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Markow-Ungleichung (Stochastik)
Die Markow-Ungleichung, auch Markow'sche Ungleichung oder Ungleichung von Markow genannt, ist eine Ungleichung in der Stochastik, einem Teilgebiet der …
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Kernidee
Die Markow-Ungleichung ist ein Resultat der Stochastik. Sie liefert eine obere Schranke dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass eine reellwertige Zufallsvariable einen vorgegebenen Wert überschreitet. Dadurch kann man Wahrscheinlichkeiten abschätzen, auch wenn die vollständige Verteilung der Zufallsvariable nicht bekannt ist.
Allgemeiner Satz
Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P), eine reellwertige Zufallsvariable X: Ω → ℝ, eine reelle Konstante a und eine monoton wachsende Funktion h: D → [0, ∞). Die Definitionsmenge D muss die Bildmenge von X enthalten. Dann gilt:
h(a) P[X ≥ a] ≤ E[h(X)].
Falls h(a) > 0 ist, folgt daraus die gebräuchliche Form:
P[X ≥ a] ≤ E[h(X)] / h(a).
Dabei bezeichnet E den Erwartungswert. Die Funktion h ermöglicht es, die Ungleichung an verschiedene Situationen anzupassen.
Beweisidee
Mit I_A als Indikatorfunktion der Menge A gilt:
h(a)P[X ≥ a] = ∫ I_{{X≥a}} h(a) dP ≤ ∫ I_{{X≥a}} h(X) dP ≤ E[h(X)].
Die erste Gleichheit folgt aus der Definition der Wahrscheinlichkeit. Auf dem Ereignis X ≥ a ist h(X) wegen der monotonen Wachstums von h mindestens so groß wie h(a). Deshalb kann der Integrand durch I_{{X≥a}}h(X) nach oben abgeschätzt werden. Dieser Ausdruck ist wiederum höchstens der gesamte Erwartungswert E[h(X)], da h(X) nichtnegativ ist.
Wichtige Varianten
Für h(x) = x bei x ≥ 0 und die Zufallsvariable |X| erhält man für a > 0:
P[|X| ≥ a] ≤ E[|X|]/a.
Setzt man a = c·E[|X|] mit c > 0, folgt:
P[|X| ≥ c·E[|X|]] ≤ 1/c.
Eine weitere Wahl führt zur Tschebyscheff-Ungleichung. Mit h(x) = I_{ℝ⁺}(x)x² und Y = |X − E[X]| gilt für a > 0:
P[|X − E[X]| ≥ a] ≤ E[(X − E[X])²]/a² = Var[X]/a².
Für beschränkte Zufallsvariablen gilt außerdem: Sind a,b > 0, |X| ≤ a und E[|X|] ≥ a/b, dann folgt für jedes c > 0:
P[|X| ≤ (1−c)E[|X|]] ≤ 1−c/b.
Diese Schranke wird ähnlich wie die Markow-Ungleichung bewiesen. Wählt man schließlich h(x) = e^{tx}, erhält man für geeignetes t > 0 eine besonders gute Abschätzung; sie steht im Zusammenhang mit der Chernoff-Ungleichung und kann unter bestimmten Voraussetzungen sogar optimal sein.