomialkoeffizienten vor. Für n > 4 sind die Werte nie quadratfrei; dies verweist auf den Satz von Sárkőzy.

Integrale, Ableitung und Reihen

Der mittlere Binomialkoeffizient besitzt Integraldarstellungen. Eine davon lautet:

CBC(n) = (2n über n) = (2^(2n+1) / pi) Integral von 0 bis unendlich dx / (x^2 + 1)^(n+1).

Für Kehrwerte gilt:

1 / CBC(n) = Integral von 0 bis 1 n x^(n-1) / (x+1)^(2n) dx.

Damit lassen sich Reihen über Kehrwerte berechnen. Der Artikel gibt zum Beispiel an:

Summe von n=1 bis unendlich 1/CBC(n) = (2/27) sqrt(3) pi + 1/3,

Summe von n=1 bis unendlich 1/(n CBC(n)) = (1/9) sqrt(3) pi,

Summe von n=1 bis unendlich 1/(n^2 CBC(n)) = pi^2/18.

Allgemein wird für z aus den natürlichen Zahlen genannt:

Summe von n=1 bis unendlich 1/(n^(z+1) CBC(n)) = Integral von 0 bis 1 (1/x) Li_z[x/(x+1)^2] dx.

Li bezeichnet den Polylogarithmus.

Die Ableitung von CBC(x) wird mit der harmonischen Reihenfunktion H angegeben:

d/dx CBC(x) = 2 CBC(x) [H(2x) - H(x)].

Dabei ist

H(x) = Summe von n=1 bis unendlich (1/n - 1/(n+x)).

Alternativ kann man die Ableitung mit der Digammafunktion psi schreiben:

d/dx CBC(x) = 2 CBC(x) [psi(2x+1) - psi(x+1)],

weil H(x) = psi(x+1) + gamma gilt. gamma ist die Euler-Mascheroni-Konstante.

Erzeugende Funktionen und Summenreihen

Die mittleren Binomialkoeffizienten treten in Taylor- und MacLaurin-Reihen auf. Die zentrale erzeugende Funktion ist

1 / sqrt(1 - 4x) = Summe von m=0 bis unendlich CBC(m) x^m = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + …

Eine gestreckte Form ist

Summe von m=0 bis unendlich CBC(m)/4^m · x^m = 1/sqrt(1-x).

Weitere Reihen verbinden CBC mit Funktionen wie arcsin, dem Arkussinus Lemniscatus arcsl, elliptischen Integralen K und E sowie dem Arkustangensintegral Ti_2. Beispiele sind:

Summe von m=0 bis unendlich CBC(m)/(4^m(2m+1)) x^(2m+1) = arcsin(x),

Summe von m=0 bis unendlich CBC(m)^2/16^m · x^(2m) = (2/pi) K(x),

Summe von m=0 bis unendlich 4^m/((m+1)(2m+1) CBC(m)) x^(2m+2) = arcsin(x)^2.

Der Artikel behandelt außerdem Ramanujansche Reihen zur Berechnung von pi. Srinivasa Ramanujan notierte 1914 Formeln, die sehr schnell konvergierende Reihen für die Kreiszahl liefern. Die bekannteste angegebene Formel ist

1/pi = Summe von n=0 bis unendlich [2 sqrt(2) CBC(2n) CBC(n)^2 (1103 + 26390n)] / [396^(4n) · 9801].

Eine weitere von Ramanujan entdeckte Formel lautet

1/pi = Summe von n=0 bis unendlich [2 sqrt(2) CBC(2n) CBC(n)^2 (1 + 10n)] / [12^(4n) · 9].

Vandermonde, Catalan-Zahlen und Verallgemeinerung

Die Vandermondesche Identität lautet:

Summe von a=0 bis k (m über a)(n über k-a) = (m+n über k).

Sie kann kombinatorisch erklärt werden: Man zählt k-elementige Teilmengen einer Menge aus m roten und n grünen Kugeln. Wählt man a rote Kugeln, bleiben k-a grüne Kugeln. Die Summe über alle möglichen a zählt alle k-elementigen Teilmengen.

Mit dem binomischen Lehrsatz lässt sich dieselbe Identität über

(1+x)^m (1+x)^n = (1+x)^(m+n)

veranschaulichen. Im Spezialfall k=m=n entsteht die Quadratsummenformel

Summe von a=0 bis n (n über a)^2 = (2n über n) = CBC(n).

Eng verwandt mit den mittleren Binomialkoeffizienten sind die Catalan-Zahlen C_n. Sie sind definiert durch

C_n = 1/(n+1) · (2n über n) = (2n über n) - (2n über n+1).

Als Verallgemeinerung erwähnt der Artikel, dass Zeilen mit ungeradzahligem Index im pascalschen Dreieck zwei mittlere Einträge besitzen, die aber gleich sind. Deshalb wird gelegentlich auch

(m über floor(m/2)) für m aus N_0

als mittlerer Binomialkoeffizient verwendet. Die ursprüngliche Definition erhält man daraus, wenn man nur gerade m betrachtet.