Linsengleichung

Grundbeziehung der Linsenabbildung

Die Linsengleichung, auch Abbildungsgleichung genannt, beschreibt bei einer optischen Abbildung durch eine Linse den Zusammenhang zwischen drei Größen: der Gegenstandsweite g, der Bildweite b und der Brennweite f. Die Gegenstandsweite g ist der Abstand zwischen dem abzubildenden Gegenstand und der objektseitigen Hauptebene der Linse. Die Bildweite b bezeichnet den Abstand zwischen der bildseitigen Hauptebene und dem entstehenden Bild. Die Brennweite f ist die bildseitige Brennweite der Linse.

Die grundlegende Gleichung lautet:

1/b + 1/g = 1/f.

Sie zeigt, dass die Kehrwerte von Bildweite und Gegenstandsweite zusammen den Kehrwert der Brennweite ergeben. Kennt man zwei dieser Größen, kann die dritte bestimmt werden. Die Gleichung gilt für dünne Linsen sowie für dicke Linsen und Systeme aus mehreren Linsen. Bei dicken Linsen oder Linsensystemen fallen die objekt- und bildseitigen Hauptebenen im Allgemeinen nicht zusammen. Dann werden g und b jeweils von der passenden Hauptebene aus gemessen.

Geometrische Herleitung und Abbildungsmaßstab

Für eine dünne Linse, bei der objekt- und bildseitige Hauptebene zusammenfallen, lässt sich die Linsengleichung mithilfe des Strahlensatzes herleiten. Der Abbildungsmaßstab A ist das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße G. Gleichzeitig entspricht er dem Verhältnis von Bildweite b zu Gegenstandsweite g:

A = B/G = b/g.

G ist die Größe des abzubildenden Gegenstands, B die Größe des Bildes. Betrachtet man zusätzlich den bildseitigen Brennpunktstrahl und die optische Achse, erhält man durch den Strahlensatz:

B/G = (b − f)/f.

Da die linken Seiten beider Beziehungen gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein. Daraus folgt:

b/g = (b − f)/f = b/f − 1.

Durch Addition von 1 und anschließende Division durch b ergibt sich:

1/b + 1/g = 1/f.

Diese Beziehung heißt Linsengleichung oder Abbildungsgleichung. Eine äquivalente Formulierung ist die newtonsche Abbildungsgleichung.

Berechnung bei gewünschter Vergrößerung

Soll eine bestimmte Vergrößerung A erreicht werden, wird zunächst der Abbildungsmaßstab als Verhältnis von Bild- und Gegenstandsgröße beziehungsweise von Bild- und Gegenstandsweite verwendet:

A = b/g.

Zusammen mit der Linsengleichung ergeben sich für die erforderlichen Weiten:

b = (A + 1) · f,

g = (1/A + 1) · f.

Damit lassen sich Bildweite und Gegenstandsweite direkt aus der gewünschten Vergrößerung und der Brennweite bestimmen. Für eine vierfache Vergrößerung gilt beispielsweise:

b = 5f,

g = 5/4 f.

Das Beispiel zeigt, dass bei einer vierfachen Vergrößerung die Bildweite das Fünffache der Brennweite und die Gegenstandsweite das Fünfviertelfache der Brennweite beträgt.

Brennweite, Blickfeld und Brechkraft

Wenn die Bildweite b nicht bekannt ist, etwa bei einer Kamera, können Bildsensorgröße, Blickfeld, Entfernung und Brennweite direkt miteinander verknüpft werden. Soll ein Blickfeld G aus der Entfernung g auf eine Bildsensorgröße B abgebildet werden, wird die Brennweite

f = B/(G + B) · g

benötigt. Ist dagegen die Brennweite f vorgegeben, lässt sich das Blickfeld G im Abstand g auf einem Sensor der Größe B bestimmen:

G = (g/f − 1) · B.

Der Kehrwert der Brennweite ist die Brechkraft D. Nach der Linsengleichung ist sie zugleich die Summe der Kehrwerte von Bildweite und Gegenstandsweite:

1/b + 1/g = 1/f = D.

Die SI-Einheit der Brechkraft ist m⁻¹ = 1/m; sie heißt Dioptrie. In der geometrischen Optik werden die Kehrwerte besonderer Weiten oder Längen als Vergenzen bezeichnet. Die Brechkraft dünner, benachbarter Linsen lässt sich näherungsweise als Summe der Brechkräfte der Einzellinsen berechnen:

1/f₁ + 1/f₂ = 1/f.

Entsprechend ist bei einem Brillenträger die Brechkraft näherungsweise die Summe der Brechkraft des Auges und der Brechkraft der Brille.