Huygenssches Prinzip

Grundidee und Bedeutung

Das huygenssche Prinzip, auch Huygens-Prinzip oder huygens-fresnelsches Prinzip genannt, beschreibt die Ausbreitung von Wellen: Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer neuen, kugel- beziehungsweise kreisförmigen Elementarwelle betrachtet werden. Die neue Wellenfront entsteht durch die Überlagerung, also Superposition, sämtlicher Elementarwellen. Sie kann geometrisch als äußere Einhüllende dieser Elementarwellen konstruiert werden.

Eine ideale Kugelwelle hätte auch rückwärts gerichtete Anteile. Diese werden durch Interferenz praktisch vollständig unterdrückt; mathematisch wird dies durch den Fresnel’schen Obliquitätsfaktor beschrieben. Deshalb berücksichtigt die physikalische Konstruktion nur vorwärts gerichtete Halbkugeln. Das Prinzip erklärt grundlegende Erscheinungen der Wellenausbreitung, insbesondere Reflexion, Brechung und Beugung. Zu seinen Spezialfällen gehören die Fraunhoferbeugung im Fernfeld und die Fresnelbeugung im Nahfeld.

Anwendung auf Licht und andere Wellen

Christiaan Huygens schlug das Konzept 1678 zur Erklärung der Lichtausbreitung vor. Jeder von einer Wellenfront erreichte Punkt sendet demnach eine Elementarwelle aus, die sich im gleichen Medium mit derselben Geschwindigkeit wie die ursprüngliche Welle ausbreitet. Huygens nahm an, dass diese Wellen nur in Ausbreitungsrichtung wirken, konnte dies aber nicht qualitativ erklären.

An der Grenze zweier Medien mit unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten ändert eine schräg auftreffende Wellenfront ihre Richtung. Damit lassen sich Reflexion und Brechung erklären. Bei der Reflexion entstehen an den nacheinander erreichten Auftreffpunkten kreisförmige Elementarwellen, deren Radien proportional zur vergangenen Zeit wachsen. Die Tangente an diese Kreise bildet die reflektierte Wellenfront; die Winkel zwischen der einfallenden beziehungsweise reflektierten Wellenfront und der Grenzebene sind gleich.

Augustin Fresnel erweiterte das Prinzip 1816 um die Interferenz. Dadurch konnte die resultierende Welle als Superposition aller Elementarwellen berechnet und die Beugung an Hindernissen erklärt werden. Fresnel sagte unter anderem den Poisson-Fleck voraus: Bei der Beugung von Licht an einem runden Objekt entsteht ein heller Fleck. François Arago bestätigte dieses Phänomen experimentell, was die Wellenoptik gegenüber der damals verbreiteten Korpuskeltheorie stärkte. Gustav Kirchhoff leitete das Prinzip später aus den Maxwell-Gleichungen her und formulierte mit den kirchhoffschen Beugungsintegralen eine präzisere Lösung.

Huygens nahm für Lichtwellen einen Äther als Ausbreitungsmedium an. Seit der allgemeinen Akzeptanz der 1905 veröffentlichten speziellen Relativitätstheorie Albert Einsteins wird dieses Konzept nicht mehr benötigt. In der Quantenmechanik wird der scheinbare Gegensatz zwischen Teilchen- und Wellencharakter des Lichts aufgelöst. Dort dient das Prinzip in Form des Zeigermodells auch zur anschaulichen Erklärung der Ausbreitung von Wahrscheinlichkeitswellen.

Mathematische Formulierung und die Dimensionen eins und zwei

In der Mathematik wird das huygenssche Prinzip in der Theorie partieller Differentialgleichungen verwendet. Für Wellengleichungen besagt es, dass in den Räumen ℝⁿ für ungerade n ≥ 3 eine hintere Wellenfront existiert. Das bedeutet: Werden die Anfangsdaten nur in einer Umgebung eines Punktes gestört, beeinflusst diese Störung die Lösung an diesem Punkt für hinreichend große Zeiten t nicht mehr.

Betrachtet wird die einfache Wellengleichung ∂ₜ²u − Δu = 0 mit den Anfangsdaten u(x,0) = φ(x) und ∂ₜu(x,0) = ψ(x). Dabei ist t ∈ ℝ die Zeitvariable und x ∈ ℝⁿ die Ortsvariable.

Für n = 1 gilt nach der d’Alembertschen Lösungsformel:

u(x,t) = ½(φ(x−t) + φ(x+t)) + ½∫₍ₓ₋ₜ₎⁽ˣ⁺ᵗ⁾ ψ(s) ds.

Wird φ im Intervall [a,b] gestört, hat diese Störung für x₀ ∈ [a,b] zum Zeitpunkt t = T > max(x₀−a, b−x₀) keinen Einfluss mehr, weil die Werte φ(x−T) und φ(x+T) außerhalb des Störintervalls liegen. Für φ gilt das Prinzip daher. Wird dagegen ψ ≠ 0 in [a,b] gestört, bleibt der Einfluss für jeden Zeitpunkt T bestehen, weil weiterhin über das Störintervall integriert wird: u(x,T) = ½∫₍ₓ₋ᵀ₎⁽ˣ⁺ᵀ⁾ ψ(s) ds = ½∫ₐᵇ ψ(s) ds. Im Eindimensionalen gilt das huygenssche Prinzip deshalb im Allgemeinen nicht, sondern nur für das Anfangsdatum φ.

Für n = 2 lautet die Lösungsformel nach der Abstiegsmethode:

u(x,t) = (1/(2π))∫{B(x,t)} ψ(y)/√(t²−|y−x|²) dy + (1/(2π))∂ₜ(∫{B(x,t)} φ(y)/√(t²−|x−y|²) dy).

B(x,t) ist die ausgefüllte Kreisscheibe mit Mittelpunkt x und Radius t. Werden φ oder ψ in einem Rechteck R = [a,b] × [c,d] gestört, umfasst B(x,t) für Punkte x₀ ∈ R bei entsprechend großen Zeiten weiterhin das Rechteck. Somit wird weiterhin über die gestörten Daten integriert. Das huygenssche Prinzip gilt in zwei Dimensionen nicht.

Der dreidimensionale Fall

Für n = 3 wird die Lösung der Wellengleichung durch die Kirchhoffsche Formel angegeben:

u(x,t) = (1/(4πt))∫{S(x,t)} ψ(y) dσₜ(y) + ∂ₜ((1/(4πt))∫{S(x,t)} φ(y) dσₜ(y)).

S(x,t) bezeichnet die Oberfläche der Kugel mit Mittelpunkt x und Radius t; dσₜ(y) ist ihr Oberflächenelement. Anders als im zweidimensionalen Fall wird nur über die Kugeloberfläche und nicht über das gesamte Kugelvolumen integriert.

Werden die Anfangsdaten φ oder ψ auf einem Quader Q = [a,b] × [c,d] × [e,f] gestört, kann die Kugeloberfläche für einen Punkt x⁰ ∈ Q nach genügend langer Zeit den gesamten Quader umschließen. Dann liegt das Störgebiet nicht mehr auf der Integrationsfläche und beeinflusst die Lösung nicht mehr. Dafür muss gelten:

T > max(max(x₁⁰−a, b−x₁⁰), max(x₂⁰−c, d−x₂⁰), max(x₃⁰−e, f−x₃⁰)).

Damit gilt das huygenssche Prinzip im dreidimensionalen Raum. Allgemein besitzen Wellengleichungen eine hintere Wellenfront in ungeraden Dimensionen n ≥ 3; für gerade Dimensionen n gilt das Prinzip nicht.