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Satz von Cauchy (Geometrie)
Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy's Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker …
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Kernaussage
Der Satz von Cauchy, auch Cauchy-Theorem oder Cauchy’s Oberflächenformel genannt, ist ein Satz der Integralgeometrie. Er gilt für jeden konvexen Körper, also einen Körper ohne Einbuchtungen, bei dem jede Verbindungsstrecke zweier Punkte ganz im Körper liegt.
Der Satz besagt: Wenn man einen konvexen Körper aus allen möglichen Richtungen parallel auf eine Ebene projiziert und den Flächeninhalt dieser Projektionen mittelt, dann beträgt dieser mittlere Flächeninhalt genau ein Viertel der Oberfläche des Körpers. Anders formuliert: Bei zufällig gewählter Projektionsrichtung ist der Erwartungswert des Verhältnisses „Flächeninhalt der Projektion geteilt durch Oberfläche des ursprünglichen Körpers“ gleich 1/4.
Der Satz geht auf Augustin-Louis Cauchy zurück. Cauchy bewies ihn 1841 und 1850 für die Fälle n = 2 und n = 3. Der allgemeine Fall wurde später von T. Kubota, Hermann Minkowski und Tommy Bonnesen bewiesen.
Beispiel Kugel
Für eine Kugel lässt sich der Satz besonders einfach erkennen. Eine Kugel mit Radius r wird bei jeder parallelen Projektion in eine Ebene als Kreis mit demselben Radius r abgebildet.
Der Flächeninhalt jeder solchen Projektion ist daher πr². Die Oberfläche der Kugel beträgt 4πr². Damit ist der Projektionsflächeninhalt πr² genau ein Viertel der Kugeloberfläche 4πr². In diesem Fall ist also nicht nur der Mittelwert, sondern jede einzelne Projektion im Verhältnis 1/4 zur Oberfläche.
Weitere Beispiele
Bei einem Würfel mit Kantenlänge a hängt die Form und Größe der Projektion von der Projektionsrichtung ab. Parallel zu einer Kante entsteht ein Quadrat mit Seitenlänge a und Flächeninhalt a²; das Verhältnis zur Würfeloberfläche 6a² ist 1:6. Parallel zu einer Flächendiagonale entsteht ein Rechteck mit Seitenlängen a und a√2, also Flächeninhalt a²√2; das Verhältnis ist 1:3√2, ungefähr 1:4,2. Parallel zu einer Raumdiagonale entsteht ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge (a/3)√6 und Flächeninhalt a²√3; das Verhältnis ist 1:2√3, ungefähr 1:3,5. In anderen Richtungen entstehen unregelmäßige, aber punktsymmetrische Sechsecke mit unterschiedlichen Flächeninhalten.
Auch bei einem regelmäßigen Tetraeder mit Kantenlänge a unterscheiden sich die Projektionen. Entlang einer Kante entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis a und Höhe (a/2)√2; sein Flächeninhalt ist (a²/4)√2, das Verhältnis zur Tetraederoberfläche a²√3 ist 1:2√6, ungefähr 1:4,90. Parallel zu einer Höhe entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a und Flächeninhalt (a²/4)√3; das Verhältnis ist 1:4. Normal zu zwei windschiefen Kanten entsteht ein Quadrat mit Seitenlänge (a/2)√2 und Flächeninhalt a²/2; das Verhältnis ist 1:2√3, ungefähr 1:3,46. In anderen Richtungen entstehen unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke mit unterschiedlichen Flächeninhalten.
Diese Beispiele zeigen, dass einzelne Projektionen deutlich vom Wert 1/4 abweichen können. Der Satz macht eine Aussage über den Durchschnitt über alle Projektionsrichtungen.
Allgemeiner Fall
Der Satz lässt sich auf konvexe Körper im n-dimensionalen euklidischen Raum verallgemeinern. Dabei wird der Faktor 4 durch den Ausdruck nvₙ/vₙ₋₁ ersetzt.
Dabei bezeichnet vₙ das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel. Eine Einheitskugel ist die Kugel mit Radius 1 im jeweiligen n-dimensionalen Raum. Für höhere Dimensionen hängt der entsprechende Mittelwert also von n und vom Verhältnis der Volumina der Einheitskugeln in Dimension n und n−1 ab.