Satz von Wolstenholme

Kernaussage des Satzes

Der Satz von Wolstenholme ist ein Ergebnis der Zahlentheorie. Er beschreibt eine besondere Teilbarkeitseigenschaft harmonischer Zahlen. Eine harmonische Zahl H(n) ist die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen von 1 bis n.

Ist p ≥ 5 eine Primzahl, dann gilt für

H(p−1) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(p−1):

Der Zähler dieser Summe ist durch p² teilbar, wenn der Bruch vollständig gekürzt ist. Die Aussage gilt damit auch in jeder anderen Darstellung der Summe als Quotient zweier ganzer Zahlen.

Beispiele und gleichwertige Formulierungen

Für p = 7 ergibt sich

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 = 49/20.

Der Zähler 49 = 1 · 7² ist durch 7² teilbar.

Für p = 13 gilt

1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/12 = 86021/27720.

Dabei ist 86021 = 509 · 13², also ebenfalls durch 13² teilbar.

Der Satz ist äquivalent zu folgender Aussage: Für eine Primzahl p ≥ 5 ist der Zähler der Summe

1 + 1/2² + 1/3² + … + 1/(p−1)²

durch p teilbar.

Eine wichtige Folgerung ist die Kongruenz

(2p über p) ≡ 2 mod p³.

Eine Kongruenz bedeutet hier, dass die beiden Seiten bei Division durch p³ denselben Rest besitzen. Gleichwertig kann man schreiben:

(2p−1 über p−1) ≡ 1 mod p³.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl ist eine Primzahl p, für die eine stärkere Form des Satzes gilt. Die folgenden Bedingungen sind gleichwertig:

• Der Zähler von 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(p−1) ist durch p³ teilbar.

• Der Zähler von 1 + 1/2² + 1/3² + … + 1/(p−1)² ist durch p² teilbar.

• Es gilt (2p über p) ≡ 2 mod p⁴.

• Es gilt (2p−1 über p−1) ≡ 1 mod p⁴.

• Der Zähler der Bernoulli-Zahl B_(p−3) ist durch p teilbar. Bernoulli-Zahlen sind eine bestimmte Folge rationaler Zahlen, die in der Zahlentheorie vorkommt.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843, entdeckt von Selfridge und Pollack 1964, und 2124679, entdeckt von Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993. Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein. McIntosh stellte 1995 die Vermutung auf, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt und dass unterhalb einer Zahl x ungefähr log(log(x)) Wolstenholme-Primzahlen liegen.

Zusammenhang mit Wieferich-Primzahlen

Ein verwandter Begriff entsteht, wenn in der harmonischen Summe nur die Summanden mit ungeradem Nenner betrachtet werden. Für eine Primzahl p ≥ 3 lautet diese Summe

1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(p−2).

Ihr Zähler ist genau dann durch p teilbar, wenn die stärkere Form

2^(p−1) ≡ 1 mod p²

des Satzes von Euler-Fermat gilt. Primzahlen mit dieser Eigenschaft heißen Wieferich-Primzahlen.

Historische Entwicklung

Aus dem Satz von Wilson folgt für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n die Kongruenz

(np−1 über p−1) ≡ 1 mod p.

Charles Babbage bewies 1819 für jede Primzahl p > 2 die stärkere Kongruenz

(2p−1 über p−1) ≡ 1 mod p².

Joseph Wolstenholme verstärkte dieses Ergebnis 1862 nochmals: Für jede Primzahl p > 3 gilt

(2p−1 über p−1) ≡ 1 mod p³.

Diese Kongruenz ist eine der zentralen Formulierungen des Satzes von Wolstenholme.