Kongruente Zahl

Grundidee

Kongruente Zahlen sind in der Zahlentheorie ganze Zahlen, die als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen dargestellt werden können. Rational bedeutet: Die Seitenlängen dürfen Brüche sein. Für ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a und b gilt für den Flächeninhalt A = 1/2 ab; die Hypotenuse ist c = sqrt(a^2 + b^2). Eine ganze Zahl n ist also kongruent, wenn es rationale Zahlen a, b und c gibt, sodass 1/2 ab = n und a^2 + b^2 = c^2 gilt.

Die Folge der kongruenten Zahlen beginnt mit 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, ... In Tabellen werden quadratfreie kongruente Zahlen mit K bezeichnet, kongruente Zahlen mit quadratischem Faktor mit Q und nicht-kongruente Zahlen mit einem Strich. Quadratfrei heißt: Die Zahl ist durch keine Quadratzahl größer als 1 teilbar.

Allgemeiner werden auch rationale Zahlen, die als Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen auftreten, als kongruente Zahlen bezeichnet.

Quadratfreie Zahlen

Ein wichtiges Reduktionsprinzip lautet: Für jede positive ganze Zahl s ist eine ganze Zahl q genau dann eine Kongruenzzahl, wenn s^2 q eine Kongruenzzahl ist. Deshalb kann man sich beim Kongruenzzahl-Problem auf quadratfreie Zahlen beschränken.

Das bedeutet: Wenn eine Zahl durch einen quadratischen Faktor entsteht, hängt ihre Kongruenzeigenschaft mit der zugehörigen quadratfreien Zahl zusammen. In der Tabelle bis n <= 120 erscheinen deshalb sowohl quadratfreie kongruente Zahlen als auch kongruente Zahlen mit quadratischem Faktor.

Beispiele bis 20

Im Bereich von 1 bis 20 sind die ganzen Zahlen 5, 6, 7, 13, 14, 15 und 20 kongruent. Sie lassen sich jeweils als Flächeninhalt A = 1/2 ab eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Katheten a und b und rationaler Hypotenuse c = sqrt(a^2 + b^2) darstellen.

Beispiele aus der Tabelle sind: Für A = 5 kann man a = 3/2, b = 20/3 und c = 41/6 wählen. Für A = 6 gilt a = 3, b = 4 und c = 5. Für A = 7 gilt a = 35/12, b = 24/5 und c = 337/60. Für A = 15 gilt a = 4, b = 15/2 und c = 17/2.

Besonders einfach ist die Zahl 6: Das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a = 3 und b = 4 hat den Flächeninhalt A = 1/2 ab = 6. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Hypotenuse c = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5. Damit ist 6 eine kongruente Zahl.

Fermats Ergebnis

Pierre de Fermat bewies, dass die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Seitenlängen keine Quadratzahl sein kann. Das ist äquivalent dazu, dass weder 1 noch irgendeine andere Quadratzahl eine kongruente Zahl ist.

Fermat verwendete dabei die seit der Antike bekannte Darstellung eines primitiven pythagoreischen Tripels als (x^2 - y^2, 2xy, x^2 + y^2). Ein primitives pythagoreisches Tripel ist ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen, bei dem die Seiten keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Seine Beweismethode war der unendliche Abstieg, eine Variante der vollständigen Induktion.

Der Beweis zeigt außerdem, dass die Gleichung a^4 + b^4 = c^4 keine Lösung mit positiven ganzen Zahlen a, b, c hat. Das ist ein Spezialfall der Fermatschen Vermutung. Fermat teilte sein Resultat 1659 in einem Brief an Pierre de Carcavi mit; der Beweis wurde 1670 postum veröffentlicht.

Tunnells Kriterium

Der Satz von Tunnell, benannt nach Jerrold B. Tunnell, gibt notwendige Bedingungen dafür an, dass eine Zahl kongruent ist. Für eine quadratfreie ganze Zahl n werden vier Anzahlen definiert:

A_n = #{x,y,z in Z | n = 2x^2 + y^2 + 32z^2}, B_n = #{x,y,z in Z | n = 2x^2 + y^2 + 8z^2}, C_n = #{x,y,z in Z | n = 8x^2 + 2y^2 + 64z^2}, D_n = #{x,y,z in Z | n = 8x^2 + 2y^2 + 16z^2}. Dabei zählt # jeweils, wie viele ganzzahlige Tripel (x, y, z) die Gleichung erfüllen.

Wenn n eine ungerade Kongruenzzahl ist, muss 2A_n = B_n gelten. Wenn n eine gerade Kongruenzzahl ist, muss 2C_n = D_n gelten. Diese Bedingungen sind also notwendig: Jede kongruente Zahl muss sie erfüllen, je nachdem ob sie ungerade oder gerade ist.

Elliptische Kurven

Der Satz von Tunnell ist mit elliptischen Kurven verbunden. Falls die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer für elliptische Kurven der Form y^2 = x^3 - n^2 x gilt, dann sind Tunnells Bedingungen auch hinreichend. Dann wäre die natürliche Zahl n genau dann kongruent, wenn die abelsche Gruppe der rationalen Punkte der elliptischen Kurve E_n: y^2 = x^3 - n^2 x einen Rang von mindestens 1 hat.

Kurt Heegner verband das Problem kongruenter Zahlen mit elliptischen Kurven und bewies 1952, dass eine Primzahl eine kongruente Zahl ist, wenn p ≡ 5 mod 8 oder p ≡ 7 mod 8 gilt. Pan Yan bewies 2014 bedingt, in einer schwachen Form der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, ein entsprechendes Ergebnis für alle positiven quadratfreien ganzen Zahlen n = 5, 6, 7 mod 8. Alexander Smith zeigte 2016, dass mindestens 55,9 Prozent der positiven quadratfreien ganzen Zahlen n = 5, 6, 7 mod 8 kongruente Zahlen sind.