Lebensdauer (Quantenphysik)

Grundidee der Lebensdauer

Die Lebensdauer, genauer die mittlere Lebensdauer, ist in der Physik die durchschnittliche Verweilzeit eines Objekts in einem bestehenden Zustand bis zu einer plötzlichen Änderung. Sie beschreibt nicht sicher das Schicksal eines einzelnen Objekts, sondern ist eine Kenngröße für ein Ensemble, also für viele identische Objekte. Besonders wichtig ist sie bei instabilen Teilchen und bei Systemen in angeregten Zuständen, die zufällig in einen Zustand niedrigerer Energie übergehen.

Ist kein Zustand niedrigerer Energie verfügbar und wird keine Energie zugeführt, ist ein Objekt stabil; seine Lebensdauer ist dann unendlich. Können Objekte dagegen spontan zerfallen, entsteht eine Häufigkeitsverteilung der einzelnen Lebensdauern. Aus dem Verlauf der Zahl der noch vorhandenen Objekte lässt sich dann eine repräsentative mittlere Verweilzeit für das ganze Ensemble bestimmen.

Das zugrunde liegende Modell nimmt an, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit eines einzelnen Objekts weder von seinem Alter noch von der gegenseitigen Beeinflussung anderer Objekte abhängt. Sie hängt auch nicht von der Größe der noch verbleibenden Population ab. Der spontane Zerfall ist dabei nicht für ein einzelnes Objekt nach einem bekannten Gesetz vorhersagbar; einzelne Lebensdauern können prinzipiell jede denkbare Zeitspanne haben. Für radioaktive Atomkerne und Elementarteilchen stimmt dieses Modell mit Beobachtungen überein.

Zerfallsgesetz und mittlere Lebensdauer

Wenn von der Anzahl der vorhandenen Teilchen N in einer kleinen Zeitspanne Δt ein zu N proportionaler Anteil ΔN spontan zerfällt, gilt:

ΔN = -λ N Δt

λ ist die Zerfallskonstante oder Zerfallswahrscheinlichkeit. Das Minuszeichen zeigt, dass die Anzahl der noch vorhandenen Teilchen abnimmt. Durch Integration erhält man:

N(t) = N₀ e^(-λt)

N₀ ist die Anzahl der Teilchen zu Beginn der Beobachtung. Diese Gleichung heißt Gesetz des radioaktiven Zerfalls oder kurz Zerfallsgesetz. Sie besagt, dass die Zahl der nicht zerfallenen Atomkerne mit der Zeit exponentiell abnimmt. Die zeitliche Entwicklung der noch nicht zerfallenen Teilchen folgt einer Exponentialverteilung.

Als Lebensdauer τ wird der Kehrwert der Zerfallskonstanten verwendet:

τ = 1/λ

Damit ist τ die Zeit, nach der die Anzahl der Teilchen auf den Bruchteil 1/e abgefallen ist. Dieser Wert entspricht ungefähr 37 % der ursprünglichen Anzahl.

Mehrere Zerfallskanäle

Elementarteilchen können manchmal auf verschiedene Arten zerfallen. Solche verschiedenen Möglichkeiten nennt man Zerfallskanäle. Für jeden Zerfallskanal kann es eine eigene partielle Zerfallskonstante geben. Die einzelnen partiellen Zerfallskonstanten addieren sich zur Gesamtzerfallskonstanten.

Formal kann man zu jeder partiellen Zerfallskonstanten den Kehrwert bilden und ihn als partielle Lebensdauer bezeichnen. Diese Größe wird manchmal verwendet, um die verschiedenen Möglichkeiten anschaulicher zu machen. Sie ist aber fiktiv und nicht direkt beobachtbar. Sie würde nur dann der Lebensdauer entsprechen, wenn dieser eine Zerfallskanal der einzig mögliche wäre.

Der tatsächlich beobachtbare Zerfall zeigt immer die Lebensdauer, die zur totalen Zerfallskonstanten gehört. Das gilt unabhängig davon, welcher einzelne Zerfallskanal bei einem Zerfallsereignis beobachtet wird.

Halbwertszeit

In der Radioaktivität wird statt der Lebensdauer häufig die Halbwertszeit T₁/₂ verwendet. Sie ist die Zeit, nach der noch die Hälfte des Ensembles vorhanden ist. Bei einer Exponentialverteilung hängt sie direkt mit der Lebensdauer τ und der Zerfallskonstanten λ zusammen:

T₁/₂ = τ ln 2 = (ln 2)/λ

Die Halbwertszeit beträgt damit etwa 69 % der Lebensdauer. Wenn es mehrere Zerfallskanäle gibt, werden manchmal auch fiktive partielle Halbwertszeiten angegeben, ähnlich wie bei der partiellen Lebensdauer. Sie dienen der Anschaulichkeit, sind aber nicht die unmittelbar beobachtete Gesamt-Halbwertszeit.

Halbwertszeiten und Zerfallskanäle von Radionukliden sind zum Beispiel in der Karlsruher Nuklidkarte angegeben. Verzweigungsverhältnisse und weitere Daten finden sich im Buch Table of Isotopes.

Zusammenhang mit der Quantentheorie

In der Quantentheorie lässt sich die Lebensdauer eines Übergangs oder Zerfalls mit der Unschärfe der Energie verbinden. Grundlage ist eine Form der heisenbergschen Unschärferelation für eine Observable A, also eine messbare physikalische Größe:

ΔE ΔA ≥ 1/2 |⟨[H,A]⟩| ≥ ℏ/2 |d⟨A⟩/dt|

Dabei ist H der Hamiltonoperator, [H,A] der Kommutator, ⟨A⟩ der Erwartungswert von A und ℏ die reduzierte Planck-Konstante. Aus diesem Zusammenhang folgt eine Beziehung zwischen der Energieunschärfe beziehungsweise Zerfallsbreite Γ und der Lebensdauer τ:

Γ τ = ℏ

Die Zerfallsbreite ist dabei Γ = 2 ΔE. Diese Formel ist besonders wichtig, um sehr kurze Lebensdauern zu bestimmen. Dazu misst man die Breite der Energieverteilung, zum Beispiel bei emittierten Photonen oder bei einem Peak in einer Anregungsfunktion, und berechnet daraus die Lebensdauer. Eine doppelte Standardabweichung von etwa 66 keV ergibt eine Lebensdauer von 10^−20 Sekunden.