Dünne Linse

Grundidee der dünnen Linse

Eine dünne Linse ist eine optische Linse, deren Dicke im Vergleich zu den Radien ihrer brechenden Oberflächen klein ist. In der paraxialen Optik, also bei Lichtstrahlen nahe der optischen Achse und kleinen Winkeln, ersetzt man die tatsächlich endlich dicke Linse durch eine einzige Ebene. Die zwei Brechungen an ihren Grenzflächen werden dabei zu einer Brechung an dieser Ersatzebene zusammengefasst.

Bei einer Linse mit symmetrischem Querschnitt, etwa einer bikonvexen oder bikonkaven Linse, ist diese Ebene die Mittelebene. Ein Strahl durch ihren Mittelpunkt ändert seine Richtung nicht und erfährt keinen Parallelversatz. Die dünne Linse ist eine Idealisierung, die besonders bei großen Radien der Grenzflächen und damit großer Brennweite gut gilt. Brechungsindex und gekrümmte Grenzflächen bleiben für die Brennweite wichtig; zur Beschreibung der dünnen Linse genügt dann aber die Brennweite.

Strahlenkonstruktion und Hauptebene

Bei einer dünnen Linse fallen die zwei Hauptebenen H₁ und H₂ eines allgemeinen optischen Systems in der Ersatz- beziehungsweise Mittelebene zusammen. Es gibt daher nur eine Hauptebene H. Von ihr aus werden die Brennweiten zu den Brennpunkten F und F′ gemessen.

Um den Bildpunkt B′ eines Gegenstandspunktes B zu bestimmen, genügen zwei von drei Hauptstrahlen:

• Der Parallelstrahl trifft parallel zur optischen Achse auf die Linse und läuft danach durch den bildseitigen Brennpunkt F′.
• Der Brennpunktstrahl läuft vor der Linse durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt F und verlässt die Linse parallel zur optischen Achse.
• Der Mittelpunktstrahl geht durch den Mittelpunkt beziehungsweise die Hauptebene und bleibt ungebrochen.

Der Schnittpunkt von zwei dieser Strahlen ist der Bildpunkt B′.

Brechung an einer gekrümmten Fläche

Eine dicke Linse besteht aus einem durchsichtigen Material mit Brechungsindex n₂ und besitzt zwei Grenzflächen zur Umgebung. Im Normalfall ist die Umgebung Luft mit n₁ = 1. An jeder Grenzfläche wird Licht nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen.

Für achsennahe Strahlen und eine gekrümmte Fläche mit Krümmungsradius R ergibt sich für die bildseitige Brennweite:

f₂ = n₂/(n₂ − n₁) · R

Sie hängt nur von den Brechungsindizes beider Materialien und von der Krümmung ab. Bei umgekehrter Lichtrichtung werden die Brechungsindizes vertauscht. Die gegenstandsseitige Brennweite lautet:

f₁ = n₁/(n₁ − n₂) · R

Für Gegenstandsweite a und Bildweite b gilt in der Kleinwinkelnäherung:

n₁/a + n₂/b = (n₂ − n₁)/R = n₂/f₂ = −n₁/f₁

Dabei werden Näherungen wie tan γ′ ≈ sin γ′ sowie kleine Winkel verwendet.

Dicke Linse und Übergang zur Linsengleichung

Bei einer dicken Linse werden zwei Brechungen nacheinander betrachtet. Bei von links einfallendem Licht hat eine Konvexlinse R₁ > 0 und R₂ < 0; bei einer Konkavlinse ist es umgekehrt. Das Bild der ersten Brechung wird zum Gegenstand der zweiten. Mit Linsendicke d gilt für deren Gegenstandsweite a₂ = −(b₁ − d).

Aus beiden Brechungen folgt:

n₁/a₁ + n₁/b₂ = (n₂ − n₁)(1/R₁ − 1/R₂) + n₂d/[b₁(b₁ − d)]

Dabei wird a₁ von der linken und b₂ von der rechten Linsenseite gemessen. Für die gesamte Linse führt man a = a₁ + d/2 und b = b₂ + d/2 ein. Sie gilt als dünn, wenn d ≪ b₂ und d ≪ a₁. Dann vereinfacht sich die Gleichung zur Linsengleichung:

1/a + 1/b = (n₂ − n₁)/n₁ · (1/R₁ − 1/R₂)

Für einen Gegenstand im Unendlichen ist a = ∞ und die Bildweite ist die Brennweite f. Damit lautet die Linsenschleiferformel:

1/f = (n₂ − n₁)/n₁ · (1/R₁ − 1/R₂)

bzw.

f = n₁/(n₂ − n₁) · R₁R₂/(R₂ − R₁).

Für eine bikonvexe Linse mit R₁ = R = −R₂ gilt f = n₁/(n₂ − n₁) · R/2. Dann wird aus 1/a + 1/b = 1/f:

1/a + 1/b = (n₂ − n₁)/n₁ · 2/R.