Lambertsche W-Funktion

Definition und Bedeutung

Die lambertsche W-Funktion, auch Lambert-W-Funktion, Omegafunktion oder Produktlogarithmus genannt, ist in der Mathematik die Umkehrfunktion der Abbildung f: x ↦ x e^x. Das bedeutet: Wenn z = w e^w gilt, dann ist w = W(z). Meist wird sie mit W(x) bezeichnet.

Sie ist wichtig, weil sie Gleichungen lösbar macht, in denen eine Größe zugleich außerhalb und innerhalb einer Exponentialfunktion vorkommt. Die W-Funktion lässt sich nicht als elementare Funktion ausdrücken. Häufig wird sie in der Kombinatorik verwendet, zum Beispiel zur Auswertung von Bäumen oder zur asymptotischen Bestimmung der Bell-Zahlen. Auch außerhalb der Kombinatorik dient sie zum Lösen bestimmter transzendenter Gleichungen.

Reelle Eigenschaften

Im Reellen hat die W-Funktion auf dem Intervall [-1/e, 0) zwei Funktionsäste, weil die Funktion x e^x auf (-∞, 0] nicht injektiv ist. Diese Äste heißen W_0(x) und W_-1(x). Mit W(x) ist in der Regel der obere Ast W_0 gemeint. Am Punkt x = -1/e treffen die Äste bei W(-1/e) = -1 zusammen.

Die Ableitung eines Astes lautet für x > -1/e und x ≠ 0: W'(x) = W(x) / (x(1 + W(x))). Am Punkt -1/e existiert die Ableitung nicht; bei Annäherung wird ihr Betrag in jedem Ast beliebig groß. Für den oberen Ast gilt W'_0(0) = 1, während der untere Ast für x ≥ 0 nicht definiert ist.

Eine Stammfunktion ist: ∫ W(x) dx = x(W(x) - 1 + 1/W(x)) + C. Außerdem erfüllt W die Differentialgleichung: (1 + W) z dW/dz = W, mit z ≠ -1/e.

Die Taylor-Reihe um x_0 = 0 ist: W(x) = Σ_{n=1}^∞ [(-n)^{n-1}/n!] x^n = x - x^2 + 3/2 x^3 - 8/3 x^4 + 125/24 x^5 - … Ihr Konvergenzradius beträgt 1/e.

Komplexe Zweige und besondere Werte

Im Komplexen gibt es für jedes k ∈ Z einen Zweig W_k der W-Funktion. Die Zweige W_0 und W_-1 entsprechen den reellen Zweigen. Der Hauptzweig W_0 ist auf der gesamten komplexen Zahlenebene definiert und erfüllt W_0(0) = 0. Für alle anderen Zweige gilt lim_{z→0} W_k(z) = -∞ für k ≠ 0; diese Nebenzweige haben also bei z = 0 eine Definitionslücke.

Die Verzweigungsstelle des Hauptzweigs liegt bei z = -1/e und setzt sich entlang der negativen reellen Halbachse in Richtung -∞ fort. Diese Verzweigung trennt den Hauptzweig von den Nebenzweigen W_-1 und W_+1. Auf den Nebenzweigen beginnt die Verzweigung bereits bei z = 0 und läuft ebenfalls in Richtung -∞. Alle Zweige sind injektiv und ihre Wertebereiche sind disjunkt.

Wichtige spezielle Werte sind: W(-π/2) = iπ/2, W(-1/e) = -1, W(-ln 2 / 2) = -ln 2, W(0) = 0, W(1) = 0,5671432904… = Ω, die Omega-Konstante, W(e) = 1.

Integrale und Berechnung

Für die W-Funktion gibt es Integraldarstellungen. Eine Darstellung für den Kehrwert von 1 + W(x) lautet: 1/(1 + W(x)) = ∫_{-∞}^{∞} 1/([x exp(y) - y]^2 + π^2) dy. Auch W(x) selbst besitzt Integralidentitäten. Der Artikel nennt Arbeiten von German Kalugin, David Jeffrey, Robert Corless und István Mező zu solchen Integralrepräsentationen.

Es gibt außerdem Integrale, in denen die W-Funktion selbst vorkommt. Beispiele sind: ∫_0^{+∞} W(x)/(x√x) dx = √(8π), ∫_0^{+∞} W(x)/(x∛x) dx = 3^{5/3} Γ(2/3), ∫_0^{+∞} W(x)/(x∜x) dx = 2^{7/2} Γ(3/4), ∫_0^{+∞} W(x)/(x fünfte Wurzel aus x) dx = 5^{9/5} Γ(4/5). Dabei bezeichnet Γ die Gammafunktion.

Numerisch kann W(z) rekursiv angenähert werden. Eine angegebene Iteration lautet: w_{j+1} = w_j - (w_j e^{w_j} - z)/(e^{w_j}(w_j + 1) - ((w_j + 2)(w_j e^{w_j} - z))/(2w_j + 2)). Alternativ kann das Newton-Verfahren auf w e^w - z = 0 angewendet werden: w_{j+1} = w_j - (w_j e^{w_j} - z)/(e^{w_j} + e^{w_j} w_j). Für große x gilt näherungsweise: W_0(x) ≈ ln(x) - ln(ln(x)) + ln(ln(x))/ln(x).

Anwendungen und Verallgemeinerungen

Die W-Funktion kann Gleichungen der Form a(x) e^{a(x)} = y lösen, wobei a(x) ein von x abhängiger Ausdruck ist. Auch die Gleichung x^x = z lässt sich mit ihr lösen: x = ln z / W(ln z) = exp(W(ln z)).

Der unendliche Potenzturm x ↑↑ ∞ = x^{x^{x^{...}}} kann an den konvergenten Stellen in geschlossener Form dargestellt werden: x ↑↑ ∞ = W(ln(1/x)) / ln(1/x).

Verallgemeinerungen der W-Funktion entstehen bei Gleichungen wie e^{-cx} = a_0(x - r), deren Lösung x = r + (1/c) W(c e^{-cr}/a_0) ist. Weitere verallgemeinerte Formen behandeln rechte Seiten mit quadratischen Polynomen, etwa e^{-cx} = a_0(x - r_1)(x - r_2), oder Verhältnisse unendlicher Produkte von Polynomen. Der Artikel nennt Anwendungen in allgemeiner Relativitätstheorie, Quantenmechanik, Quantengravitation, Atom- und Molekularphysik sowie Zusammenhänge mit dem Keiper-Li-Kriterium für die Riemannsche Vermutung.

Bezüge zu anderen Funktionen und Werte

Die W-Funktion steht in Beziehung zu verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen. Der Artikel gibt dazu Formeln an, die die Riemannsche Zetafunktion ζ(n) mit hypergeometrischen Funktionen _{n+1}F_n für a_1 = a_2 = … = a_n = 1 und n - 1 ∈ N verknüpfen.

Auch zur Fox H-Funktion wird eine direkte Beziehung angegeben, insbesondere über eine Relation für den komplex-konjugierten Ausdruck von W_-1(-α z), abhängig davon, ob |z| < 1/(e|α|) gilt oder nicht.

Für reelle Werte zeigt die Tabelle den oberen Zweig W_0 und den unteren Zweig W_-1. Beispiele für W_0 sind W_0(0) = 0, W_0(1,2) ≈ 0,6356, W_0(10) ≈ 1,7455 und W_0(40) ≈ 2,6968. Für den unteren Zweig gilt zum Beispiel W_-1(-0,1) ≈ -3,5772, W_-1(-0,01) ≈ -6,4728 und W_-1(0) = -∞. Andere Werte lassen sich über x = y e^y berechnen.