Klassische Losformel

Grundidee und Zweck

Die klassische Losformel, auch Andler-Formel oder Economic Order Quantity (EOQ-Formel), bestimmt die optimale Losgröße y in einer einstufigen, unkapazitierten industriellen Fertigung. Sie sucht die Losgröße, bei der die Summe aus Rüstkosten und Lagerkosten minimal ist. Mit wachsender Losgröße sinken die Rüstkosten, weil weniger Lose und damit weniger Rüstvorgänge benötigt werden. Gleichzeitig steigen die Lagerkosten, weil ein größeres Los länger beziehungsweise in größerer Menge gelagert wird.

Die Methode wurde 1913 von Ford W. Harris entwickelt und 1929 im deutschen Sprachraum von Kurt Andler bekanntgemacht. Eine Untersuchung von Georg Krieg aus dem Jahr 2005 weist auf Unterschiede zwischen den Arbeiten von Andler und Harris sowie auf daraus entstehende Unterschiede bei den Lagerkosten hin. Krieg stellt deshalb infrage, die Harris-Formel als Andler-Formel zu bezeichnen: Andler habe die Harris-Formel nicht lediglich hergeleitet, sondern eine eigene, genauere Losformel entwickelt.

Die Grundsymbole sind: y = Losgröße, T = Periodenlänge, V = Lagerabgangsrate beziehungsweise Absatzgeschwindigkeit, R = maximale Absatzmenge, k = variable Kosten, M = endliche Produktionsgeschwindigkeit mit M > V, C_R = losfixe Kosten, etwa Rüstkostensatz, und C_L = losvariable Kosten, etwa Lagerhaltungskostensatz. Die optimale Losgröße liegt dort, wo die kontrollierbaren Kosten, also Rüst- und Lagerkosten, ein Minimum erreichen.

Annahmen und Kostenbestandteile

Das klassische Modell setzt eine einstufige Fertigung mit freien Kapazitäten voraus. Bei mehrstufiger Fertigung darf es keinen Ausschuss und keine Unterbrechungen geben; die Stufen müssen mit identischen Geschwindigkeiten arbeiten. Die Produktionsgeschwindigkeit ist endlich und höher als die Absatzgeschwindigkeit. Die Losgröße ist beliebig teilbar, und die ermittelte Losgröße kann kapazitiv produziert werden.

Zusätzlich werden ein konstanter Lagerhaltungskostensatz, unbegrenzte Lagerkapazität, genau ein Produkt in genau einem Lager, keine Fehlmengen, ein unendlicher Planungshorizont und ein konstanter Periodenbedarf angenommen. Die Daten bleiben im Zeitablauf konstant, während der Lagerabgang kontinuierlich erfolgt. Die Finanzierung der optimalen Losgröße wird als möglich vorausgesetzt; insbesondere darf der zeitliche Abstand zwischen Produktion und Absatz nicht zu Liquiditätsproblemen führen.

Die Rüstkosten pro Periode ergeben sich aus der Zahl der Umrüstungen und den Kosten je Umrüstung. Bei Absatz- beziehungsweise Produktionsmenge R und Losgröße y gilt:

• Umrüsthäufigkeit: R/y
• Umrüstkosten pro Periode: (R/y) C_R
• Umrüstkosten pro Mengeneinheit: ((R/y) C_R)/R = C_R/y

Die Rüstkosten verlaufen degressiv: Mit steigender Losgröße sinken sie. Bei mehreren Sorten können unterschiedliche Rüstzeiten und Rüstkosten auftreten. Dann muss der relative Deckungsbeitrag als Entscheidungskriterium berücksichtigt werden. Das klassische Modell betrachtet die Sorten jedoch isoliert und ohne Wechselwirkungen.

Lagerbestand bei verschiedenen Fertigungsarten

Die Lagerkosten hängen von der Fertigungstechnologie ab. Kurzfristig bestehen sie hauptsächlich aus Kosten der Kapitalbindung; langfristig kommen Lagerungs- und Kapazitätskosten hinzu. Zunächst wird häufig angenommen, dass der durchschnittliche Lagerbestand der halben Losgröße y/2 entspricht. K. Andler weist jedoch darauf hin, dass auch der durchschnittliche Lagerabgang bei der Bestimmung des Lagerbestands berücksichtigt werden müsse.

Bei unendlicher Produktionsgeschwindigkeit (M → ∞) steht das gesamte Los sofort zur Verfügung. Der durchschnittliche Lagerbestand beträgt y/2, die durchschnittlichen Lagerkosten betragen (y/2) C_L und die gesamten Lagerkosten (y/2) C_L T.

Bei offener Fertigung mit endlicher Produktionsgeschwindigkeit M werden einzelne Erzeugnisse bereits während der Fertigung ausgeliefert. Voraussetzung ist M > V. Ein Los wird während der Produktionsdauer y/M teilweise abgesetzt; die Absatzmenge während dieser Zeit beträgt V y/M. Deshalb beträgt die maximale Lagermenge y(1 − V/M), die durchschnittliche Lagermenge y(1 − V/M)/2. Die Lagerkosten pro Periode sind:

(y/2)(1 − V/M) C_L T.

Bei geschlossener Fertigung gelangt das Los erst nach vollständigem Abschluss der Produktion ins Lager. Während der Aufbauphase wird mit Geschwindigkeit M produziert und mit Geschwindigkeit V abgesetzt; während der Abbauphase findet nur Absatz statt. Der durchschnittliche Lagerbestand beträgt in beiden Phasen y/2(1 + V/M). Die Lagerkosten pro Periode sind daher:

(y/2)(1 + V/M) C_L T.

Die Situation unendlicher Produktionsgeschwindigkeit ist ein Sonderfall der geschlossenen Fertigung, denn lim_{M→∞} V/M = 0. Geschlossene Fertigung verursacht bei gleichen übrigen Bedingungen einen höheren durchschnittlichen Lagerbestand als offene Fertigung.

Bei zeitvariabler Nachfrage, also dynamischem Bedarf, kann R zunächst durch den Mittelwert R̄ der Perioden im Planungshorizont ersetzt oder beispielsweise mit Regressionsanalyse geschätzt werden. Diese Vereinfachung kann jedoch zu erhöhten Lagerkosten oder Fehlmengen führen. Außerdem bestimmt das klassische Modell Losgröße und Losauflagezeitpunkte nicht gleichzeitig optimal.

Kostenminimale und gewinnmaximale Losgröße

Die kostenminimale Losgröße wird durch Differenzialrechnung bestimmt. Für unendliche Produktionsgeschwindigkeit lautet die Kostenfunktion:

K(y) = (R/y) C_R + (y/2) C_L T → min!

Daraus folgt:

y_{kmin} = √(2 R C_R/(C_L T)) = √(2 V C_R/C_L), wegen R = V T.

Für offene Fertigung wird der geringere Lagerbestand berücksichtigt:

y_{kmin} = √(2 R C_R/((1 − V/M) C_L T)) = √(2 V C_R/((1 − V/M) C_L)), wegen R = V T.

Für geschlossene Fertigung gilt:

y_{kmin} = √(2 R C_R/((1 + V/M) C_L T)) = √(2 V C_R/((1 + V/M) C_L)), wegen R = V T.

Die Formeln gelten nur, wenn die Bedingungen des jeweiligen klassischen Modells erfüllt sind.

Bei einer gewinnmaximierenden Betrachtung wird eine elastische Nachfrage mit der Preis-Absatz-Funktion p(R) = a − bR angenommen. Das Gewinnmaximum liegt bei der Cournot-Menge, also bei der Menge, bei der die Differenz zwischen Erlös und den variablen Herstellungs-, Lager- und Umrüstkosten maximal ist. Für offene Fertigung lautet die Gewinnfunktion:

G(R,y) = aR − bR² − kR − (R/y) C_R − (y/2)(1 − R/(M T)) C_L T → max!

Die gewinnmaximale Menge bei gegebener Losgröße ist:

R(y) = (a − k − C_R/y + (y/2)(1/M) C_R)/(2b).

Die gewinnmaximale Losgröße ergibt sich aus:

y(R) = √(2 C_R R/((1 − R/(M T)) C_L T)).

Bei freien Kapazitäten und konstanten Absatzpreisen entspricht die gewinnmaximale Losgröße der kostenminimalen Losgröße. Bei knappen Kapazitäten und konkurrierenden Zielen, etwa vollständiger Absatzbefriedigung, kann dagegen der relative Deckungsbeitrag pro Zeitspanne zum Entscheidungskriterium werden.

Übertragung auf Bestellmengen und Grenzen

Die klassische Losformel lässt sich auf die Beschaffungslogistik übertragen. Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge bestehen die Gesamtkosten ebenfalls aus mengenabhängigen, linearen Lagerkosten und mengenunabhängigen, degressiven Bestellkosten. Bestellkosten entsprechen damit im Modell den Rüstkosten der Losfertigung.

Bei unendlicher Liefergeschwindigkeit beträgt die optimale Bestellmenge:

y_{kmin} = √(2 R C_R/(C_L T)).

Wenn eine Mindestmenge auf Lager gehalten werden muss, entspricht die Situation der geschlossenen Fertigung:

y_{kmin} = √(2 R C_R/((1 + V/M) C_L T)).

Auch bei Bestellmengen müssen die Prämissen des klassischen Modells beachtet werden.

Die wichtigsten Grenzen entstehen durch die unrealistischen oder zu starken Annahmen. Mehrstufige Produktionsprozesse lassen sich nur unter den engen Bedingungen ohne Ausschuss und Unterbrechungen sowie mit identischen Geschwindigkeiten der Stufen abbilden. Knappe Maschinen- oder Lagerkapazitäten können die berechnete Losgröße verhindern: Zu große Lose können zur Einsparung von Rüstzeiten entstehen, während fehlende Lagerkapazität zu kleineren Losen zwingt. Begrenzte zulässige Lagerdauer, etwa bei Lebensmitteln, wird ebenfalls nicht angemessen berücksichtigt. Die sofortige Herstellung eines optimalen Loses kann wegen des Zeitabstands zwischen Produktion und Absatz zudem die Liquidität gefährden.

Konstanter und kontinuierlicher Lagerabgang ist in der Realität selten. Nur unter dieser Annahme lassen sich Lagerkosten exakt bestimmen und Fehlmengen vermeiden. Außerdem konkurrieren verschiedene Sorten in der Praxis um Lager- und Maschinenkapazitäten; ihre isolierte Betrachtung ist daher problematisch. Bei knappen Kapazitäten und dem Ziel vollständiger Nachfragebefriedigung liefert das Modell nicht notwendigerweise eine optimale Lösung. Kompromisslösungen können nötig sein, während die klassische Formel dafür keine Hilfestellung gibt. Sie hat deshalb eher Lehrbuchcharakter als praktischen Nutzen.

Erweiterungen berücksichtigen unter anderem zeitversetzte Auftragserfüllung, Auftragsrückstände und variable Rüstvorgänge. Das Grundproblem der fehlenden Anpassung an den tatsächlichen Bedarf wird dadurch jedoch nicht ausreichend gelöst. Wesentliche Fortschritte brachte erst die dynamische Losgrößenermittlung, die eine komplexere Problemerfassung ermöglicht.