Konjunktion (Logik)

Grundbedeutung und Schreibweisen

Die Konjunktion, auch Und-Verknüpfung oder seltener „logisches Produkt“ genannt, ist in der Logik eine Verknüpfung zweier Aussagen oder Aussagefunktionen. Die Verbindung „A und B“ ist in der klassischen Logik genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. Sie ist falsch, sobald mindestens eine der beiden Aussagen falsch ist.

Mit „Konjunktion“ können verschiedene Dinge gemeint sein: die gebildete Aussage „A und B“, das Verknüpfungszeichen beziehungsweise der Junktor ∧, das deutsche Wort „und“, oder die Wahrheitswertefunktion „et“. Diese Funktion bestimmt bei einer wahrheitsfunktionalen Konjunktion den Wahrheitswert der Gesamtaussage aus den Wahrheitswerten ihrer Teilsätze.

Übliche Schreibweisen sind A und B, A and B, A .and. B, A ∧ B, A & B, A ∩ B, AB und A ▪ B. A ▪ B wird als „A Produkt B“, nicht als „A mal B“, gelesen. In der polnischen Notation heißt die Konjunktion Kab. Das Multiplikationszeichen ▪ ist besonders in älterer Literatur zu finden, wird aber wegen der Verwechslungsgefahr mit der Multiplikation nur noch unüblich verwendet.

In der Digitaltechnik wird die Konjunktion durch ein AND-Gatter technisch umgesetzt: Sind die Taster E1 und E2 betätigt, leuchtet die Lampe.

Konjunktion in der klassischen Logik

Die klassische Konjunktion ist ein Boolescher Ausdruck. Ihre Wahrheitswertefunktion, die et-Funktion, ergibt folgende Wahrheitstabelle:

• A wahr, B wahr: A und B ist wahr.
• A wahr, B falsch: A und B ist falsch.
• A falsch, B wahr: A und B ist falsch.
• A falsch, B falsch: A und B ist falsch.

In der Digitaltechnik werden konjunktiv verknüpfte Variablen auch Produktterm genannt.

Wichtige Gesetze der Konjunktion sind:

• Idempotenz: A ∧ A = A
• Assoziativgesetz: A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C
• Kommutativgesetz: A ∧ B = B ∧ A
• De Morgansche Regeln: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B sowie ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Im natürlichen Schließen gibt es für die Konjunktion zwei zentrale Schlussregeln. Die Konjunktionseinführung erlaubt, aus den beiden Aussagen A und B auf A ∧ B zu schließen. Die Konjunktionsbeseitigung erlaubt, aus A ∧ B jeweils auf A beziehungsweise auf B zu schließen.

Konjunktion in mehrwertigen Logiken

Mehrwertige Logiken verwenden mehr als die beiden klassischen Wahrheitswerte wahr und falsch. Bei der Definition einer mehrwertigen Konjunktion versucht man im Allgemeinen, möglichst viele Eigenschaften der klassischen Konjunktion zu erhalten, besonders Kommutativität und Assoziativität.

Eine Funktion T(A,B) ist eine Konjunktion, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

• Kommutativität: T(A,B) = T(B,A)
• Assoziativität: T(A,T(B,C)) = T(T(A,B),C)
• Monotonie: A > B ⇒ T(A,C) ≥ T(B,C)
• Einselement: T(1,A) = A

Stetigkeit und Idempotenz sind weitere sinnvolle, aber nicht notwendige Eigenschaften.

In der dreiwertigen Logik Ł3 von Jan Łukasiewicz (1920) werden die Werte 1, 0,5 und 0 verwendet. Die Ergebnisse der Konjunktion sind:

• 1 mit 1 ergibt 1; 1 mit 0,5 ergibt 0,5; 1 mit 0 ergibt 0.
• 0,5 mit 1 ergibt 0,5; 0,5 mit 0,5 ergibt 0,5; 0,5 mit 0 ergibt 0.
• 0 mit 1, 0,5 oder 0 ergibt jeweils 0.

In der dreiwertigen Logik B3 von Dimitri Anatoljewitsch Bočvar (1938) gelten ebenfalls die Werte 1, 0,5 und 0. Die Ergebnisse lauten:

• 1 mit 1 ergibt 1; 1 mit 0,5 ergibt 0,5; 1 mit 0 ergibt 0.
• 0,5 mit 1 oder 0,5 ergibt 0,5; 0,5 mit 0 ergibt 0,5.
• 0 mit 1 ergibt 0; 0 mit 0,5 ergibt 0,5; 0 mit 0 ergibt 0.

Logik und natürliche Sprache

Das natürlichsprachliche Wort „und“ ist nicht mit der logischen Konjunktion gleichzusetzen. Es kann zusätzliche Beziehungen ausdrücken, die für die logische Wahrheitsfunktion nicht entscheidend sind.

• Ein temporales „und“ bedeutet „und dann“: „Ich aß und ging (dann) nach Hause.“ Es bezeichnet ein zeitliches Nacheinander.
• Ein kausales „und“ bedeutet „und deshalb“: „Der Patient nahm das Medikament und wurde (deshalb) gesund.“ Es drückt eine Ursache-Folge-Beziehung aus.
• Ein explikatives „und“ bedeutet „und damit“: „Der Patient nahm das Medikament und begann (damit) seine Therapie.“ Der zweite Gehalt erläutert den ersten; beide bezeichnen denselben Sachverhalt anhand verschiedener Merkmale.

Umgekehrt kann eine logische Konjunktion auch durch andere sprachliche Mittel ausgedrückt werden. Die Sätze „Es ist Frühling und es regnet“ und „Es ist Frühling, aber es regnet“ sind aussagenlogisch gleichwertig. „Aber“ deutet zusätzlich einen Gegensatz zwischen den Konjunkten an. Dieser Gegensatz ist jedoch aussagenlogisch nicht wahrheitsfunktional.

Durchschnitt von Mengen

In der Mengenlehre lässt sich der Durchschnitt zweier Mengen mit der Konjunktion definieren:

x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)

Ein Element x gehört genau dann zum Durchschnitt A ∩ B, wenn x Element von A und zugleich Element von B ist. Die Konjunktion verbindet hier die beiden Aussagen „x ∈ A“ und „x ∈ B“.