Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Kopfrechnen
Unter Kopfrechnen versteht man die Lösung mathematischer Aufgaben nur mit dem Gehirn (also ohne Hilfsmittel). Dabei werden verschiedene Techniken verwendet, …
Inhalt6 Abschnitte
Begriff und Grundlagen
Kopfrechnen bedeutet, mathematische Aufgaben ausschließlich mit dem Gehirn, also ohne Hilfsmittel, zu lösen. Dafür nutzt man unterschiedliche Techniken, die unter anderem auf Rechengesetzen beruhen. Kopfrechnen ist im Alltag und im Mathematikunterricht wichtig, weil es den sicheren Umgang mit Zahlen fördert und Ergebnisse schnell abschätzbar macht.
Eine Grundlage ist der Zahlensinn: die angeborene, intuitive Fähigkeit, Mengen und Anzahlen wahrzunehmen, zu unterscheiden sowie Veränderungen von Mengen zu erkennen und zu bestimmen. Hinzu kommen erlernte Kenntnisse und Fertigkeiten, insbesondere einfache Additions- und Subtraktionsaufgaben, das auswendig gelernte kleine Einmaleins und das Dividieren. Diese Fähigkeiten lassen sich trainieren.
Allgemeines oder „echtes“ Kopfrechnen kann alle Funktionen umfassen, die ein durchschnittlicher Schultaschenrechner beherrscht, außerdem beispielsweise die Wochentagsberechnung. Davon zu unterscheiden sind Vorführungen mit besonders großen Zahlen: Hinter solchen beeindruckenden Kunststücken stehen oft mathematische Besonderheiten, die nur für eine spezielle Aufgabe geeignet sind und keinen Nutzen im täglichen Leben haben. Rechenkünstler und manche Savants fallen durch außergewöhnliche Schnelligkeit, Kalenderrechnen, Wurzelaufgaben oder ein sehr großes Gedächtnis auf. Seit 2004 finden alle zwei Jahre offizielle Weltmeisterschaften im Kopfrechnen statt.
Allgemeine Arbeitsprinzipien
Kopfrechenmethoden berücksichtigen die Grenzen des Arbeitsgedächtnisses. Die meisten Menschen können sich auf Anhieb nicht mehr als ungefähr sieben Ziffern merken; dies wird als Millersche Zahl bezeichnet. Außerdem ist es schwierig, ein Zwischenergebnis festzuhalten, während weitere Teilrechnungen ausgeführt werden. Mit großen Ziffern wie 7, 8 und 9 fällt das Rechnen meist schwerer als mit 2, 3 und 4.
Deshalb zerlegen die Methoden komplexe Rechenschritte in mehrere einfache Schritte, ordnen sie möglichst gedächtnisschonend und liefern häufig schon früh eine brauchbare Näherung.
Die bevorzugte Rechenrichtung ist umstritten. Benjamin und Shermer empfehlen, von links nach rechts zu rechnen. Dadurch entstehen die Ergebnisziffern in der Reihenfolge, in der die Zahl gesprochen wird; außerdem kann eine frühe Näherung wie 52.000 bereits genügen. Gert Mittring hält diese Richtung dagegen für fehlerträchtiger und gedächtnisintensiver. F. Ferrol empfiehlt, den schwierigsten Teil zuerst zu erledigen. Das ist sinnvoll, weil sonst das Ergebnis eines einfachen ersten Teils während der längeren schwierigen Rechnung vergessen werden kann.
Eine weitere Technik ist die Gruppierung von Ziffern. Dabei fasst man etwa zwei Ziffern zu einer Zahl zusammen und behandelt sie als Einheit. Das verlangt gute Rechenfertigkeiten, ermöglicht aber den Umgang mit längeren Zahlenfolgen. Beim Merken von Telefonnummern werden häufig zwei bis vier Ziffern zu einer Einheit, einem sogenannten „Chunk“, verbunden.
Kreuzmultiplikation
Die Kreuzmultiplikation ist eine allgemein anwendbare Basismethode für mehrstellige Faktoren. In der älteren Ausführung werden beide Faktoren zerlegt:
a = a₁ + a₀ b = b₁ + b₀ a · b = a₁ · b₁ + a₁ · b₀ + a₀ · b₁ + a₀ · b₀.
Bei zweistelligen Zahlen sind a₁ und b₁ normalerweise die Zehnerzahlen, a₀ und b₀ die Einerzahlen. Der Name entsteht, weil im Mittelteil Zehner- und Eineranteile über Kreuz multipliziert werden. Für 18 · 32 gilt beispielsweise 10 · 30 + 8 · 30 + 10 · 2 + 8 · 2 = 300 + 240 + 20 + 16 = 576. Bei dreistelligen Faktoren zerlegt man entsprechend in drei Anteile und multipliziert diese algebraisch miteinander.
Die effizientere Ferrol’sche Ausführung behandelt einzelne Ziffern und benötigt bei zweistelligen Zahlen drei statt vier Schritte. Mit Zehnerziffern zₐ, zᵦ und Einerziffern eₐ, eᵦ gilt:
a · b = (zₐ · eᵦ + eₐ · zᵦ) · 10 + (zₐ · zᵦ) · 100 + eₐ · eᵦ.
Ferrol berechnet zuerst den besonders schwierigen Kreuzterm, danach Hunderter und Einer. Für 18 · 32 entstehen 26 Zehner, 3 Hunderter und 16 Einer, zusammen 576. Da nur einzelne Ziffern multipliziert werden und die Zehnerpotenzen ausgeklammert sind, bleibt die Belastung gering.
Spezialfälle ergeben sich unmittelbar: Bei gleichen Einerziffern e wird der Kreuzterm zu (zₐ + zᵦ) · e · 10. Bei gleichen Zehnerziffern z wird er zu (eₐ + eᵦ) · z · 10. Ergänzen sich im zweiten Fall die Einerziffern zu 10, ergibt der Kreuzterm z · 100; so lässt sich 43 · 47 als 16 · 100 + 400 + 21 berechnen.
Bei Spiegelzahlen wie 43 und 34 gilt a · b = z₁ · z₂ · 101 + (z₁² + z₂²) · 10. Für 43 · 34 ergibt das 3 · 4 · 101 + (3² + 4²) · 10 = 1212 + 250 = 1462.
Additions- und Referenzmethode
Die Additionsmethode ist direkt und allgemein anwendbar. Ein Faktor wird als Summe zerlegt:
b = b₁ + b₀ a · b = a · b₁ + a · b₀.
Damit ist 18 · 32 = 18 · 30 + 18 · 2 = 540 + 36 = 576. Die Subtraktionsmethode ist ein Sonderfall mit negativem b₀ und kann bei Faktoren vorteilhaft sein, die auf 8 oder 9 enden: 18 · 39 = 18 · 40 − 18.
Die Referenzmethode eignet sich besonders, wenn die Faktoren relativ nahe beieinander liegen, ungefähr mit einem Abstand unter 20. Man wählt gewöhnlich eine nahe runde Referenzzahl r und setzt
a = r + a₀ b = r + b₀ a · b = r · (b + a₀) + a₀ · b₀.
Für 39 · 33 wählt man r = 40, a₀ = −1 und b₀ = −7. Daraus folgen 40 · 32 + (−1) · (−7) = 1280 + 7 = 1287. Schon der erste Schritt liegt nahe am Ergebnis. Gleichwertig ist a · b = r · (r + a₀ + b₀) + a₀ · b₀, diese Schreibweise benötigt jedoch eine Addition mehr.
Haben zwei Zahlen dieselbe Zehnerziffer und ergänzen sich ihre Einerziffern zu 10, vereinfacht sich die Rechnung. Bei 43 · 47 gilt 40 · 50 + 3 · 7. Allgemein wird die Zehnerziffer z mit z + 1 multipliziert; die letzten beiden Stellen sind für das Produkt der Einerziffern vorgesehen.
Liegt zwischen den Faktoren eine runde Zahl, kann die Differenz zweier Quadrate verwendet werden: a · b = m² − d², wobei m den Mittelwert und d den Abstand vom Mittelwert bezeichnet. Im Artikel werden dazu die Formeln m = ((a+b)/2)² und d = ((a−b)/2)² angegeben. Das Beispiel 18 · 22 verwendet m = 20 und d = 2 und ergibt 20 · 20 − 2 · 2 = 396. Diese Regel heißt im Englischen „Quarter Squares Rule“.
Quadrieren und Faktorisieren
Zum Quadrieren, also zur Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, kann die Kreuzmultiplikation auf die erste binomische Formel zurückgeführt werden:
a = a₁ + a₀ a² = a₁² + 2 · a₁ · a₀ + a₀².
Für zweistellige Zahlen zwischen 30 und 70 wird a₁ = 50 gewählt. Dann gilt a² = (25 + a₀) · 100 + a₀². Beispiele: 58² = (25 + 8) · 100 + 8² = 3364; bei 37 ist a₀ = −13, also 37² = (25 − 13) · 100 + 13² = 1369.
Auch die Referenzmethode lässt sich zum Quadrieren einer beliebigen Zahl verwenden. Für a = r + a₀ gilt a · a = r · (a + a₀) + a₀². So wird 33² mit r = 30 und a₀ = 3 zu 30 · 36 + 3² = 1089.
Besonders einfach sind Zahlen, die auf 5 enden. Ist a = 10 · z + 5 mit z ∈ ℕ, dann gilt a² = 100 · z · (z + 1) + 25. Man multipliziert also z mit z + 1 und hängt 25 an. Beispiel: 35² = 30 · 40 + 25 = 1225.
Bei der Faktorisierungsmethode werden die Faktoren selbst in Produkte zerlegt und anschließend günstig neu geordnet:
a = a₁ · a₀ b = b₁ · b₀ a · b = (a₁ · b₁) · a₀ · b₀.
Vorteilhaft ist ein leicht verwendbares Teilprodukt, etwa 10 = 2 · 5, 100 = 2 · 2 · 5 · 5, 301 = 7 · 43 oder 1001 = 7 · 11 · 13. Für 86 · 14 kann man 86 = 2 · 43 und 14 = 2 · 7 setzen. Weil 43 · 7 = 301 ist, folgt (2 · 2) · 301 = 1204. Auch nur ein Faktor kann günstig zerlegt werden, etwa 17 · 66 = 17 · 6 · 11.
Multiplikation mit bestimmten Zahlen
Jakow Trachtenberg systematisierte Methoden für Multiplikationen mit speziellen Zahlen zwischen 2 und 12. Ein klassischer Fall ist die Multiplikation mit 11.
Bei einer zweistelligen Zahl bleiben die erste und die letzte Ziffer grundsätzlich erhalten; dazwischen steht ihre Summe. Daher ist 11 · 13 = 143, denn 1 + 3 = 4. Ist die Summe größer als 9, erfolgt ein Übertrag auf die linke Ziffer.
Bei einem dreistelligen Faktor werden benachbarte Ziffern addiert: Für 11 · 123 stehen außen 1 und 3; die zweite Ziffer ist 1 + 2 = 3 und die dritte 2 + 3 = 5. Das Ergebnis lautet 1353.
