Kreisgruppe

Grundidee und Definition über Winkel

Die Kreisgruppe S, auch Torusgruppe T genannt, fasst die Drehungen um einen festen Punkt in einer Ebene zusammen. Eine Drehung wird eindeutig durch einen Winkel beschrieben. Führt man zwei Drehungen hintereinander aus, entspricht dies der Addition ihrer Winkel. Eine volle Umdrehung wird mit keiner Drehung identifiziert, daher werden Winkel unterschieden, die sich nur um eine ganze Zahl voller Umdrehungen unterscheiden.

Als Gruppe der Winkel mit Addition lässt sich die Kreisgruppe als Faktorgruppe S := R/Z definieren. Dabei werden je zwei reelle Zahlen miteinander identifiziert, wenn sie sich um eine ganze Zahl unterscheiden. Für Winkel im Bogenmaß ist auch die Definition S := R/(2πZ) möglich.

Wählt man als Repräsentanten reelle Zahlen zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich), wird nach jeder Addition der Vorkommateil weggelassen. Dadurch gilt beispielsweise:

0,3 + 0,4 = 0,7, 0,3 + 0,8 = 0,1, 0,4 + 0,6 = 0,0.

Die Konstruktion ist möglich, weil Z als Untergruppe der abelschen Gruppe R ein Normalteiler ist. Da Z außerdem abgeschlossen ist, ist R/Z wieder eine topologische Gruppe. Sie übernimmt von R unter anderem die Eigenschaften der Lokalkompaktheit und der Metrisierbarkeit.

Die Kreisgruppe als Lie-Gruppe

Äquivalent kann die Kreisgruppe als spezielle orthogonale Gruppe SO(2) beschrieben werden. Sie besteht aus den reellen Matrizen der Form

(a b; −b a)

mit a² + b² = 1; die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation. Diese Matrizen sind genau die Drehmatrizen im zweidimensionalen Raum. Die Koordinaten (a,b) bilden einen Punkt auf dem Einheitskreis, denn die Bedingung a² + b² = 1 beschreibt diesen Kreis.

Der Einheitskreis, auch 1-Sphäre genannt, ist eine eindimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Die Gruppenverknüpfung ist mit dieser Mannigfaltigkeitsstruktur verträglich. Deshalb ist die Kreisgruppe eine Lie-Gruppe. Sie ist außerdem kompakt, weil der Einheitskreis eine kompakte Teilmenge der Ebene ist.

Die Exponentialabbildung exp führt vom Tangentialraum im Punkt (1,0) in die Kreisgruppe. Identifiziert man die Elemente dieses Tangentialraums kanonisch mit den reellen Zahlen, erhält man einen surjektiven Homomorphismus exp: R → S. Die Kreisgruppe ist damit eine Einparameter-Gruppe.

Die zugehörige Lie-Algebra besteht aus Matrizen der Form

(0 a; −a 0).

Ihre Lie-Klammer ist der Kommutator und stets gleich 0. Die Exponentialabbildung der Lie-Gruppentheorie ist hier das Matrixexponential und stimmt mit der Exponentialabbildung der riemannschen Geometrie überein. Die additive Gruppe R ist über diese Exponentialabbildung die universelle Überlagerungsgruppe der Kreisgruppe. Daraus folgt, dass die Fundamentalgruppe des Kreises die additive Gruppe der ganzen Zahlen Z ist.

Beschreibung als unitäre Gruppe

Eine weitere Beschreibung ist U(1), die Gruppe der unitären Transformationen auf dem eindimensionalen komplexen Vektorraum C. Konkret gilt

S = U(C) = U(1) = {c ∈ C | |c| = 1}.

U(1) besteht also aus genau den komplexen Zahlen mit Betrag 1. Nach der eulerschen Formel kann jedes Element als e^{iφ} mit φ ∈ R geschrieben werden. In der Gaußschen Zahlenebene entspricht die Multiplikation mit e^{iφ} einer Drehung um den Winkel φ. Die Lie-Algebra besteht in dieser Beschreibung aus den imaginären Zahlen.

Für z = e^{iθ₁} und w = e^{iθ₂} gilt

zw = e^{i(θ₁ + θ₂)}.

Die Definition der Gruppenoperationen lautet damit

e^{iθ₁}e^{iθ₂} = e^{i(θ₁ + θ₂)},

(e^{iθ})⁻¹ = e^{-iθ}.

Dabei entsprechen e^{iθ} und e^{i(θ + N2π)} für N ∈ Z demselben Element. U(1) ist der Spezialfall der unitären Gruppe U(n) für n = 1. Die Gruppen U(1), SO(2) und S¹ sind isomorph, also strukturerhaltend gleich beschreibbar. U(1) ist abelsch und kompakt und gilt in Mathematik und Physik als die einfachste kompakte Lie-Gruppe.

Darstellungen und Ladungsoperator

Eine Darstellung beschreibt, wie Gruppenelemente als lineare Transformationen auf einem Vektorraum wirken. Für U(1) sind alle Darstellungen über C unitär. Alle irreduziblen Darstellungen, also solche, die sich nicht in kleinere nichttriviale Darstellungen zerlegen lassen, sind eindimensional. Sie haben für ein k ∈ Z die Form

e^{iθ} → e^{ikθ} ∈ U(1) ⊂ GL(1,C).

Jede n-dimensionale Darstellung über C zerfällt daher in eine direkte Summe eindimensionaler Darstellungen:

H_{k₁} ⊕ … ⊕ H_{kₙ},

wobei dim(H_{k₁}) = … = dim(H_{kₙ}) = 1 ist. Auf dem Raum H_{k_l}, l = 1,…,n, wirkt e^{iθ} durch Multiplikation mit e^{ik_lθ}.

Für die Darstellung H_{q₁} ⊕ … ⊕ H_{qₙ} ist der Ladungsoperator Q die Diagonalmatrix

Q = diag(q₁, q₂, …, qₙ),

also

(q₁ 0 … 0; 0 q₂ … 0; … … … …; 0 0 … qₙ).

Die Zahlen q₁,…,qₙ sind die Eigenwerte dieses Operators. In physikalischen Anwendungen können sie als Ladungen beziehungsweise als quantisierte Drehimpulse interpretiert werden.

Charaktere und Fourier-Reihe

In der harmonischen Analyse untersucht man unitäre Darstellungen lokalkompakter topologischer Gruppen. Ein Charakter ist dabei eine eindimensionale Darstellung, also ein stetiger Homomorphismus in die Kreisgruppe. Charaktere sind stets irreduzibel. Umgekehrt folgt aus dem Lemma von Schur, dass jede irreduzible, stark-stetige unitäre Darstellung einer abelschen lokalkompakten topologischen Gruppe eindimensional und damit ein Charakter ist.

Die Charaktere der Kreisgruppe T sind genau die stetigen Homomorphismen T → T. Jeder Charakter hat die Form

χ_n(z) = z^n für ein n ∈ Z.

Die Menge der Charaktere kann daher mit Z identifiziert werden. Dass diese Menge selbst eine Gruppenstruktur besitzt, ist ein Spezialfall der Pontrjagin-Dualität.

Periodische Funktionen können als Funktionen auf der Kreislinie aufgefasst werden. Die topologische Struktur liefert einen natürlichen Stetigkeitsbegriff, die Gruppenstruktur zusammen mit dem Haarmaß einen natürlichen Integrierbarkeitsbegriff und die differenzierbare Struktur einen natürlichen Differenzierbarkeitsbegriff.

Da die Kreisgruppe abelsch ist, wird die Fourier-Transformation vollständig durch ihre Charaktere beschrieben. Jeder Charakter χ: S → S ist differenzierbar und erfüllt

χ(x) = exp(arg(x)(Dχ)(1)),

wobei arg die Argumentfunktion bezeichnet. Wegen der Periodizität muss die Ableitung am neutralen Element ein ganzzahliges Vielfaches von i sein. Deshalb lauten die Charaktere

χ_m(x) := exp(m arg(x)i) = x^m, m ∈ Z.

Diese Charaktere bilden, wenn das Maß der gesamten Kreisgruppe auf 1 normiert ist, eine Orthonormalbasis des Raumes L²(S) der quadratintegrablen komplexwertigen Funktionen auf der Kreisgruppe. Jede quadratintegrable periodische Funktion kann somit durch ihre Fourier-Transformierte beschrieben werden. Weil es nur abzählbar viele Charaktere gibt, wird die Rücktransformation als Reihe dargestellt, die Fourier-Reihe genannt wird. Die Vollständigkeit dieser Darstellung folgt elementar aus dem Satz von Stone-Weierstraß.

Bedeutung in der Physik

In der Quantenmechanik wirkt U(1) auf komplexwertige Wellenfunktionen durch eine punktweise Phasentransformation f → e^{iθ}f. Dabei handelt es sich um eine globale Eichinvarianz. Wird die Phase zu einer Funktion θ(x,t) von Raum und Zeit, erhält man eine lokale Eichtheorie. Die Eichgruppe U(1) entspricht dann der Quantenelektrodynamik und auch der klassischen Elektrodynamik.

Für die Phase Qθ(x,t) entsprechen die Eigenwerte des Ladungsoperators Q den elektrischen Ladungen der Teilchen. In der Quantenelektrodynamik ist der zugrunde liegende Raum der Minkowskiraum. Das relativistische Vektorpotential entspricht dem Zusammenhang auf einem U(1)-Hauptfaserbündel, der Feldstärketensor der Krümmungs-2-Form dieses Bündels.

Drehungen um eine feste Achse können ebenfalls mit U(1) identifiziert werden. Die Eigenwerte von Q werden in diesem Zusammenhang als quantisierte Drehimpulse in Richtung der gegebenen Achse interpretiert. Der eindimensionale harmonische Oszillator besitzt U(1)-Symmetrie durch Drehungen in der Ort-Impuls-Ebene; dort ist Q ein skalares Vielfaches des Hamilton-Operators.

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik werden die Wechselwirkungen der Materiefelder durch Eichsymmetrien mit den Eichgruppen U(1), SU(2) und SU(3) beschrieben. SU(2) und SU(3) sind nichtabelsch; die zugehörigen Feldtheorien heißen Yang-Mills-Theorien. Auch in Grand Unified Theories (GUTs) treten U(1)-Komponenten auf, unter anderem nach spontanem Symmetriebruch. Eine weitere Anwendung ist der ganzzahlige Quanten-Hall-Effekt: Seine ganzzahligen Quantenzahlen der elektrischen Leitfähigkeit werden durch eine topologische Invariante beschrieben, die der ersten Chernklasse eines U(1)-Faserbündels entspricht.

In der Quantenfeldtheorie kann eine globale Eichsymmetrie durch die Kreisgruppe entstehen, wenn ein Feld an jeder Stelle mit einer komplexen Zahl vom Betrag 1 multipliziert wird. Bleiben dabei Lagrangedichte und Wirkung unverändert, liefert das Noethertheorem eine Erhaltungsgröße, die oft als elektrische Ladung verstanden wird, sowie einen lokal erhaltenen Strom, der die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Die Invarianz bedeutet, dass die Lagrangedichte nur von Betragsquadraten komplexer Feldgrößen abhängt; für einen Operator A entspricht dies A* A.