Liste mathematischer Sätze

Aufbau und Zweck der Liste

Die Liste mathematischer Sätze ist ein alphabetisch geordnetes Nachschlagewerk. Zu jedem wichtigen Satz mit markantem Namen gibt sie einen kurzen Hinweis auf seinen Inhalt; ausführliche Beweise und Anwendungen gehören zu den jeweiligen Einzelartikeln. Viele wichtige Ungleichungen werden ebenfalls aufgenommen.

Die Sortierung richtet sich nach dem Namen des Mathematikers, sofern ein solcher mit dem Satz verbunden ist. Begriffe wie Satz oder Lemma sind keine Sortierkriterien; Fundamentalsatz und Hauptsatz werden dagegen berücksichtigt. Deshalb steht der Satz vom abgeschlossenen Graphen unter A und der Einbettungssatz von Whitney unter W. Mehrfach vorkommende Namen bezeichnen unterschiedliche Sätze, etwa mehrere Sätze von Cauchy, Carnot, Euler, Fermat, Hartogs, Pólya oder Vitali.

Inhaltlich reicht die Liste von elementarer Schulmathematik bis zu Aussagen der modernen Algebra, Analysis, Geometrie, Topologie, Logik, Graphentheorie und Stochastik. Besonders häufig erscheinen Aussagen über Grenzwerte, Konvergenz, Existenz, Eindeutigkeit, Kompaktheit, Fixpunkte, Approximation und Strukturen mathematischer Objekte.

Elementare Algebra, Zahlen und Analysis

Zu den grundlegenden Sätzen der Zahlen gehören der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als eins besitzt eine Primfaktorzerlegung, die bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist. Der Satz des Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Das Lemma von Euklid lautet: Teilt eine Primzahl ein Produkt natürlicher Zahlen, so auch einen der Faktoren. Der kleine fermatsche Satz gibt für jede ganze Zahl a und jede Primzahl p an: aᵖ ≡ a (mod p). Der Satz von Wilson charakterisiert Primzahlen p > 1 durch die Teilbarkeit von (p − 1)! + 1 durch p. Der Primzahlsatz beschreibt die asymptotische Dichte der Primzahlen: π(x) ~ x/ln(x). Weitere zahlentheoretische Themen sind das quadratische Reziprozitätsgesetz, der chinesische Restsatz über simultane Kongruenzen und der Dirichletsche Primzahlsatz über unendlich viele Primzahlen in geeigneten arithmetischen Progressionen.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt: Über den komplexen Zahlen hat jedes Polynom n-ten Grades n Nullstellen, mit Vielfachheiten gezählt. Das Abel-Ruffini-Theorem stellt fest, dass eine allgemeine Polynomgleichung vom Grad fünf oder größer nicht durch Radikale auflösbar ist. Das Eisensteinkriterium liefert ein Kriterium für die Irreduzibilität von Polynomen. Der Satz von Vieta beschreibt den Zusammenhang zwischen Koeffizienten und Nullstellen einer quadratischen Gleichung; der Wurzelsatz von Vieta verallgemeinert dies auf komplexe Polynome und elementarsymmetrische Funktionen der Nullstellen. Der Satz von Cayley-Hamilton sagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist. Der Rangsatz lautet für eine lineare Abbildung f: dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f).

In der Differential- und Integralrechnung werden unter anderem Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel genannt. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt, dass es zwischen zwei Stellen einer differenzierbaren Funktion einen Punkt gibt, an dem Tangentensteigung und Sekantensteigung gleich sind. Der Satz von Rolle garantiert zwischen zwei Nullstellen einer stetigen und differenzierbaren Funktion mindestens eine Stelle mit waagerechter Tangente. Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion zwischen a und b sämtliche Werte zwischen f(a) und f(b) annimmt. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Ableitung und Stammfunktion: Die Ableitung der Stammfunktion einer Funktion ist die Funktion selbst. Der Satz von Taylor beschreibt eine stetig differenzierbare Funktion durch ein Taylorpolynom und ein passendes Restglied. Der Satz von de L’Hospital behandelt Grenzwerte von Brüchen, wenn Zähler und Nenner gegen 0 oder unendlich gehen, indem die Ableitungen betrachtet werden.

Für Reihen und Folgen nennt die Liste unter anderem Einschließungsregel und Einschnürungssatz, Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Nullfolgenkriterium, Cauchysches Konvergenzkriterium, Stirlingformel sowie den Satz von Stolz. Das Monotoniekriterium besagt: Eine monotone Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert, wenn sie beschränkt ist. Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, dass jede beschränkte reelle Zahlenfolge mindestens eine konvergente Teilfolge enthält.

Geometrie und elementare Raumvorstellung

Die Liste enthält zentrale Sätze der Dreiecks-, Kreis-, Vierecks- und Raumgeometrie. Der Satz des Pythagoras lautet für ein rechtwinkliges Dreieck: a² + b² = c². Der Kosinussatz verallgemeinert ihn auf allgemeine Dreiecke: c² = a² + b² − 2ab cos γ. Der Sinussatz beschreibt den Zusammenhang zwischen Seiten und gegenüberliegenden Winkeln; der Tangenssatz bezieht Seiten und halbe Winkelsummen ein. Der Satz von Heron berechnet die Dreiecksfläche aus den Seitenlängen. Der Satz von Ceva gibt eine Formel für die Teilverhältnisse von Dreiecksseiten, wenn sich drei Ecktransversalen in einem Punkt schneiden. Der Satz von Menelaos behandelt Geraden, die ein Dreieck schneiden, und verwendet das Produkt von Teilverhältnissen. Der Winkelhalbierendensatz besagt, dass eine Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten teilt.

Der Satz des Thales charakterisiert die Punkte C, für die ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist: Sie liegen auf dem Kreis um den Mittelpunkt der Strecke AB. Der Sehnensatz beschreibt Beziehungen zwischen sich schneidenden Sehnen eines Kreises. Der Satz von Ptolemäus besagt in einem Sehnenviereck, dass das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten ist. Im Tangentenviereck sind die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten gleich groß; der Satz vom Tangentenviereck gibt umgekehrt an, dass ein Viereck mit dieser Eigenschaft einen Inkreis besitzt. Der Satz von Varignon besagt, dass die Verbindung der Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks ein Parallelogramm ergibt.

Weitere geometrische Aussagen betreffen Kegelschnitte, projektive Geometrie und Polyeder. Der Satz von Pascal und der Satz von Brianchon beschreiben Kollinearitäts- beziehungsweise Schnittpunktbedingungen bei Sechsecken und Kegelschnitten. Der Satz von Desargues charakterisiert aus heutiger Sicht affine und projektive Ebenen, die sich als Ebenen eines zweidimensionalen Vektorraums über einem Schiefkörper beschreiben lassen. Der Euler’sche Polyedersatz lautet für ein dreidimensionales Polyeder: Ecken − Kanten + Flächen = 2. Das Prinzip von Cavalieri behandelt Volumina von Körpern. Der Satz von Pick berechnet den Flächeninhalt eines Polygons aus inneren und Randgitterpunkten: A = I + R/2 − 1. Der Vier-Farben-Satz besagt, dass vier Farben zur Färbung einer Landkarte ohne Ex- oder Enklaven ausreichen, sodass je zwei angrenzende Länder verschiedene Farben erhalten; der Fünf-Farben-Satz nennt fünf Farben als ausreichende Zahl.

Analysis, Funktionentheorie und Differentialgleichungen

Ein großer Teil der Liste behandelt Funktionen, insbesondere holomorphe Funktionen, also komplex differenzierbare Funktionen. Der Identitätssatz für holomorphe Funktionen besagt, dass eine holomorphe Funktion bereits durch ihre Werte auf einer Menge mit Häufungspunkt bestimmt ist. Der Offenheitssatz sagt, dass nicht-konstante holomorphe Funktionen offene Mengen auf offene Mengen abbilden. Der Satz von Liouville lautet: Beschränkte ganze Funktionen sind konstant. Der Satz von Picard besagt, dass das Bild einer nicht-konstanten ganzen Funktion ganz C mit höchstens einem Ausnahmepunkt ist. Der Satz von Weierstrass-Casorati beschreibt, dass eine analytische Funktion in der Umgebung einer isolierten wesentlichen Singularität jeder komplexen Zahl beliebig nahekommt. Der Residuensatz ist ein grundlegendes Verfahren zur Berechnung von Integralen. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz besagt, dass beschränkte Singularitäten holomorpher Funktionen hebbar sind.

Für Reihen holomorpher Funktionen nennt die Liste den Weierstraßschen Konvergenzsatz: Ein lokal gleichmäßiger Grenzwert holomorpher Funktionen ist wieder holomorph. Das Weierstraßsche Majorantenkriterium weist gleichmäßige und absolute Konvergenz einer Funktionenreihe nach. Der Rungesche Approximationssatz behandelt die Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome und rationale Funktionen. Der Satz von Mergelyan sagt: Ist K eine kompakte Teilmenge ohne Löcher in C, so liegen die Polynome dicht in A(K). Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz liefern grundlegende Integraldarstellungen und Aussagen über Integrale holomorpher Funktionen.

Zu den zentralen Sätzen über Maß und Integration gehören der Satz von Fubini zur Rückführung mehrdimensionaler auf eindimensionale Integrale, das Lemma von Fatou, der Satz von der majorisierten Konvergenz sowie der Satz von der monotonen Konvergenz. Letztere behandeln insbesondere, wann Integration und Grenzwertbildung vertauscht werden dürfen. Der Satz von Radon-Nikodym betrifft die Existenz von Dichten bezüglich eines Maßes; der Lebesgue-Zerlegungssatz zerlegt ein Maß in einen absolutstetigen und einen singulären Teil. Der Satz von Heine-Borel charakterisiert die kompakten Teilmengen von Rⁿ als genau die beschränkten und abgeschlossenen Teilmengen. Der Satz von Tychonoff verallgemeinert Kompaktheit auf Produkte kompakter Räume.

Bei Differentialgleichungen behandeln der Existenzsatz von Peano und der Satz von Picard-Lindelöf die Existenz beziehungsweise Existenz und Eindeutigkeit gewöhnlicher Differentialgleichungen. Der Satz von Floquet beschreibt die Struktur von Fundamentalmatrizen bei homogenen linearen Differentialgleichungssystemen mit periodischer Koeffizientenmatrix. Der Satz von der impliziten Funktion und der Satz über die Umkehrfunktion geben Bedingungen für lokale Lösbarkeit beziehungsweise lokale Umkehrfunktionen an.

Wahrscheinlichkeit, Statistik und stochastische Prozesse

Die stochastischen Sätze der Liste beschreiben Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsmaße, Grenzwerte und Prozesse. Der Satz von Bayes ermöglicht die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) aus P(B|A). Die Bienaymé-Gleichung besagt, dass die Varianz einer Summe unkorrelierter Zufallsvariablen gleich der Summe ihrer Varianzen ist. Die Tschebyschow-Ungleichung liefert die Schranke Varianz/k² dafür, dass eine Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeit höchstens Varianz/k² um mehr als k vom Erwartungswert abweicht. Chernoff-, Bernstein- und Hoeffding-Ungleichungen geben obere Schranken für Abweichungen von Summen oder arithmetischen Mitteln unabhängiger Zufallsvariablen an.

Das Gesetz der großen Zahlen umfasst schwaches und starkes Gesetz. Beim schwachen Gesetz konvergiert das arithmetische Mittel stochastisch gegen den Erwartungswert, beim starken Gesetz fast sicher. Der zentrale Grenzwertsatz besagt: Für jede Folge stochastisch unabhängiger, identisch verteilter reeller Zufallsvariablen mit existierendem Erwartungswert und existierender Varianz konvergiert die Folge der Verteilungen der standardisierten Summenvariablen schwach gegen die Standard-Normalverteilung. Der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz beschreibt die Konvergenz reskalierter Summen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Normalverteilung. Der Satz von Berry-Esseen behandelt die Güte dieser Konvergenz; der Satz von Moivre-Laplace die Konvergenz der Binomialverteilung gegen die Normalverteilung. Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller verallgemeinert die Aussage auf nicht identisch verteilte Zufallsvariablen und einen gewissen Grad an stochastischer Abhängigkeit.

Weitere Grenzwertsätze sind das Gesetz des iterierten Logarithmus, der Satz von Donsker, der Satz von Slutsky, der Portmanteau-Satz und der Stetigkeitssatz von Lévy. Der Satz von Borel-Cantelli behandelt den Limes superior von Ereignissen. Das Blumenthalsche Null-Eins-Gesetz sagt für ein Ereignis aus F₀⁺ eines Wienerprozesses mit Filtration (Fₜ)ₜ eine Wahrscheinlichkeit von 0 oder 1 voraus. Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz gilt für terminale Ereignisse einer Folge unabhängiger σ-Algebren. Die Itō-Formel ist ein grundlegender Satz der stochastischen Integration. Die Doob-Zerlegung stellt jeden adaptierten, integrierbaren stochastischen Prozess als Summe aus einem Martingal und einem vorhersagbaren Prozess dar.

In der Statistik nennt die Liste unter anderem den Satz von Gauß-Markow: Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer. Das Neyman-Pearson-Lemma bezeichnet den Neyman-Pearson-Test als gleichmäßig besten Test. Der Satz von Rao-Blackwell und der Satz von Lehmann-Scheffé geben Kriterien für beste beziehungsweise gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer. Der Satz von Glivenko-Cantelli beschreibt die Konvergenz der empirischen Verteilungsfunktion nach Wahrscheinlichkeit.

Algebra, Topologie, Logik und weitere Gebiete

In der Algebra und Gruppentheorie ordnet der Satz von Lagrange die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe in die Gruppenordnung ein: Sie ist ein Teiler der Gruppenordnung. Der Satz von Cayley besagt, dass jede Gruppe isomorph zu einer Gruppe von Permutationen ist. Der Satz von Jordan-Hölder sagt, dass zwei beliebige Kompositionsreihen einer Gruppe G äquivalent sind. Der erste Isomorphiesatz lautet für eine Untergruppe H und einen Normalteiler N: H/(H ∩ N) ≅ HN/N. Der zweite Isomorphiesatz lautet bei N ⊆ H ⊆ G und Normalteilereigenschaft: (G/N)/(H/N) ≅ G/H. Der Korrespondenzsatz stellt eine eindeutige Beziehung zwischen Untergruppen einer Faktorgruppe G/N und Untergruppen von G her, die N umfassen. Der Satz von Nielsen-Schreier besagt, dass Untergruppen freier Gruppen frei sind. Die Sylow-Sätze behandeln p-Untergruppen. Der Satz von Feit-Thompson besagt, dass jede Gruppe ungerader Ordnung auflösbar ist.

Für Ringe und Moduln sind der Hilbertsche Basissatz, der Hilbertsche Nullstellensatz, der Elementarteilersatz, der Satz von Artin-Rees, der Satz von Lasker-Noether und der Satz von Artin-Wedderburn wichtige Strukturresultate. Der Elementarteilersatz beschreibt endlich erzeugte Moduln über einem Hauptidealring; der Hilbertsche Basissatz besagt, dass Polynomringe über noetherschen Ringen wieder noethersch sind. Der Satz von Artin-Wedderburn stellt jeden halbeinfachen Ring als direktes Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern dar. In der Darstellungstheorie besagt der Satz von Maschke, dass sich eine Gruppendarstellung in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegen lässt.

Die Topologie und Geometrie enthalten Aussagen über Räume, Abbildungen und Fixpunkte. Der Fixpunktsatz von Brouwer garantiert für jede stetige Abbildung der n-dimensionalen Vollkugel in sich selbst einen Fixpunkt. Der Fixpunktsatz von Banach garantiert für jede kontrahierende Abbildung auf einem nichtleeren vollständigen metrischen Raum genau einen Fixpunkt. Der Satz von Tarski und Knaster behandelt Fixpunkte monotoner Abbildungen auf vollständigen Verbänden. Der Satz von Baire besagt, dass abzählbare Durchschnitte offener, dichter Mengen in vollständigen Räumen dicht sind. Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder charakterisiert Gleichmächtigkeit über gegenseitige Einbettbarkeit. Der Satz von Zorn ist eine zu Auswahlprinzipien gehörende Maximalaussage: Hat in einer nichtleeren halbgeordneten Menge jede Kette eine obere Schranke, so enthält sie mindestens ein maximales Element. Der Jordansche Kurvensatz sagt, dass eine einfach geschlossene stetige Kurve die Ebene in zwei Gebiete zerlegt. Der Satz von der Invarianz der Dimension besagt, dass offene Mengen aus Rⁿ und Rᵐ für n ≠ m nicht homöomorph sind. Der Einbettungssatz von Whitney sagt, dass jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom eine abgeschlossene Einbettung in R²ⁿ besitzt.

In Logik und theoretischer Informatik stehen unter anderem der Gödelsche Vollständigkeitssatz, der Gödelsche Unvollständigkeitssatz, der Kompaktheitssatz, der Satz von Löwenheim-Skolem, der Satz von Church-Rosser, der Satz von Cook und der Satz von Fagin. Der Gödelsche Vollständigkeitssatz setzt syntaktische und semantische Folgerung in der Logik erster Stufe gleich; der Unvollständigkeitssatz besagt, dass jedes hinreichend mächtige formale System entweder widersprüchlich oder unvollständig ist. Der Kompaktheitssatz sagt, dass eine Formelmenge der Prädikatenlogik erster Stufe genau dann erfüllbar ist, wenn jede endliche Teilmenge erfüllbar ist. In der Graphentheorie behandeln das Handschlaglemma, der Satz von Euler-Hierholzer, der Satz von Menger, der Satz von Kuratowski, der Max-Flow-Min-Cut-Theorem, der Satz von Turán und der Satz von Vizing Grade, Wege, Planarität, Flüsse, verbotene Untergraphen und Färbungen.