Maximumprinzip (Mathematik)

Kernidee

Das Maximumprinzip ist eine Eigenschaft von Lösungen bestimmter partieller Differentialgleichungen. Wenn eine Funktion dieses Prinzip erfüllt, kann man wichtige Aussagen über ihr Verhalten machen, auch wenn man die Funktion selbst nicht genau kennt. Grob gesagt bedeutet es: Eine Funktion nimmt ihr globales Maximum auf dem Rand ihres Definitionsbereichs an.

Man unterscheidet vor allem zwei Formen. Das starke Maximumprinzip sagt: Wenn eine Funktion ihr Maximum im Innern ihres Definitionsbereichs annimmt, dann muss sie konstant sein. Das schwache Maximumprinzip sagt nur: Das Maximum wird auf dem Rand angenommen; es kann aber zusätzlich auch Maximumsstellen im Innern geben.

Zu Maximumprinzipien gibt es meist entsprechende Minimumprinzipien. Diese machen analoge Aussagen über das Minimum einer Funktion. Das Prinzip kann nicht nur für reellwertige Funktionen formuliert werden, sondern auch für komplexwertige oder vektorwertige Funktionen. Dann betrachtet man das Maximum des Betrags oder der Norm der Funktionswerte. Ein wichtiges Beispiel sind holomorphe Funktionen, also komplex differenzierbare Funktionen.

Hintergrund und Bedeutung

Historisch wurde das erste Maximumprinzip von Bernhard Riemann in seiner Dissertation für harmonische Funktionen formuliert. Harmonische Funktionen sind Lösungen der Laplace-Gleichung. Für sie lässt sich das Maximumprinzip aus der Mittelwerteigenschaft herleiten: Der Funktionswert in einem Punkt hängt dabei mit Mittelwerten auf passenden Umgebungen zusammen.

Eberhard Hopf erweiterte das Prinzip auf Lösungen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Heinz Bauer entwickelte daraus ein allgemeines Maximumprinzip für konvexe Kegel von nach oben halbstetigen Funktionen auf kompakten Räumen. Daraus folgt unter anderem: Nach oben halbstetige, konvexe Funktionen auf kompakten, konvexen Mengen nehmen ihr Maximum auf den Extremalpunkten der konvexen Menge an.

Eine physikalische Motivation liefert die Wärmeleitung. Sei u eine Funktion, die die Temperatur eines Festkörpers abhängig von Ort und Zeit beschreibt, also u = u(x_1, x_2, x_3, t). Weil sich Wärme mit der Zeit im Material ausbreitet, ist u zeitabhängig. Die anschauliche Aussage, dass Wärme nicht aus dem Nichts entsteht, erscheint mathematisch als Maximumprinzip: Der maximale Temperaturwert über Raum und Zeit wird entweder am Anfang des betrachteten Zeitintervalls oder am Rand des betrachteten Raumbereichs angenommen.

Anwendungen

Bei partiellen Differentialgleichungen ist das Maximumprinzip besonders wichtig für Probleme mit Dirichlet-Randbedingungen. Dirichlet-Randbedingungen geben die Werte einer gesuchten Funktion auf dem Rand des betrachteten Gebiets vor. Aus dem Maximumprinzip folgen insbesondere Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen solcher Probleme. Eindeutigkeit bedeutet: Es gibt höchstens eine Lösung mit den vorgeschriebenen Randwerten. Stabilität bedeutet: Kleine Störungen führen nur zu kontrollierten Änderungen der Lösung.

Das Maximumprinzip gilt außerdem für Lösungen parabolischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, zum Beispiel für die Wärmeleitungsgleichung. Es wird auch bei nicht-linearen elliptischen Systemen mit quadratischem Wachstum im Gradienten verwendet, wenn zusätzlich eine Kleinheitsbedingung angenommen wird.

Elliptische Gleichungen zweiter Ordnung

Für elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung betrachtet der Artikel ein offenes und beschränktes Gebiet U ⊂ R^n und einen elliptischen Operator der Form

Lu = -Σ_{i,j=1}^n a_{ij}(x) u_{x_i x_j} + Σ_{i=1}^n b_i(x) u_{x_i} + c(x)u.

Dabei sind die Koeffizienten a_{ij}, b_i und c stetig, und der Operator ist gleichmäßig elliptisch. Die zweite Ordnung erkennt man an den zweiten Ableitungen u_{x_i x_j}. Elliptisch bezeichnet hier eine wichtige Strukturbedingung an den Operator, die unter anderem Maximumprinzipien möglich macht.

Schwaches Prinzip für elliptische Gleichungen

Sei u ∈ C^2(U) ∩ C(Ū). Das bedeutet: u ist im Gebiet U zweimal stetig differenzierbar und auf dem abgeschlossenen Gebiet Ū stetig.

Im Fall c ≡ 0 in U gilt: Falls Lu ≤ 0 in U, dann max_{Ū} u = max_{∂U} u. Das Maximum auf dem abgeschlossenen Gebiet wird also auf dem Rand ∂U erreicht. Falls Lu ≥ 0 in U, dann gilt entsprechend für das Minimum: min_{Ū} u = min_{∂U} u.

Im Fall c ≥ 0 in U gelten abgeschwächte Randabschätzungen. Falls Lu ≤ 0 in U, dann max_{Ū} u ≤ max_{∂U} u^+. Falls Lu ≥ 0 in U, dann min_{Ū} u ≥ -max_{∂U} u^-. Hier bezeichnen u^+ und u^- den positiven beziehungsweise negativen Anteil von u. Diese Formeln zeigen, dass das Verhalten im Innern durch Randwerte kontrolliert wird.

Holomorphe Funktionen

In der Funktionentheorie gilt ein Maximumprinzip für holomorphe Funktionen. Eine Funktion f heißt holomorph in einem Gebiet G, wenn sie dort komplex differenzierbar ist. Das Maximumprinzip folgt aus dem Offenheitsprinzip.

Eine Form lautet: Ist f holomorph im Gebiet G und gibt es einen Punkt c ∈ G, so dass |f| in c ein lokales Maximum hat, also eine Umgebung U ⊂ G von c mit |f(c)| = sup_{z∈U} |f(z)|, dann ist f konstant in G.

Eine zweite Form betrifft beschränkte Gebiete. Sei G beschränkt, und sei f auf Ḡ = G ∪ ∂G stetig und in G holomorph. Dann nimmt |f| sein Maximum auf dem Rand von G an: |f(z)| ≤ sup_{ζ∈∂G} |f(ζ)| für alle z ∈ Ḡ.

Durch Anwendung dieses Satzes auf 1/f erhält man das Minimumprinzip: Ist f holomorph in G und hat f in einem Punkt c ∈ G ein lokales Minimum, also gibt es eine Umgebung U ⊂ G von c mit |f(c)| = inf_{z∈U} |f(z)|, dann gilt f(c) = 0 oder f ist konstant in G.